II. Магнитное взаимодействие

Рис. 3 Взаимодействие постоянных токов

§ 2. Напряженность электростатического поля

Электростатика – раздел физики, который изучает существование и взаимодействие неподвижных зарядов

Электростатическое поле характеризуется двумя взаимосвязанными физическими величинами:

Опыт показывает, что сила F, действующая на неподвижный точечный пробный заряд q, всегда может быть представлена как

, (4)

где вектор называютнапряженностью электрического поля в данной точке. Вектор , как видно из (4), можно определить как силу, действующую на единичный положительный неподвижный заряд. Здесь предполагается, что пробный заряд q пр должен быть достаточно малым, чтобы его внесение не вызвало заметного искажения интересующего нас поля (вследствие возможного перераспределения создающих поле зарядов).

Силовая линия – математическая линия, направление касательной к которой в каждой точке, через которую она проходит совпадает с направлением вектора , а густота пропорциональна модулю вектора.

Силовые линии начинаются на “+” заряж. телах и заканчиваются на “-” заряж. телах.

Напряженность поля точечного заряда

Из опыта (закон Кулона) непосредственно следует, что напряженность поля неподвижного точечного заряда q на расстоянии r от него можно представить как

(5)

где k - постоянная вид, которой зависит от выбора системы отсчета, в системе СИ

; ε 0 - электрическая постоянная; -радиус-вектор, проведенный из центра поля, в котором расположен заряд q, до интересующей нас точки. Напряженность поля в системе СИ выражается ввольтах на метр (В/м). В зависимости от знака заряда q вектор направлен так же, как и (для положительного заряда), или противоположно ему (для отрицательного заряда).

По существу, формула выражает не что иное, какзакон Кулона, но в «полевой» форме. Вся совокупность экспериментальных фактов показывает, что этот закон справедлив для расстояний от 10 -14 м до нескольких километров, и пока нет никаких оснований ожидать, что этот закон не выполняется и при больших расстояниях.

Принцип суперпозиции

Напряженность поля системы точечных неподвижных зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, которые создавали бы каждый из зарядов в отдельности:

, (6)

где r i - расстояние между зарядом q i и интересующей нас точкой поля.

Это утверждение называют принципом суперпозиции (наложения) электрических полей. Поле точечного заряда является фундаментальным, потому что, используя формулу поля точечного заряда и принцип суперпозиции, можно расчитать поле любого (!) заряда.

Распределение зарядов. Для упрощения математических расчетов во многих случаях бывает удобно игнорировать тот факт, что заряды имеют дискретную структуру (электроны, ядра), и считать, что они «размазаны» определенным образом и пространстве. Другими словами, удобно заменить истинное распределение точечных дискретных зарядов фиктивным непрерывным распределением. Это позволяет значительно упрощать расчеты, не внося сколько-нибудь значительной ошибки.

При переходе к непрерывному распределению вводят понятие о плотности зарядов - объемной ρ , поверхностной σ и линейной λ. По определению,

(7)

где dq - заряд, заключенный соответственно в объеме dV , на поверхности dS и на длине dl .

C учетом этих распределений формула (6) может быть представлена в другой форме. Например, если заряд распределен по объему, то надо заменить q i на dq = ρ dV и ∑ на ∫, тогда

, (8)

где интегрирование проводится по всему пространству, в котором ρ отлично от нуля (Рис.5).

dq

Таким образом, зная распределение зарядов, мы можем полностью решить задачу о нахождении напряженности электрического поля по формуле (6), если распределение дискретно, или по формуле (8), если распределение непрерывно. Этот метод нахождения электрического поля получил название метод непосредственного интегрирования . В общем случае расчет сопряжен со значительными трудностями (правда, не принципиального характера). Действительно, для нахождения вектора надо вычислить сначала его проекцииЕ x , Е y , Е z , а это по существу, три интеграла типа (8).

метод непосредственного интегрирования

Пример 1 Заряд q > 0 равномерно распределен по тонкому кольцу радиусом R . Найти напряженность Е электрического поля на оси кольца как функцию расстояния z от его центра.

Решение. Легко сообразить, что в данном случае вектор Е должен быть направлен по оси кольца (рис. 2). Выделим на кольце элемент dl . Запишем выражение для составляющей

от этого элемента в точке А:

где λ = q /2π R . Для всех элементов кольца r и R будут одними и теми же, поэтому интегрирование этого выражения сводится просто к замене dl на q.

r

0 α x

Электрическое поле - пространство, обладающее свойством действовать с силой на электрический заряд, помещённый в это поле.

Как показывает опыт, эта электрическая сила F пропорциональна величине пробного заряда q , находящегося в исследуемой точке поля.

Поэтому отношение - уже не будет зависеть от величины пробного заряда. Оно определяется только свойством поля в данной точке. Это отношение принято в качестве силовой характеристики электрического поля и получило название напряженность .

Напряжённость данной точки электрического поля равна по величине и совпадает по направлению с силой, действующей на единичный положительный заряд, помещенный в эту точку (рис. 1.2.) В системе СИ напряжённость измеряется в ньютонах на кулон.

Поле точечного заряда.

Пусть поле создаётся точечным зарядом Q . Внесём в точку А этого поля пробный точечный заряд q (рис. 1.3.) На него в поле будет действовать сила, равная

Но эту же силу можно записать, воспользовавшись законом Кулона (1.1)

Сопоставив эти два уравнения, легко получить выражение для напряжённости электрического поля, созданного точечным зарядом Q :

Напряжённость поля точечного заряда прямо пропорциональна величине заряда Q, создающего поле, и обратно пропорциональна квадрату расстояния от заряда, до той точки поля, в которой измеряется напряжённость .

В любой точке такого поля вектор напряженности направлен по радиусу от положительного заряда (+Q ), либо к заряду, если он отрицателен (–Q ).

Электрические поля удобно представлять графически с помощью силовых линий.

Силовая линия - в общем случае кривая, касательная к которой в любой точке совпадает по направлению с направлением вектора напряжённости в этой точке (рис. 1.4.).

С помощью таких силовых линий определяют не только направление, но и величину напряженности поля в разных точках. Для этого силовые линии проводят гуще там, где модуль вектора напряжённости выше.

Выберем в электрическом поле поверхность единичной площади, перпендикулярную силовым линиям (рис. 1.5.). Договорились, при графическом изображении поля проводить через единичную поверхность такое количество силовых линий, которое равно напряжённости поля в этой области. На рисунках 1.6. и 1.7. представлены «графические портреты» электрических полей, созданных точечными зарядами (+Q ) и (–Q ).

Известна сила , с которой взаимодействуют два точечных заряда Q 1 и q (рис. 1.8.). Опыт свидетельствует о том, что эта сила не изменится, если рядом появятся другие точечные заряды Q 2 …Q i …Q N (рис. 1.9.)

Результирующая сила, действующая на заряд q ,будет равна в этом случае векторной сумме отдельных сил

(1.4)

Разделив (1.4) на величину заряда q , мы придём к важному выводу:

Если поле в некоторой точке пространства создаётся отдельными точечными зарядами, то напряжённость результирующего поля равна векторной сумме напряженностей складываемых полей

Это правило получило название принципа суперпозиции электрических полей . Подчеркнем ещё раз, что справедливость этого принципа подтверждена экспериментально.

Принцип суперпозиции позволяет вычислить поля, созданные различными комбинациями зарядов.

Формула- закон Кулона

где к коэффициент пропорциональности

q1,q2 неподвижные точечные заряды

r расстояние между зарядами

3. Напряжённость электри́ческого по́ля - векторная физическая величина, характеризующая электрическое поле в данной точке и численно равная отношению силы действующей на неподвижный пробный заряд, помещенный в данную точку поля, к величине этого заряда : .

Напряжённость электрического поля точечного заряда

[править]В единицах СИ

Для точечного заряда в электростатике верен закона Кулона

Напряженность электрического поля произвольного распределения зарядов

По принципу суперпозиции для напряженности поля совокупности дискретных источников имеем:

где каждое

4. При́нцип суперпози́ции - один из самых общих законов во многих разделах физики. В самой простой формулировке принцип суперпозиции гласит:

· результат воздействия на частицу нескольких внешних сил есть векторная сумма воздействия этих сил.

Наиболее известен принцип суперпозиции в электростатике, в которой он утверждает, что напряженность электростатического поля, создаваемого в данной точке системой зарядов, есть сумма напряженностей полей отдельных зарядов .

Принцип суперпозиции может принимать и иные формулировки, которые полностью эквивалентны приведённой выше:

· Взаимодействие между двумя частицами не изменяется при внесении третьей частицы, также взаимодействующей с первыми двумя.

· Энергия взаимодействия всех частиц в многочастичной системе есть просто сумма энергий парных взаимодействий между всеми возможными парами частиц. В системе нет многочастичных взаимодействий .

· Уравнения, описывающие поведение многочастичной системы, являются линейными по количеству частиц.

Именно линейность фундаментальной теории в рассматриваемой области физики есть причина возникновения в ней принципа суперпозиции.

В электростатике принцип суперпозиции есть следствие того факта, что уравнения Максвелла в вакууме линейны. Именно из этого следует, что потенциальную энергию электростатического взаимодействия системы зарядов можно легко сосчитать, вычислив потенциальную энергию каждой пары зарядов.

5. Работа электрического поля.

6. Электростатический потенциал равен отношению потенциальной энергии взаимодействия заряда с полем к величине этого заряда:

Напряжённость электростатического поля и потенциал связаны соотношением

7. Принцип суперпозиции электростатических полей.Силы или поля от различных зарядов складываются с учетом их позиции или направленности (вектора). Это выражает принцип “суперпозиции” поля или потенциалов:потенциал поля нескольких зарядов равен алгебраической сумме потенциалов отдельных зарядов, φ=φ 1+φ2+…+φn= ∑i nφi. Знак потенциала совпадает со знаком заряда,φ=kq/r .

8. Потенциальная энергия заряда в электрическом поле. Продолжим сравнение гравитационного взаимодействия тел и электростатического взаимодействия зарядов. Тело массойm в поле тяжести Земли обладает потенциальной энергией.
Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии, взятому с противоположным знаком:

A = - (W p2 - W p1 ) = mgh .

(Здесь и далее мы будем обозначать энергию буквой W .)
Точно так же, как тело массой m в поле силы тяжести обладает потенциальной энергией, пропорциональной массе тела, электрический заряд в электростатическом поле обладает потенциальной энергией W p , пропорциональной заряду q . Работа сил электростатического поля А равна изменению потенциальной энергии заряда в электрическом поле, взятому с противоположным знаком:

9. Теорема о циркуляции вектора напряженности в интегральной форме:

В дифференциальной форме:

10. Связь потенциала и напряженности. E = - grad = -Ñ .

Напряжённость в какой-либо точке электрического поля равна градиенту потенциала в этой точке, взятому с обратным знаком . Знак «минус» указывает, что напряженность E направлена в сторону убывания потенциала

11. Поток вектора напряженности .

Теорема Гаусса в интегральной форме: где

· - поток вектора напряжённости электрического поля через замкнутую поверхность .

· - полный заряд, содержащийся в объёме, который ограничивает поверхность .

· - электрическая постоянная.

Данное выражение представляет собой теорему Гаусса в интегральной форме.

В дифференциальной форме: Здесь - объёмная плотность заряда (в случае присутствия среды - суммарная плотность свободных и связанных зарядов), а - оператор набла.

12. Применение закона Гаусса. 1. Напряженность электростатического поля, создаваемого равномерно заряженной сферической поверхностью .

Пусть сферическая поверхность радиуса R (рис. 13.7) несет на себе равномерно распределенный заряд q, т.е. поверхностная плотность заряда в любой точке сферы будет одинакова.

a. Заключим нашу сферическую поверхность в симметричную поверхность S с радиусом r>R. Поток вектора напряженности через поверхность S будет равен

По теореме Гаусса

Следовательно

c. Проведем через точку В, находящуюся внутри заряженной сферической поверхности, сферу S радиусом г

Напряженность поля равномерно заряженной бесконечной прямолинейной нити (или цилиндра).

Предположим, что полая цилиндрическая поверхность радиуса R заряжена с постоянной линейной плотностью .

Проведем коаксиальную цилиндрическую поверхность радиуса Поток вектора напряженности через эту поверхность

По теореме Гаусса

Из последних двух выражений определяем напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной нитью:

В это выражение не входят координаты, следовательно электростатическое поле будет однородным, а напряженность его в любой точке поля одинакова.

13. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ДИПОЛЬ .

Электрический диполь - система двух равных по модулю разноименных точечных зарядов (), расстояние между которыми значительно меньше расстояния до рассматриваемых точек поля.
Плечо диполя - вектор , направленный по оси диполя (прямой, проходящей через оба заряда) от отрицательного заряда к положительному и равный расстоянию между зарядами.
Электрический момент диполя (дипольный момент):
.

Потенциал поля диполя:

Напряженность поля диполя в произвольной точке (согласно принципу суперпозиции):

где и - напряженности полей, создаваемых соответственно положительным и отрицательным зарядами.

Напряженность поля диполя на продолжении оси диполя в точке А :
.
Напряженность поля диполя на перпендикуляре, восставленном к оси из его середины в точке B :
.

Взаимодействие между покоящимися зарядами осуществляется через электрическое поле.

Всякий заряд изменяет свойства окружающего его пространства - создает в нем электрическое поле. Это поле проявляет себя в том, что помещенный в какую-либо его точку электрический заряд оказывается под действием силы. Следовательно, для того чтобы выяснить, имеется ли в данном месте электрическое поле, нужно поместить туда заряженное тело (в дальнейшем для краткости мы будем говорить просто заряд) и установить, испытывает оно действие электрической силы или нет. По величине силы, действующей на данный заряд, можно, очевидно, судить об «интенсивности» поля.

Итак, для обнаружения и исследования электрического поля нужно воспользоваться некоторым «пробным» зарядом. Для того чтобы сила, действующая на пробный заряд, характеризовала поле «в данной точке», пробный заряд должен быть точечным. В противном случае сила, действующая на заряд, будет характеризовать свойства поля, усредненные по объему, занимаемому телом, которое несет на себе пробный заряд.

Исследуем с помощью точечного пробного заряда поле, создаваемое неподвижным точечным зарядом . Поместив пробный заряд в точку, положение которой относительно заряда q определяется радиусом-вектором (рис. 5.1), мы обнаружим, что на пробный заряд действует сила

(см. (2.2) и (4.1)). Здесь - орт радиуса-вектора .

Из формулы (5.1) следует, что сила, действующая на пробный заряд, зависит не только от величин, определяющих поле (от q и ), но и от величины пробного заряда Если брать разные по величине пробные заряды и т. д., то и силы которые они испытывают в данной точке поля, будут различными. Однако из (5.1) видно, что отношение для всех пробных зарядов будет одним и тем же и зависит лишь от величин q и , определяющих поле в данной точке. Поэтому естественно принять это отношение в качестве величины, характеризующей электрическое поле:

Эту векторную величину называют напряженностью электрического поля в данной точке (т. е. в той точке, в которой пробный заряд испытывает действие силы F).

В соответствии с формулой (5.2) напряженность электрического поля численно равна силе, действующей на единичный точечный заряд, находящийся в данной точке поля. Направление вектора Е совпадает с направлением силы, действующей на положительный заряд.

Отметим, что формула (5.2) остается справедливой и в том случае, когда в качестве пробного взят отрицательный заряд . В этом случае векторы Е и F имеют противоположные направления.

К понятию о напряженности электрического поля мы пришли, исследуя поле неподвижного точечного заряда. Однако определение (5.2) распространяется и на случай поля, создаваемого любой совокупностью неподвижных зарядов. В этом случае, впрочем, необходимо следующее уточнение. Может случиться, что расположение зарядов, обусловливающих исследуемое поле, изменяется под воздействием пробного заряда. Это произойдет, например, когда заряды, создающие поле, расположены на проводнике и могут свободно перемещаться в его пределах. Поэтому, чтобы не внести заметных изменений в исследуемое поле, величину пробного заряда нужно брать достаточно малой.

Из формул (5.2) и (5.1) следует, что напряженность поля точечного заряда пропорциональна величине заряда q и обратно пропорциональна квадрату расстояния от заряда до данной точки поля:

Направлен вектор Е вдоль радиальной прямой, проходящей через заряд и данную точку поля, от заряда, если он положителен, и к заряду, если он отрицателен.

В гауссовой системе формула для напряженности поля точечного заряда в вакууме имеет вид

За единицу напряженности электрического поля принимается напряженность в такой точке, в которой на заряд, равный единице (1 Кл в СИ, 1 СГСЭ - единице заряда в гауссовой системе), действует сила, величина которой также равна единице (1 Н в СИ, 1 дин в гауссовой системе). В гауссовой системе эта единица специального названия не имеет. В СИ единица напряженности электрического поля имеет название вольт на метр и обозначается В/м (см. формулу (8.5)).

Та же напряженность в гауссовой системе равна

Сопоставляя оба результата, находим, что

Согласно (5.2) сила, действующая на пробный заряд, равна

Очевидно, что на всякий точечный заряд q 1 в точке поля с напряженностью Е будет действовать сила

Если заряд q положителен, направление силы совпадает с направлением вектора Е. В случае отрицательного q направления векторов F h Е противоположны.

В § 2 было указано, что сила, с которой система зарядов действует на некоторый не входящий в систему заряд, равна векторной сумме сил, с которыми действует на данный заряд каждый из зарядов системы в отдельности (см. формулу (2.4)). Отсюда вытекает, что напряженность поля системы зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, которые создавал бы каждый из зарядов системы в отдельности:

Последнее утверждение носит название принципа суперпозиции (наложения) электрических полей.

Принцип суперпозиции позволяет вычислить напряженность поля любой системы зарядов. Разбив протяженные заряды на достаточно малые доли dq, любую систему зарядов можно свести к совокупности точечных зарядов. Вклад каждого из таких зарядов в результирующее поле вычисляется по формуле (5.3).

Электрическое поле можно описать, указав для каждой точки величину и направление вектора Е. Совокупность этих векторов образует поле вектора напряженности электрического поля (ср. с полем вектора скорости, т. 1,§ 72). Поле вектора скорости можно представить очень наглядно с помощью линий тока. Аналогично электрическое поле можно описать с помощью линий напряженности, которые мы будем называть сокращенно линиями Е (их называют также силовыми линиями). Линии напряженности проводят таким образом, чтобы касательная к ним в каждой точке совпадала с направлением вектора Е.

Густота линий выбирается так, чтобы количество линий, пронизывающих единицу поверхности, перпендикулярной к линиям площадки, было равно числовому значению вектора Е. Тогда по картине линий напряженности можно судить о направлении и величине вектора Е в разных точках пространства (рис. 5.2).

Линии Е поля точечного заряда представляют собой совокупность радиальных прямых, направленных от заряда, если он положителен, и к заряду, если он отрицателен (рис. 5.3). Линии одним концом опираются на заряд, другим уходят в бесконечность. В самом деле, полное число линий, пересекающих сферическую поверхность произвольного радиуса , будет равно произведению густоты линий на поверхность сферы . Густота линий по условию численно равна Следовательно, количество линий численно равно Полученный результат означает, что число линий на любом расстоянии от заряда будет одним и тем же.

Отсюда и вытекает, что линии нигде, кроме заряда, не начинаются и не заканчиваются; они, начавшись на заряде, уходят в бесконечность (заряд положителен), либо, приходя из бесконечности, заканчиваются на заряде (заряд отрицателен). Это свойство линий Е является общим для всех электростатических полей, т. е. полей, создаваемых любой системой неподвижных зарядов: линии напряженности могут начинаться или заканчиваться лишь на зарядах либо уходить в бесконечность.