Четыре уравнения, соответствующие нашим (модифицированным) утверждениям, называются уравнениями Максвелла в интегральной форме .
Выпишем их все рядом еще раз:
Чтобы получить уравнения Максвелла в среде, надо произвести замену:
то есть указать связь (так называемые «материальные» уравнения) между напряженностями и индукциями: и и дополнить систему уравнением закона Ома
Это исторически сыграло важную роль в развитии теории относительности Альберта Эйнштейна. Уравнения Максвелла релятивистски ковариантны или форма инвариантны, т.е. не меняют свою форму при преобразованиях Лоренца. Однако это свойство не совсем очевидно для уравнений Максвелла в описанном выше виде. Поэтому полезно разработать формульную инвариантность путем переформулировки теории, другими словами, написать теорию «явно ковариантной».
Для этой цели целесообразно выразить величины выше и т.д. с помощью величин, которые имеют четко определенное, простое преобразование при преобразованиях Лоренца, то есть скаляры Лоренца, квадратурные векторы и квадрупольные тензоры высших ступеней. Эти величины могут быть преобразованы в четырехвекторный квадрант.
Отметим, что приведенными выше простейшими соотношениями можно пользоваться не всегда. Ситуация заметно сложнее в присутствии таких веществ как сегнетоэлектрики, пьезоэлектрики, ферромагнетики, вещества анизотропные и тому подобное. Здесь наша цель показать, как формируется полная система уравнений, позволяющая (с учетом начальных и граничных условий, разумеется) рассчитать электромагнитное поле.
Можно также вычислить плотность четырехстороннего тока из плотности заряда ρ и плотности тока. Из четырехпотенциала берется компонент, компоненты которого, вплоть до знака и постоянные предшественники, зависящие от единичной системы, как таковые от электрического и магнитного полей.
Определим теперь квадрантный градиент, релятивистскую форму производной. 
При этих величинах два неоднородных уравнения Максвелла в вакууме могут быть выражены ковариантным уравнением. 
Как обычно, используется понятие суммы Эйнштейна, т.е. суммируются двойные индексы в продуктах.
От уравнений в интегральной форме можно с помощью теорем векторного анализа перейти к уравнениям в дифференциальной форме, связывающим значения полей и и их пространственных и временных производных со значениями плотностей заряда и тока. Этими уравнениями мы пользоваться не будем, но все же приведем их хотя бы как часть шутки, опубликованной в одном из журналов в дни юбилея Максвелла:
Заметим, что из-за антисимметрии датчика напряженности поля уравнение непрерывности также следует. Два однородных уравнения Максвелла получают явно ковариантную форму в вакууме. Это также часто написано с символом Леви-Чивиты, более компактным, чем. 
С датчиком напряженности двойного поля.
Дифференциальные формы позволяют особенно четкое представление уравнений Максвелла, которое также автоматически ковариантно, если работать с самого начала не в евклидовом пространстве, а в пространстве Минковского. Плотности квадратурного и квадратурного тока представлены 1-формами и датчиком напряженности поля по 2-форме и двойственны по 2-форме.
«И сказал Бог:
И стал свет».
Непонятные значки div (читается «дивергенция ») и rot (читается «ротор ») - это особые операции дифференцирования, выполняемые над векторными полями. Дивергенция - по латыни «расхождение». Эта операция описывает конфигурацию силовых линий типа «ежа», расходящихся из точек, где имеются электрические заряды. Слово «ротор» в переводе не нуждается, оно явно ассоциируется с вращением. Эта операция описывает вихревые поля (кольцеобразные - замкнутые силовые линии) вокруг их источников - токов или других полей, меняющихся во времени.
Уравнения Максвелла с учетом гипотетических магнитных монополий
Однако до сих пор магнитная монополия не наблюдалась. Поэтому в вышеупомянутых уравнениях Максвелла также предполагается, что магнитных монополий нет. Если такие магнитные заряды, тем не менее, будут найдены в будущем, их можно легко рассмотреть в уравнениях Максвелла.
Интерпретация: линии плотности магнитного потока начинаются и заканчиваются магнитным зарядом. 
Интерпретация: изменяющиеся во времени плотности магнитного потока или наличие плотности магнитного тока приводят к электрическим вихревым полям. Остальные два уравнения остаются неизменными, в то время как, конечно, новые интегральные представления также получены для двух новых дифференциальных уравнений, которые, однако, легко вычисляются с интегральными теоремами Гаусса и Стокса.
Четыре интегральных уравнения и четыре дифференциальных эквивалентны. Максвелл показал, что все явления электромагнетизма можно полностью описать этими четырьмя уравнениями, являющимися обобщением экспериментальных фактов.
В приведенной шутке упоминался свет. Действительно, свет - это электромагнитное излучение определенного диапазона частот. Предсказание электромагнитных волн стало одним из величайших достижений теории Максвелла. Представим себе, что заряды и токи отсутствуют. Посмотрим на уравнения Максвелла в дифференциальной форме. Видно, что если поля не статические, но зависят от времени, то имеется вихревое электрическое и магнитные поля (соответствующие роторы отличны от нуля). Распространение полей без зарядов и токов - это и есть электромагнитные волны. И можно углядеть в уравнениях намек на скорость их распространения: туда входит комбинация e 0 m 0 , через которую может быть выражена скорость света в вакууме (см. (6.3))
Уравнения Максвелла с учетом гипотетического спектра масс фотонов
В качестве академического упражнения уравнения Максвелла могут быть сформулированы с учетом крошечного ревматоидного фотона. Тогда они называются уравнениями Максвелла-Проки. Согласно Проке, этот случай можно описать с помощью модифицированной функции Лагранжа. Потенциалы имеют особое значение в результате массы энергии фотона: например, статический электрический потенциал точечного заряда становится сферически-симметричным. Таким образом, диапазон электрических сил строго ограничен.
Но об этом - позже, в следующей части нашего курса.
В заключение же этой части процитируем слова Г. Герца об уравнениях Максвелла:
«Трудно избавиться от чувства, что эти математические формулы живут независимой жизнью и обладают своим собственным интеллектом, что они мудрее, чем мы сами, мудрее даже, чем их первооткрыватели, и что мы извлекаем из них больше, чем было заложено в них первоначально».
Уравнения Максвелла, основные уравнения классической электродинамики, включающие все явления электромагнетизма и оптики. Максвелл как часть его «Динамической теории электромагнитного поля». Фарадея, который сформулировал электромагнетизм как теорию близости. Уравнения Максвелла.
Физическое содержание уравнений выглядит следующим образом: Электрические заряды представляют собой источники и поглотители электрического поля: магнитное поле пустот, нет изолированных магнитных монополий: временные изменения магнитного потока приводят к завихрениям в электрическом поле: и токи смещения создают завитки в магнитном поле, часто называемые источниками магнитного поля.
Пример использования уравнений Максвелла
Определить величину магнитного поля в зазоре конденсатора как функцию r расстояния от оси симметрии (рис. 9.13)
|
Это прямой результат волновых уравнений в вакууме.
|
Рис. 9.13. Конденсатор с круглыми пластинами в процессе зарядки
Решение
Запишем уравнение (9.13) для контура, показанного на Рис. 9.3 штрихованной линией. Интегрируя, получим
Очевидно, что магнитное поле не равно нулю только благодаря наличию меняющегося со временем электрического поля. В свою очередь, изменение электрического поля обусловлено увеличением заряда на обкладках конденсатора. Эту связь получим из соотношений
Мартин Дрессел, Штутгарт Доктор Дитрих Один, Гархинг Доктор Ян Луис, Галле Доктор Карл Отто Мюннич, Гейдельберг Доктор Стефан Тейзен, Мюнхен. Гениальные наблюдения Максвелла в электро - и магнитостатике дали три уравнения: они были дополнены законом индукции Фарадея. За исключением закона Фарадея, все уравнения были основаны на экспериментах со статическими полями. Проблема заключается в законе Ампера, который применяется только в том случае, если. Это условие легко получить, образуя расходимость по обеим сторонам уравнения: поля вращения свободны от источника.
Окончательно находим
Ток смещения. Для обобщения уравнений электромагнитного поля в вакууме на переменные поля необходимо изменить только одно из написанных ранее уравнений (см. разд. 3.4, 3.12); три уравнения оказываются верными в общем случае. Однако закон полного тока для магнитного поля в случае переменных полей и токов оказывается неверным. В соответствии с этим законом ток должен быть одинаковым для любых двух натянутых на контур поверхностей; если заряд в объеме между выбранными поверхностями меняется, то это утверждение вступает в противоречие с законом сохранения заряда. Например, при зарядке конденсатора (рис. 45) ток через одну из указанных поверхностей равен а через другую (проходящую между пластинами) - нулю. Чтобы снять указанное противоречие, Максвелл ввел в это уравнение ток смещения, пропорциональный скорости изменения электрического поля:
Однако, вообще говоря, имеет место равенство непрерывности. Максвелл вставил в это уравнение непрерывности кулоновский закон и получил. Теперь он предположил, что плотность тока в законе Ампера просто должна быть заменена термином. Дополнительный термин обозначался как ток смещения. Смысл этого уравнения огромен: переменные электрические поля создают магнитное поле, даже если поток не течет. Это, следовательно, является поворотным законом индукции Фарадея, где движущиеся магнитные поля индуцируют электрическое поле.
Без этого явления не было бы электромагнитного излучения. Уравнения Максвелла Расширение Максвелла закона Ампера дает систему из четырех уравнений, называемых уравнениями Максвелла, на основе выдающегося вклада Максвелла. Уравнения могут быть записаны в разных формах, и мы дадим их здесь в дифференциальной и интегральной форме. Эквивалентность этих двух представлений может быть показана с помощью теоремы Стокса и теоремы Гаусса. Таким образом, уравнения Максвелла находятся в дифференциальной форме и в интегральной форме.
В диэлектрической среде выражение для тока смещения принимает вид:
Первый член представляет собой плотность тока смещения в вакууме, второй - реальный ток, обусловленный движением связанных зарядов при изменении поляризованности. Ток смещения через поверхность равен где Ф - поток вектора через поверхность. Введение тока смещения снимает противоречие с законом сохранения заряда. Например, при зарядке плоского конденсатора ток смещения через поверхность, проходящую между пластинами, равен току по подводящим проводам.
Эти уравнения вместе с силой Лоренца и ньютоновским уравнением движения описывают все электромагнитные явления. Таким образом, уравнения говорят, что электрические поля генерируются зарядами или изменяющимися во времени магнитными полями, а магнитные поля - токами или изменяющимися во времени электрическими полями. Уравнения Максвелла также могут быть получены из общих принципов.
Непрерывное уравнение, электрический заряд получается отсутствие магнитных монополий, магнитный поток получается при движении зарядов в электромагнитном поле действует сила Лоренца. Мы изучили все уравнение, и поэтому мы можем прочитать его «в христианине», а также прокомментировать некоторые другие вещи. Что же тогда делает закон Гаусса для электрического поля или первое уравнение Максвелла в обычных и обычных словах?
Система уравнений Максвелла в вакууме. После введения тока смещения система уравнений Максвелла в дифференциальной форме принимает вид:
Система уравнений Максвелла в интегральной форме:
Электрические заряды - это места, где рождаются и умирают электрические полевые линии. Линии «рождаются» положительными обвинениями и «умирают» в негативах. Концептуально и игнорируя детали, закон Гаусса для электрического поля говорит нам, каковы основные источники электрического поля: заряды. Однако это уравнение можно рассматривать как «трон», в котором сидят электрическое поле и электрический заряд. Потому что, если вы прочитали блок, там мы говорили о том, как сложно строго определить, что такое электрический заряд, и что означает «положительный» и «отрицательный».
Приведем также запись уравнений Максвелла в дифференциальной форме в системе СГС:
Плотности заряда и тока связаны соотношением
выражающим закон сохранения заряда (это уравнение является следствием уравнений Максвелла).
Уравнения Максвелла в среде имеют вид: дифференциальная форма интегральная форма
В серебре электрический заряд является свойством, связанным с электромагнитным взаимодействием, из которого электрическое поле является одной из двух половинок. В Законе Гаусса мы видим, что интимные отношения между зарядом и полем - электрические заряды являются источниками поля.
Другой фрагмент головоломки не фигурирует в Законе Гаусса или в уравнениях Максвелла; как было сказано во введении, влияние электрического поля на заряды определяется в лоренц-законе. Но этот закон Гаусса для электрического поля позволяет нам каким-то образом определить, что такое электрическое поле: это возмущение, созданное простым существованием электрических зарядов.
и служат для определения четырех величин . К уравнениям Максвелла, в среде надо добавить материальные уравнения связи между , характеризующие электрические и магнитные свойства среды. Для изотропных линейных сред эти уравнения имеют вид:
Из уравнений Максвелла можно получить граничные условия для (см. разд. 3.6, 3.13).
Это запугивает вас, или вы слегка улыбаетесь, когда смотрите на него? В следующей статье мы пережевываем второе уравнение Максвелла. Электромагнитные явления, которые мы видели до сих пор, можно объяснить четырьмя основными законами. Эти законы в их интегральном выражении.
Этот закон суммирует различные данные об электрическом поле. Электрические полевые линии умирают при положительных зарядах и умирают при отрицательных зарядах.
- Электрические заряды создают электрическое поле.
- Электрическое поле рассчитывается по распределению электрического заряда.
Закон сохранения энергии для электромагнитного поля.
Из уравнений Максвелла можно вывести следующее уравнение для любого объема V, ограниченного поверхностью
Первый член описывает изменение энергии электромагнитного поля в рассматриваемом объеме. Видно, что в общем случае для плотности энергии электромагнитного поля оказываются верными формулы, полученные ранее для постоянного электрического и магнитного полей. Второй член представляет собой работу поля над частицами в рассматриваемом объеме. Наконец, третий член описывает поток электромагнитной энергии через ограничивающую объем замкнутую поверхность. Плотность потока энергии в данной точке пространства (вектор Пойнтинга) определяется векторами Е и В в этой же точке:
Последнее выражение справедливо и для плотности потока электромагнитной энергии в веществе. Плотность энергии в среде имеет вид:
Пример 1. Рассмотрим зарядку плоского конденсатора с круглыми пластинами, расположенными на расстоянии . Скорость изменения энергии в цилиндре радиусом (меньше размеров пластин) равна
Напряженность магнитного поля найдем из второго уравнения Максвелла: (справа стоит ток смещения). Получаем, что скорость притока энергии через боковую поверхность цилиндра: равна скорости изменения энергии в объеме.
Релятивистские свойства полей. При переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую изменяются как источники электромагнитного поля (плотности заряда и тока), так и сами поля, но уравнения Максвелла сохраняют свой вид. Проще всего выглядят формулы преобразования для источников - плотность движущегося заряда). Если обозначить за плотность заряда в ИСО, в которой то с учетом сокращения продольных размеров (см. разд. 1.11) получим
Сравнивая с -вектором энергии-импульса, видим, что образуют -вектор, т.е. преобразуются друг через друга так же, как по формулам преобразования Лоренца. Зная, как преобразуются источники поля, можно найти формулы для преобразования Е, В. Они выглядят так:
Здесь - скорость системы отсчета К относительно системы К, преобразования записаны для компонент полей, параллельных и перпендикулярных Инвариантами этих преобразований являются скалярные величины
При с формулы преобразования полей принимают следующий упрощенный вид:
Пример 2. Магнитное поле нерелятивистской частицы. Рассмотрим частицу, которая движется относительно ИСО К с постоянной нерелятивистской скоростью V. В ИСО связанной с движущейся частицей, имеется только электрическое поле Для перехода в ИСО К надо записать формулы
преобразования Учитывая, что в нерелятивистском пределе длины отрезков не меняются, получим (для момента, когда частица проходи в К через начало координат):
При выводе этих формул было использовано равенство
Пример 3. Поляризация диэлектрика при движении в магнитном поле. При движении диэлектрика с нерелятивистской скоростью перпендикулярно линиям индукции магнитного поля происходит его поляризация. В ИСО, связанной с диэлектриком, существует поперечное электрическое поле . Характер поляризации диэлектрика зависит от его формы.
Пример 4. Электрическое поле релятивистской частицы. Рассмотрим частицу, которая движется относительно ИСО К с постоянной релятивистской скоростью V. В ИСО К связанной с движущейся частицей, имеется только электрическое поле Для перехода в ИСО К следует использовать формулы преобразования (92) с Запишем ответ для момента времени, когда частица в ИСО К проходит через начало координат, для точки, лежащей в плоскости При переходе от координат к координатам надо учесть, что (координаты точки измеряются в К одновременно с прохождением частицы через начало координат). В результате получим
Видно, что вектор Е коллинеарен вектору Однако на одном и том же расстоянии от заряда поле в точке, расположенной На линии его движения, меньше, чем в точке, расположенной на перпендикуляре к скорости. Магнитное поле в той же точке определяется выражением:
Отметим, что рассмотренное электрическое поле не является потенциальным.
