Потенциал является важной характеристикой электрического поля, он определяет всевозможные энергетические характеристики процессов, проходящих в электрическом поле. Кроме того, расчет потенциала поля проще расчета напряженности, хотя бы потому, что является скалярной (а не векторной) величиной. Безусловно, что потенциал и напряженность поля связаны меду собой, сейчас мы установим эту связь.
 Пусть в произвольном электростатическом поле точечный заряд q совершил малое перемещение Δr из точки 1 в точку 2 (рис. 259).

Рис. 259
 Пренебрегая изменением напряженности поля E на этом участке, работу, совершенную полем можно записать в виде

 По определению эта величина равна разности потенциалов, взятой с противоположным знаком, деленной на величину заряда, поэтому

 Если расстояние между точками 1 и 2 не является малым, то необходимо эти точки соединить произвольной линией (рис. 260),

рис. 260
разбить ее на малые участки Δr 1 , Δr 2 , Δr 3 и просуммировать разности потенциалов между (1) ними

Формула (2) позволяет рассчитать разность потенциалов между произвольными точками, по известным значениям напряженности поля во всех точках.
 Как и следовало ожидать, связь между разностью потенциалов и напряженностью поля аналогична связи между изменением потенциальной энергии и действующей силой. Так, если вдоль некоторой прямой (назовем ее осью X ), проекция вектора напряженности на эту ось изменяется по некоторому закону E X (x) , то площадь под графиком этой функции между точками с координатами x 1 и x 2 численно равна разности потенциалов между этими точками, взятой с противоположным знаком (рис. 261).



рис. 261
 Заметим, что если двигаться вдоль направления вектора напряженности, то потенциал поля будет уменьшаться, так как при таком движении поле совершает положительную работу, поэтому энергия взаимодействия уменьшается.
 Так как электростатическое поле является потенциальным, то результат суммирования в формуле (2) не зависит от выбранной линии, важно только, чтобы она начиналась в точке 1 и заканчивалась в точке 2 . Кстати, с подобной конструкцией сумма скалярных произведений вектора на малый элемент траектории мы уже неоднократно встречались. Напомним, что такая сумма, вычисленная по замкнутой траектории, называется циркуляцией векторного поля .
 Так как электростатическое поле потенциально, то циркуляция вектора напряженности электростатического поля по любой замкнутой линии равна нулю Г E = 0 (рис. 262).

рис. 262
 Таким образом, мы сформулировали вторую важнейшую теорему для вектора напряженности стационарного электростатического поля. Никакого нового физического содержания в этой теореме нет − это просто повторение в иной форме свойства потенциальности. Заметим также, что теорема о циркуляции утверждает, что в электростатическом поле не может быть замкнутых силовых линий, все силовые линии начинаются и заканчиваются на электрических зарядах, или что равносильно − единственными источниками электростатического поля являются электрические заряды. Заметим, что данной утверждении справедливо, только в статических полях (не зависящих от времени), в дальнейшем мы познакомимся с электрическим полями, в которых существуют замкнутые силовые линии, такие поля порождаются изменяющимися магнитными полями.

 Задание для самостоятельной работы.
 Докажите, что в электростатическом поле не могут существовать замкнутые силовые линии.

Формула (1) позволяет выразить значение вектора напряженности через известное распределение потенциала поля. Только не следует делить на вектор − такая операция в математике еще не определена. Рассмотрим две близких точки 1 и 2 x на малом расстоянии Δx (Рис. 263).

рис. 263
 Пусть напряженность вблизи этих точек равна E , и ее изменением пренебрежем из-за близости рассматриваемых точек. Тогда разность потенциалов между этими точками равна

Из этого выражения законно находим проекцию вектора напряженности на ось X :

Аналогично, рассматривая две близких точки 1 и 3 , находящиеся на прямой, параллельной оси Y на малом расстоянии Δy , можно получить выражение для проекции вектора напряженности на ось Y :

Выражение для проекции вектора на ось Z − E Z также полностью аналогично

 Особо отметим, что величины Δφ , фигурирующие в формулах (3) − (5) различны, так как они выражают разности потенциалов между близкими точками, но смещенными в различных направлениях.
 Полученным выражениям для напряженности поля можно дать и графическую интерпретацию (рис. 264):

рис. 264
коэффициент наклона касательной к графику зависимости φ(x) , взятый с обратным знаком, численно равен проекции вектора напряженности на ось x .
 В общем случае потенциал электрического поля зависит от трех координат точки, поэтому графически представить эту зависимость невозможно. Мы уже пользовались зависимостью потенциала от одной координаты φ(x) и строили графики этой зависимости. Фактически, мы задавали зависимость потенциала от одной координаты, при движении вдоль прямой параллельной оси x , если мы выберем другую прямую, также параллельную оси x , то получим другую функцию φ(x) . Поэтому при рассмотрении подобных зависимостей надо явно указывать на какой прямой, рассматривается потенциал. Проще всего, во избежание путаницы указывать в явном виде при каких значениях других координат y o = const , z o = const рассматривается зависимость φ(x) = φ(x, y o , z o) . Точно также можно изучать зависимость потенциала от двух координат, считая третью постоянной: например, φ(x, y) = φ(x, y, z o) . То есть, рассматривать распределение потенциала в некоторой плоскости параллельной координатной плоскости xOy , находящей на расстоянии z o от нее. Графически эта зависимость может быть представлена некоторой поверхностью, высота точек которой пропорциональна потенциалу в данной точке, такую поверхность далее будем называть потенциальной, по аналогии с потенциальными кривыми, рассмотренными нами ранее. Так на рисунке в качестве примера показана потенциальная поверхность поля точечного заряда, в плоскости, содержащей заряд этот заряд.
 Если точечный заряд q находится в начале некоторой системы координат, то потенциал поля, создаваемого этим зарядом в произвольной точке с координатами (x, y, z) определяется формулой



 Если мы хотим построить распределение потенциала в плоскости xOy , то в формуле (6) следует положить z = 0 . Поверхность, описываемая этим уравнением, показана на рисунке 265.

рис. 265
 Заметим, что в начале координат потенциал стремится к бесконечности, поэтому изображение потенциальной поверхности искусственно обрезан сверху.
 Потенциальные поверхности строить не легко, для этого, как правило, используется компьютер. Однако изображения таких поверхностей бывают очень полезными при анализе движения заряженных частиц. Так движение положительно заряженной частицы в поле, описываемом заданной потенциальной поверхностью, аналогично движению массивного шарика в поле тяжести земли по геометрической поверхности, которая совпадает с потенциальной.
 На рисунке 266 для примера построены потенциальные поверхности поля, создаваемого двумя одинаковыми по модулю зарядами: а) одинаковых знаков; б) противоположных знаков.



рис. 266
 Вторым способом графического представление потенциала является построение эквипотенциальных поверхностей , то есть геометрического места точек, имеющих одинаковый потенциал, то есть удовлетворяющих уравнению φ(x, y, z) = φ o = const .
 Так для поля точечного заряда (1) эквипотенциальными поверхностями являются сферы, концентрические с точечным зарядом − все точки, находящиеся на одинаковом расстоянии от заряда, имеют одинаковый потенциал. Формально, уравнение эквипотенциальной сферы можно получить из функции (6). Из уравнения

следует уравнение сферы

причем сфера большего потенциала имеет меньший радиус.
 Заметим, что симметрия эквипотенциальных поверхностей повторяет симметрию источников поля, так поле точечного заряда сферически симметрично, то и эквипотенциальные поверхности обязаны быть сферами.
Конечно, для увеличения наглядности, следует рассматривать не одну эквипотенциальную поверхность, а их семейство. Однако изобразить графически семейство сложных поверхностей на одном рисунке крайне затруднительно. Поэтому часто графически изображают только сечения эквипотенциальных поверхностей некоторой плоскостью, или, что равносильно − множества точек равного потенциала в некоторой плоскости (которые являются линиями).
 Линии равного потенциала и потенциальные поверхности тесно связаны между собой. Фактически линии равного потенциала является сечениями потенциальной поверхности. Семейство эквипотенциальных линий полностью аналогично линиям равной высоты (изолиниям) на географической карте. На рисунке 267 показана потенциальная поверхность электростатического поля, созданного двумя точечными зарядами одного знака, но разной величины, в плоскости, содержащей эти заряды.

рис. 267
 Ниже построено семейство эквипотенциальных линий этого поля в той же плоскости. Эти линии являются линиями уровня для потенциальной поверхности.
 В данном примере легко вообразить и семейство трехмерных эквипотенциальных поверхностей. Система двух точечных зарядов обладает осевой симметрией − осью симметрии является прямая, проходящая через оба заряда, на рисунке она обозначена как ось X . Поэтому и поле, и его эквипотенциальные поверхности обладают осевой симметрией − достаточно повернуть картину эквипотенциальных линий вокруг оси X , чтобы получить семейство эквипотенциальных поверхностей.
 Эквипотенциальные поверхности также тесно связаны с силовыми линиями электрического поля. Если электрический заряд перемещается по эквипотенциальной поверхности, то работа поля равна нулю, так работа по перемещению заряда q пропорциональна изменению потенциала δA = −qΔφ , а на эквипотенциальной поверхности Δφ = 0 . С другой стороны эта работа выражается через напряженность поля E как

(где Δr − вектор перемещения заряда, α − угол между векторами напряженности поля и перемещения). Если вектор перемещения направлен вдоль эквипотенциальной поверхности, то работа поля равна нулю, следовательно, вектор напряженности в этом случае перпендикулярен вектору перемещения (косинус прямого угла равен нулю). Таким образом, силовые линии электростатического поля перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям (рис. 268).

рис. 268
 Если же вектор перемещения направлен вдоль силовой линии, то изменение потенциала будет максимальным, следовательно, силовые линии указывает направления максимального изменения (точнее уменьшения) потенциала.
 На рисунке 269 показаны одновременно семейства силовых линий и семейство эквипотенциальных поверхностей поля двух точечных зарядов, рассмотренных ранее.



рис. 269

Работа по перемещению электрического заряда

Вычислим работу при перемещении электрического заряда в однородном электрическом поле с напряженностью . Если перемещение заряда происходило по линии напряженности поля на расстояние (рис. 134), то работа равна

A = F э (d 1 - d 2 ) = qE (d 1 - d 2 ), (39.1)

где d 1 и d 2 - расстояния от начальной и конечной точек до пластины В.
В механике было показано, что при перемещении между двумя точками в гравитационном поле работа силы тяжести не зависит от траектории движения тела. Силы гравитационного и электростатического взаимодействия имеют одинаковую зависимость от расстояния, векторы сил направлены вдоль прямой, соединяющей взаимодействующие точечные тела. Отсюда следует, что и при перемещении заряда в электрическом поле из одной точки в другую работа сил электрического поля не зависит от траектории его движения.
Этот вывод подтверждается самыми точными экспериментами.
При изменении направления перемещения на 180° работа сил электрического поля, как и работа силы тяжести, изменяет знак на противоположный. Если при перемещении заряда q из точки В в точку С силы электрического поля совершили работу А , то при перемещении заряда q по тому же самому пути из точки С в точку В они совершают работу - А . Но так как работа не зависит от траектории, то и при перемещении по траектории CKB тоже совершается работа - А . Отсюда следует, что при перемещении заряда сначала из точки В в точку С , а затем из точки С в точку В , т. е. по замкнутой траектории, суммарная работа сил электростатического поля оказывается равной нулю (рис. 135).

Работа сил электростатического поля при движении электрического заряда по любой замкнутой траектории равна нулю.
Поле, работа сил которого по любой замкнутой траектории равна нулю, называется потенциальным полем. Гравитационное и электростатическое поля являются потенциальными полями.

Потенциал и напряжение в электрическом поле

Для энергетической характеристики каждой точки электрического поля вводится понятие «потенциал». Обозначается потенциал буквой φ.

Потенциал в каждой точке электрического поля характеризуется энергией W , которая затрачивается (или может быть затрачена) полем на перемещение единицы положительного заряда q из данной точки за пределы поля, если поле создано положительным зарядом, или из-за пределов поля в данную точку, если поле создано отрицательным зарядом (рис. 1.7а).

Из приведённого определения следует, что потенциал в точке А равен φ А = W А /q; в точке В – W В /q , а потенциал в точке С – W С /q .

Измеряется потенциал в вольтах [φ ] = = Дж/Кл = В.

Величина потенциала в каждой точке электрического поля определяется выражением

φА = (1.12)

Потенциал – скалярная величина. Если электрическое поле создано несколькими зарядами, то потенциал в каждой точке поля определяется алгебраической суммой потенциалов, созданных в этой точке каждым зарядом.

Так как (рис. 1. 7а) r А < r В < r С, то из (1.12) следует, что φ А > φ В > φ С, если поле создано положительным зарядом.

Если в точку А (рис. 1.7а) электрического поля поместить положительный пробный заряд, то под действием сил поля он будет перемещаться из точки А в точку В, а затем в точку С, т.е. в направлении поля. Таким образом, положительный пробный заряд перемещается из точки с большим потенциалом в точку с меньшим потенциалом. Между точками с равными потенциалами заряд перемещаться не будет. Следовательно, для перемещения заряда между двумя точками электрического поля должна быть разность потенциалов в этих точках .

Разность потенциалов двух точек электрического поля характеризует напряжение между этими точками.

U АВ = φ А - φ В; U ВС = φ B - φ C ; U АС = φ А - φ C

Напряжение между двумя точками электрического поля характеризуется энергией, затраченной на перемещение единицы положительного заряда между этими точками, т.е. U АВ = W АВ /q

Измеряется напряжение в вольтах (В).

Между напряжением и напряжённостью в однородном электрическом поле (рис. 1.8) существует зависимость

U АВ = φ А - φ В = W АВ /q = Fl/q = El,

откуда следует

Е = U АВ / l . (1.13)

Из этой формулы видно, что напряжённость однородного электрического поля определяется отношением напряжения между двумя точками поля к расстоянию между этими точками.

Единица напряжённости электрического поля В/м (вольт на метр).

Потенциалы в точках электрического поля имеют различные значения. Однако в электрическом поле можно выделить ряд точек с одинаковым потенциалом. Поверхность, проходящая через эти точки, называется равнопотенциальной, или эквипотенциальной. Примером такой поверхности являются обкладки цилиндрического конденсатора (рис. 1.7б) и плоского конденсатора (рис. 1.9). Они имеют одинаковый потенциал по всей площади каждой обкладки и являются эквипотенциальными поверхностями.

3. Электрический ток - это явление направленного движения носителей электрических зарядов и (или) явление изменения электрического поля во времени, сопровождаемые магнитным полем. В металлических проводниках и в вакууме (при определенных условиях) ток образуется электронным потоком, а в жидкостях и газах - потоком ионов и электронов.

Тела, хорошо проводящие электричество, называются ПРОВОДНИКАМИ

Проводники. Очень часто электроны (особенно те, которые слабо связаны с ядром атома) могут покинуть свою орбиту, перейти в междуатомное пространство. Tакие электроны называются свободными. Вещества, в междуатомном пространстве которых всегда есть свободные электроны, относятся к проводникам первого рода. и ток в проводнике создается свободными электронами. К ним относятся все металлы. На практике это провода, жилы кабелей, контакты реле, нити эл. ламп и т.д.

Растворы кислот, солей и щелочей (электролиты), относятся к проводникам второго рода. В электролите непрерывно образуются положительные и отрицательные ионы. Электрический ток в электролите создается не свободными электронами, а ионами.

4. Электродвижущая сила (ЭДС) - скалярная физическая величина, характеризующая работу сторонних (непотенциальных) сил висточниках постоянного или переменного тока. В замкнутом проводящем контуре ЭДС равна работе этих сил по перемещению единичного положительного заряда вдоль контура.

ЭДС можно выразить через напряжённость электрического поля сторонних сил (). В замкнутом контуре () тогда ЭДС будет равна:

, где - элемент длины контура.

ЭДС так же, как и напряжение, измеряется в вольтах. Можно говорить об электродвижущей силе на любом участке цепи. Это удельная работа сторонних сил не во всем контуре, а только на данном участке. ЭДС гальванического элемента есть работа сторонних сил при перемещении единичного положительного заряда внутри элемента от одного полюса к другому. Работа сторонних сил не может быть выражена через разность потенциалов, так как сторонние силы непотенциальны и их работа зависит от формы траектории. Так, например, работа сторонних сил при перемещении заряда между клеммами тока вне самого источника равна нулю.

Вольт-амперная характеристика (ВАХ) - график зависимости тока через двухполюсник от напряжения на этом двухполюснике. Вольт-амперная характеристика описывает поведение двухполюсника на постоянном токе. Чаще всего рассматривают ВАХ нелинейных элементов (степень нелинейности определяется коэффициентом нелинейности ), поскольку для линейных элементов ВАХ представляет собой прямую линию и не представляет особого интереса.

Характерные примеры элементов, обладающих существенно нелинейной ВАХ: диод, тиристор, стабилитрон.

Для трехполюсных элементов (таких, как транзистор, тиристор или ламповый триод) часто строят семейства кривых, являющимися ВАХ для двухполюсника при так или иначе заданных параметрах на третьем выводе элемента.

Необходимо отметить, что в реальной схеме, особенно работающей с относительно высокими частотами (близкими к границам рабочего частотного диапазона) для данного устройства реальная зависимость напряжения от времени может пробегать по траекториям, весьма далёким от «идеальной» ВАХ. Чаще всего это связано с ёмкостью или другими инерционными свойствами элемента.

5. Работа электрического тока показывает, какая работа была совершена электрическим полем при перемещении зарядов по проводнику.

Работа электрического тока равна произведению силы тока на напряжение
и на время протекания тока в цепи.

Единица измерения работы электрического тока в системе СИ:
[ A ] = 1 Дж = 1A. B . c

Мощность электрического тока показывает работу тока, совершенную в единицу времени
и равна отношению совершенной работы ко времени, в течение которого эта работа была совершена.

(мощность в механике принято обозначать буквой N , в электротехнике - буквой Р )
так как А = IUt , то мощность электрического тока равна:

Единица мощности электрического тока в системе СИ:

[ P ] = 1 Вт (ватт) = 1 А. B

6. Простейшая электрическая цепь (рис. 12) содержит источник электрической энергии Г, приемник энергии П и два линейных про­вода Л 1 и Л 2 , соединяющих источник с приемником энергии. Линей­ные провода присоединяются к источнику электрической энергии при помощи двух зажимов, называемых положительным (+) и отрица­тельным (-) полюсами.

Источник электрической энергии преобразует механическую, химиче­скую, тепловую или другого вида энер­гию в энергию электрическую. В при­емнике происходит преобразование электрической энергии в энергию дру­гого вида - механическую, тепловую, химическую, световую и др.

Источниками электрической энер­гии служат генераторы (электрические машины, приводимые в движение какими-либо механическими дви­гателями), аккумуляторы и гальванические элементы, условное обозначение которых показано на рис. 13. В качестве приемников электрической энергии применяют осветительные лампы, электри­ческие двигатели, электронагревательные приборы и пр.

Как гальванические элементы, так и аккумуляторы соединяют между собой для составления в первом случае батареи гальваниче­ских элементов, а во втором - батареи аккумуляторов. Источник электрической энергии с присоединенными к нему линейными про­водами и приемником энергии образуют замкнутую электрическую цепь, по которой происходит непрерывное движение электричества, называемое электрическим током.

Постоянный ток в металлических проводниках представляет собой установившееся поступательное движение свободных элек­тронов в замкнутой цепи.

Сила тока, протекающего в двух проводниках, отстоящих друг от друга на определенном расстоянии, вызывает механические силы, действующие на эти проводники. Единицей измерения силы тока является ампер (а ). В Международной системе единиц (СИ) ампер -сила неизменяющегося тока, который, проходя по двум параллель­ным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малого круглого сечения, расположенным на расстоянии 1 м один от другого в вакууме, вызвал бы между этими проводниками силу, равную 2 ·10 -7 ньютона (н ) на каждый метр длины.

Единицей силы в Международной системе единиц является ньютон (н); н = ,

где кг – килограмм массы,

м – метр,

сек – секунда.

Электрический ток определяет количество электричества, проте­кающего через поперечное сечение проводника в единицу времени. Если в проводнике протекает ток силой 1 а, то через поперечное сечение этого проводника в течение 1 сек протекает 1 к электричества.

При силе тока в проводнике I за время t через поперечное сечение этого проводника протекает количество электричества, равное

Эта зависимость справедлива для случая, когда в течение вре­мени t сила тока остается неизменной.

Линейные провода и приемник энергии составляют внешнюю цепь, в которой ток протекает под действием разности потенциалов на зажимах источника энергии и направлен от точки более высокого потенциала (положительного зажима) к точке более низкого потенциала (отрицательного зажима)

Закон Ома для участка цепи и записывается в следующем виде:

Это выражение читается следующим образом: сила тока прямо пропорциональна напряжению и обратно пропорциональна сопротивлению.

Следует знать что:

I – величина тока, протекающего через участок цепи;

U – величина приложенного напряжения к участку цепи;

R – величина сопротивления рассматриваемого участка цепи.

При помощи закона Ома для участка цепи можно вычислить приложенное напряжение к участку цепи (рисунок 1), либо напряжение на входных зажимах цепи (рисунок 2).

Рисунок 2. Последовательная цепь, поясняющая расчет напряжения на зажимах цепи.

В этом случае формула (1) примет следующий вид:

U = I *R

Но при этом необходимо знать ток и сопротивление участка цепи.

Третий вариант закона Ома для участка цепи, позволяющий рассчитать сопротивление участка цепи по известным значениям тока и напряжения имеет следующий вид:

7. При последовательном соединении проводников сила тока во всех проводниках одинакова. При последовательном соединении все элементы связаны друг с другом так, что включающий их участок цепи не имеет ни одного узла.

©2015-2017 сайт
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.

Закон Кулона. Напряженность и потенциал электрического поля. Силовые линии

Взаимодействие заряженных тел регламентирует закон Кулона , установленный французским физиком Ш. Кулоном опытным путем с помощью изобретенных им крутильных весов в 1785 году: в вакууме сила взаимодействия между двумя точечными неподвижными зарядами пропорциональна произведению этих зарядов, обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними и направлена вдоль прямой, соединяющей эти заряды , то есть

где в СИ коэффициент пропорциональности

Окружающая среда влияет на взаимодействие зарядов: величина, которая показывает, во сколько раз сила взаимодействия между электрическими зарядами в данной среде меньше, чем в вакууме , называется диэлектрической проницаемостью среды (e), например, для воздуха e = 1,0006, для воды e = 81 и т. д. (существуют специальные таблицы).

Закон Кулона для точечных зарядов, погруженных в жидкий и газообразный диэлектрик, имеет вид

Знак силы в уравнениях (6.1, 6.2) показывает ее направление относительно взаимодействующих зарядов, минус ¾ заряды притягиваются плюс ¾ отталкиваются. Обычно рассчитывают модуль силы взаимодействия, в этом случае соотношение (6.2) переписывается в виде:

Во многих задачах используют рационализированную форму записи закона Кулона

(6.4)

где и называется электрической постоянной.

Если взаимодействуют заряженные тела, размерами которых нельзя пренебречь по сравнению с расстоянием между ними (неточечные), то для нахождения силы их взаимодействия, эти тела мысленно разбивают на малые заряженные элементы (которые можно считать точечными) и рассчитывают кулоновские силы взаимодействия каждой пары зарядов, затем проводят векторное сложение этих сил.

Количественной характеристикой силового действия электрического поля на заряженные объекты служит векторная величина ¾напряженность электрического поля , которая равна силе, действующей на единичный положительный точечный заряд, помещенный в данную точку поля и которая направлена в сторону действия результирующей сил, приложенных к заряду . Если на точечный заряд q + (положительный) в некоторой точке поля действует сила то напряженность электрического поля в этой точке

Единицей измерения напряженности электрического поля в СИ является Н/Кл, или, как увидим в дальнейшем В/м, общепринятой является вольт на метр.

Рис. 6.1.

В случае создания электрического поля точечным зарядом q , его напряженность в точке N (см. рис. 6.1) определяется согласно (6.2), как

где ¾радиус-вектор, проведенный в рассматриваемую точку N из точки, где находится заряд q , создающий поле.

Модуль вектора напряженности поля точечного заряда рассчитывается по формуле

(6.7)

Если электрическое поле создают несколько точечных источников (n ), то его результирующая напряженность рассчитывается по принципу суперпозиции полей :

Электрическое поле принято изображать с помощью линий напряженности . Это линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора в данной точке, а их густота пропорциональна модулю вектора в данном месте поля .

Примеры (рис. 6.2):

Рис. 6.2.

Электрическое поле, напряженность которого во всех точках одинакова по модулю и направлению , называется однородным . Его например, могут создать две разноименно заряженные плоские пластины (рис. 6.2, г).

Из соображений симметрии понятно, что равномерно заряженная сфера вне себя создает электрическое поле, аналогичное полю точечного заряда той же величины, что и заряд сферы q , если этот заряд поместить в центр сферы (рис. 6.3).

Рис. 6.3

Таким образом, формула (6.7) позволяет вычислить модуль вектора напряженности в любой точке вне равномерно заряженной сферы.

Силы электростатического поля являются консервативными . Как известно, тело, помещенное в консервативное поле сил, обладает потенциальной энергией , которая определяется с точностью до определенной постоянной величины.

Энергия вносимого в поле заряда отсчитывается от бесконечности, то есть за границей действия электростатического поля, где принимается равной нулю. Энергетической характеристикой электростатического поля является потенциал.

Потенциалом электростатического поля j называют скалярную величину, численно равную потенциальной энергии, которой обладает в данной точке поля единичный положительный заряд . Если и в данной точке поля точечный положительный заряд q + имеет потенциальную энергию W п то

Единица потенциала ¾ вольт (В), то есть потенциал такой точки поля, в которой заряд в 1 Кл обладает потенциальной энергией 1 Дж. Потенциал поля, созданного точечным зарядом q , равен

(6.10)

При r = ¥, j = 0. Таким образом, потенциал ¾ это физическая величина, определяемая работой сил электростатического поля по перемещению единичного положительного заряда из данной точки поля в бесконечность .

Если поле создается несколькими зарядами (n ), то потенциал поля системы зарядов будет равен алгебраической сумме потенциалов отдельных полей всех образующих систему зарядов :

считаем среду однородной по всем направлениям (e = const). При этом знак «+» приписывается потенциалу поля, созданного положительным зарядом, знак «-» ¾ отрицательным.

Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда Q из точки 1 в точку 2, будет равна (см. соотношение 6.9):

где (j 1 - j 2) ¾ разность потенциалов двух точек 1 и 2 в электростатическом поле (она задается работой, совершаемой силами поля, при перемещении единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2).

Поскольку поле электростатических сил имеет консервативный характер, работа этих сил при переносе заряда по замкнутому контуру равна нулю.

Если мы обозначим через

Физическая природа электрического поля и его графическое изображение . В пространстве вокруг электрически заряженного тела существует электрическое поле, представляющее собой один из видов материи. Электрическое поле обладает запасом электрической энергии, которая проявляется в виде электрических сил, действующих на находящиеся в поле заряженные тела.

Рис. 4. Простейшие электрические поля: а – одиночных положительного и отрицательного зарядов; б – двух разноименных зарядов; в – двух одноименных зарядов; г – двух параллельных и разноименно заряженныx пластин (однородное поле)

Электрическое поле условно изображают в виде электрических силовых линий, которые показывают направления действия электрических сил, создаваемых полем. Принято направлять силовые линии в ту сторону, в которую двигалась бы в электрическом поле положительно заряженная частица. Как показано на рис. 4, электрические силовые линии расходятся в разные стороны от положительно заряженных тел и сходятся у тел, обладающих отрицательным зарядом. Поле, созданное двумя плоскими разноименно заряженными параллельными пластинами (рис. 4, г), называется однородным.
Электрическое поле можно сделать видимым, если поместить в него взвешенные в жидком масле частички гипса: они поворачиваются вдоль поля, располагаясь по его силовым линиям (рис. 5).

Напряженность электрического поля. Электрическое поле действует на внесенный в него заряд q (рис. 6) с некоторой силой F. Следовательно, об интенсивности электрического поля можно судить по значению силы, с которой притягивается или отталкивается некоторый электрический заряд, принятый за единицу. В электротехнике интенсивность поля характеризуют напряженностью электрического поля Е. Под напряженностью понимают отношение силы F, действующей на заряженное тело в данной точке поля, к заряду q этого тела:

E = F / q (1)

Поле с большой напряженностью Е изображается графически силовыми линиями большой густоты; поле с малой напряженностью - редко расположенными силовыми линиями. По мере удаления от заряженного тела силовые линии электрического поля располагаются реже, т. е. напряженность поля уменьшается (см. рис. 4 а,б и в). Только в однородном электрическом поле (см. рис. 4, г) напряженность одинакова во всех его точках.

Электрический потенциал . Электрическое поле обладает определенным запасом энергии, т. е. способностью совершать работу. Как известно, энергию можно также накопить в пружине, для чего ее нужно сжать или растянуть. За счет этой энергии можно получить определенную работу. Если освободить один из концов пружины, то он сможет переместить на некоторое расстояние связанное с этим концом тело. Точно так же энергия электрического поля может быть реализована, если внести в него какой-либо заряд. Под действием сил поля этот заряд будет перемещаться по направлению силовых линий, совершая определенную работу.
Для характеристики энергии, запасенной в каждой точке электрического поля, введено специальное понятие - электрический потенциал. Электрический потенциал? поля в данной точке равен работе, которую могут совершить силы этого поля при перемещении единицы положительного заряда из этой точки за пределы поля.
Понятие электрического потенциала аналогично понятию уровня для различных точек земной поверхности. Очевидно, что для подъема локомотива в точку Б (рис. 7) нужно затратить большую работу, чем для подъема его в точку А. Поэтому локомотив, поднятый на уровень Н2, при спуске сможет совершить большую работу, чем локомотив, поднятый на уровень Н2 За нулевой уровень, от которого производится отсчет высоты, принимают обычно уровень моря.

Точно так же за нулевой потенциал условно принимают потенциал, который имеет поверхность земли.
Электрическое напряжение . Различные точки электрического поля обладают разными потенциалами. Обычно нас мало интересует абсолютная величина потенциалов отдельных точек электрического поля, но нам весьма важно знать разность потенциалов?1-?2 между двумя точками поля А и Б (рис. 8). Разность потенциалов?1 и?2 двух точек поля характеризует собой работу, затрачиваемую силами поля на перемещение единичного заряда из одной точки поля с большим потенциалом в другую точку с меньшим потенциалом. Точно так же нас на практике мало интересуют абсолютные высоты Н1и Н2 точек А и Б над уровнем моря (см. рис. 7), но для нас важно знать разность уровней И между этими точками, так как на подъем локомотива из точки А в точку Б надо затратить работу, зависящую от величины Я. Разность потенциалов между двумя точками поля носит название электрического напряжения. Электрическое напряжение обозначают буквой U (и). Оно численно равно отношению работы W, которую нужно затратить на перемещение положительного заряда q из одной точки поля в другую, к этому заряду, т. е.

U = W / q (2)

Следовательно, напряжение U, действующее между различными точками электрического поля, характеризует запасенную в этом поле энергию, которая может быть отдана путем перемещения между этими точками электрических зарядов.
Электрическое напряжение - важнейшая электрическая величина, позволяющая вычислять работу и мощность, развиваемую при перемещении зарядов в электрическом поле. Единицей электрического напряжения служит вольт (В). В технике напряжение иногда измеряют в тысячных долях вольта - милливольтах (мВ) и миллионных долях вольта - микровольтах (мкВ). Для измерения высоких напряжений пользуются более крупными единицами - киловольтами (кВ) - тысячами вольт.
Напряженность электрического поля при однородном поле представляет собой отношение электрического напряжения, действующего между двумя точками поля, к расстоянию l между этими точками:

E = U / l (3)

Напряженность электрического поля измеряют в вольтах на метр (В/м). При напряженности поля в 1 В/м на заряд в 1 Кл действует сила, равная 1 ньютону (1 Н). В некоторых случаях применяют более крупные единицы измерения напряженности поля В/см (100 В/м) и В/мм (1000 В/м).

Силовой характеристикой электрического поля является напряженность, равная отношению силы, действующей в данной точке поля на точечный заряд, к этому заряду

Напряженность - вектор, направление которого совпадает с направлением силы, действующей в данной точке поля на положительный точечный заряд.

Напряженность электрического поля в произвольных точках аналитически задается следующими тремя уравнениями:

Е х = f 1 (x, у, z); Е у = f 2 (х, у, z); E z = f 3 (x, у, z), (12.2)

где Е х , Е у и E z - проекции вектора напряженности на соответствующие координатные оси, введенные для описания поля. Электрическое поле графически удобно представлять силовыми линиями , касательные к которым совпадают с направлением вектора напряженности в соответствующих точках поля.

Обычно эти линии проводят с такой густотой, чтобы число линий, проходящих сквозь единичную площадку, перпендикулярную им, было пропорционально значению напряженности электрического поля в месте расположения площадки.

Представим себе, что заряд q перемещается в электрическом поле по траектории 1-а-2 (рис. 12.1). Силы поля при этом совершают работу, которую можно выразить через напряженность [см. (12.1)]:

(12.3)

где dl - элементарное перемещение; E l - проекция вектора на направление . Покажем, что работа сил электростатического поля (электрического поля неподвижных зарядов) не зависит от траектории, по которой перемещается заряд в этом поле. Поля, обладающие таким свойством, называют потенциальными.

Пусть заряд q переместился по замкнутой траектории 1-а-2-б-1 (рис. 12.1). Так как поле электростатическое, то положение зарядов, создающих поле, при этом не изменилось, и потенциальная энергия, зависящая от их взаимного положения, осталась прежней. Поэтому работа сил электростатического поля по переме­щению заряда по замкнутой траектории равна нулю:

Так как силы, действующие на заряд q, определяются его положением в поле, то выражения для работ сил поля при перемещении заряда по одной и той же траектории в противоположных направлениях отличаются только знаком:

(по б ) (по б )

Подстановка этого выраже­ния в (12.4)дает

Равенство (12.5) означает, что работа сил электростатического поля не зависит от траектории заряда, а зависит от величины заряда, положения начальной и конечной точек траектории и от напряженности поля.

На основании этого свойства вводят понятие разности потенциалов Dj, которая для электростатического поля равна напряжению U.

Разностью потенциалов между точками поля называют отношение работы, совершаемой силами поля при перемеще­нии точечного положительного заряда из одной точки поля в другую, к этому заряду:

(12.6)

где j 1 и j 2 - потенциалы в точках 1 и 2 электрического поля, U 12 - напряжение между этими точками. Разность потенциалов между двумя точками зависит от положения выбранных точек и от на­пряженности электрического поля, как следует из (12.6).

Наряду с разностью потенциалов в качестве характеристики электрического поля используют понятие потенциала . Однако для данной точки поля оно имеет однозначный смысл только в том случае, если задан потенциал какой-либо произвольной точки поля. На практике принято считать, что потенциал проводников, соединенных с землей, или потенциал шасси, на котором смонти­ровано радиоустройство (и в том и в другом случаях говорят о за­землении), равны нулю. В теоретических задачах обычно считают равным нулю потенциал бесконечно удаленных точек.

Вычислим потенциал поля точечного заряда, расположенного в однородном изотропном диэлектрике с диэлектрической проницаемостью e (рис. 12.2). Пусть точки 1 и 2 находятся на одной силовой линии ни расстояниях соответственно r 1 и r 2 от источника поля - заряда Q. Проинтегрируем выражение (12.6) по отрезку 1 -2, учитывая, что в соответствии с законом Кулона (для точечного заряда) Е l = E = Q/(4pe e 0 r 2) и dr = dl :

(12.7)

где e 0 » 8,85 10 12 Ф/м - электрическая постоянная 1 .

(1 Размерность электрической постоянной e 0 выражается также в виде , что следует из закона Кулона).

Предположим, что потенциал в бесконечно удаленной точке равен нулю: j 2 ®0 при r 2 ® ¥. Тогда из (12.7) получаем

или в более общем виде (12.8)

Могли быть и другие предположения относительно значения потенциала в бесконечно удаленной точке, однако сделанное выше допущение привело к наиболее простому выражению (12.8), по которому обычно и вычисляют потенциал поля точечного заряда.

Потенциалы электрического поля в различных точках наглядно можно представить в виде поверхностей одинакового потенциала (эквипотенциальных поверхностей). Обычно проводят экви­потенциальные поверхности, отличающиеся от соседних на одно и то же значение потенциала. На рис. 12.3 изображены эквипотенциальные поверхности (штриховые линии) и силовые линии (сплошные) поля двух разноименных одинаковых точечных зарядов.

Аналитически зависимость электрического потенциала от координат в разных точках поля задается некоторой функцией координат

j = f(x, у, г),(12.9)

которая в частных случаях может иметь, например, вид (12.8). Так как напряженность электрического поля определяется через силу, а потенциал - через работу сил поля, то эти характеристики связаны между собой аналогично силе и работе. Интегральная зависимость напряженности поля и потенциала дается формулой (12.6) или выражением

(12.10)

Здесь с учетом знака «-» изменены пределы интегрирования: верхнему пределу интеграла соответствует в левой части уменьшаемое j 2 , нижнему - вычитаемое j 1 .

Получим дифференциальную связь между Е и j . Предположим, что точки 2 и 1 расположены сколь угодно близко, тогда из (12.10) получим

Производная от потенциала по направлению dj/dl характеризует отношение приращения потенциала dj к соответствующему расстоянию dl в некотором направлении l ; Е l - проекция вектора на это направление.

Смысл формулы (12.11) виден из рис. 12.4. В точке 0 проведен вектор , который спроецирован на направления l 1 , l 2 и l 3 . Эти проекции по модулю равны производным от потенциала по соответствующим направлениям: çdj/dl 1 ç, çdj/dl 2 ç, çdj/dl 3 ç.Наиболь­шее изменение потенциала, приходящееся на единицу длины, происходит вдоль прямой, совпадающей с ; знак «минус» в (12.11) означает, что потенциал быстрее всего убывает в направлении и быстрее всего возрастает в направлении - Е. Можно сказать, что вектор равен взятому с обратным знаком градиенту потенциала:

В направлении, перпендикулярном силовой линии, имеем

Из этого следует, что силовые линии и эквипотенциальные поверхности взаимно перпендикулярны. Если поле однородно, например поле плоского конденсатора, то из формулы (12.6) находим что для двух точек, расположенных на одной силовой линии на расстоянии l ,

Учитывая (12.11) и (12.9), можно записать проекции вектора напряженности электрического поля по трем координатным осям:

Тогда напряженность определяют по формуле

(12.16)

Если поле создано N точечными зарядами, то напряженность в некоторой точке можно вычислить как векторную сумму напряженностей полей, создаваемых в этой точке каждым зарядом отдельно (принцип суперпозиции):

(12.17)

а электрический потенциал в этой точке - как алгебраическую сумму потенциалов от каждого заряда, предполагая, что потенциал бесконечно удаленных точек равен нулю:

(12.18)

Существующие электроизмерительные приборы рассчитаны на измерение разности потенциалов, а не напряженности. Ее можно найти из этих измерений, используя связь и j.

Электрический диполь

Электрическим диполем (диполем) называют систему, состоящую из двух равных, но противоположных по знаку точечных электрических зарядов, расположенных на некотором расстоянии друг от друга (плечо диполя).

Основной характеристикой диполя (рис. 12.5) является его электрический момент (диполъный момент) - вектор, равный произведению заряда на плечо диполя l , направленный от отрицательного заряда к положительному:

(12.19)

Единицей электрического момента диполя является кулон-метр. Поместим диполь в однородное электрическое поле напряженностью (рис. 12.6).

На каждый из зарядов диполя действуют силы и , эти силы равны по модулю, противоположно направлены и создают момент пары сил. Как видно из рисунка, он равен

М = qElsin a = pEsin a, (12.20)

или в векторной форме

. (12.21)

Таким образом, на диполь в однородном электрическом поле действует момент силы, зависящий от электрического момента и ориентации диполя, а также напряженности поля.

Рассмотрим теперь диполь в неоднородном электрическом поле. Предположим, что диполь расположен вдоль силовой линии (рис. 12.7). На него действуют силы

где Е + и Е_ - напряженности поля соответственно в месте нахождения положительного и отрицательного зарядов (на рис. 12.7 Е - > Е + ). Значение равнодействующей этих сил

F = F_ - F + = qE_ - qE + = q(E_ - Е +). (12.22)

Введем отношение (Е_ - Е +)/l, характеризующее среднее изменение напряженности, приходящееся на единицу длины плеча диполя. Так как обычно плечо невелико, то приближенно можно считать

(Е_ - E +)/l = dE/dx, (12.23)

где dE/dx - производная от напряженности электрического поля по направлению оси ОХ, являющаяся мерой неоднородности электрического поля вдоль соответствующего направления. Из (12.23)следует, что

тогда формулу (12.22) можно представить в виде

(12.24)

Итак, на диполь действует сила, зависящая от его электрического момента и степени неоднородности поля dE/dx. Если диполь ориентирован в неоднородном электрическом поле не вдоль силовой линии, то на него дополнительно действует еще и момент силы. Таким образом, свободный диполь ориентируется вдоль силовых линий и втягивается в область больших значений напряженности поля.

До сих пор рассматривался диполь, помещенный в электрическое по­ле, однако сам диполь также является источником поля. На основании (12.18) запишем выражение для электрического потенциала поля, со­зданного диполем, в некоторой точке А, удаленной от зарядов соответ­ственно на расстояния гиг, (рис. 12.8):

Обычно предполагают, что l << r, l << r 1 , тогда r » r 1 , и

где a - угол между вектором и направлением от диполя на точку А (рис. 12.8). Используя (12.26), из (12.25) получаем

Рассмотрим некоторые приложения формулы (12.27).

Пусть диполь, электрический момент которого равен , находится в точке О (рис. 12.9), а его плечо мало. Используя (12.27), запишем разность потенциалов двух точек поля А и В, равноотстоящих от диполя (углы a А и a В показаны на рис. 12.9):

Угол между и прямой АВ или ОС обозначим a, ÐAOB = b, углы a А = a + b/2 + +p/2, a В = a - b/2 + p/2.

Учитывая эти равенства, выполним тригонометрические преобразования:

Подставляя (12.29) в (12.28), имеем

Как видно из (12.30), разность потенциалов двух точек поля диполя, равноотстоящих от него (при данных e и r ), зависит от синуса половинного угла, под которым видны эти точки от диполя (рис. 12.10), и проекции электрического момента диполя р cos a на прямую, соединяющую эти точки (рис. 12.11). Эти замечания справедливы в рамках тех ограничений, которые были сделаны при выводе формулы (12.27).

Пусть диполь, создающий электрическое поле, находится в центре равностороннего треугольника ABC (рис. 12.12). Тогда на основании (12.30) можно получить, что напряжения на сторонах этого треугольника относятся как проекции вектора на его стороны:

U AB: U BC: U CA = p AB: p BC: p CA (12.31)