Если обкладки заряженного конденсатора замкнуть металлической проволокой, то в ней возникает электрический ток, а конденсатор разрядится. Электрический ток разряда конденсатора выделяет в проволоке определённое количество тепла, а это значит, что заряженный конденсатор обладает энергией.
Вычислим энергию заряженного конденсатора С. Для этого обозначим через U мгновенное значение напряжения на обкладках конденсатора в процессе разряда. Если малое количество заряда dq проходит в процессе разряда с одной обкладки на другую, то работа электрических сил dА будет
Выражая в этой формуле заряд обкладок q через напряжение
Q = CU, получим
Полную работу, совершаемую электрическими силами за все время разряда, равную энергии конденсатора W, мы получим, интегрируя это выражение между значениями напряжения U (начало разряда) и 0 (конец разряда). Это дает:
A= - W = C= - CU 2 /2. (1)
Можно (1) переписать:
W = cu2/2 = q2/2c = qU/2. (2)
А где именно, т.е. в каком месте в конденсаторе локализована эта энергия? - На обкладках конденсатора, т.е. на электрических зарядах, или в его электрическом поле, т.е. в пространстве между обкладками. В дальнейшем мы сможем ответить на этот вопрос, что энергия сосредоточена в электрическом поле. Дальнейшее развитие теории и эксперимента показало, что переменные во времени электрические и магнитные поля могут существовать обособленно, независимо от возбудивших их зарядов, и распространяются в пространстве в виде электромагнитных волн, способных переносить энергию.
Учитывая это, мы можем преобразовать (2) т.о., чтобы в него входила характеристика поля - его напряженность.
Рассмотрим вначале однородное поле и применим формулу (1) к плоскому конденсатору. Мы получим
W = ee 0 SU 2 /2d = ee 0 (U/d) 2 Sd/2, но
U/d=E, a Sd - объём, занимаемый полем.
Мы видим, что энергия однородного электрического поля пропорциональна объёму, занимаемому полем. Поэтому целесообразно говорить об энергии каждой единицы объёма, или об объёмной плотности энергии электрического поля. Она равна
W 1 = ee 0 E 2 /2 = ED/2, т.к. V = Sd = 1.
Последнее выражение справедливо только для изотропного диэлектрика.
Если электрическое поле неоднородно, то его можно разбить на элементарные объемы dV и считать, что в пределах бесконечно малого объема это поле однородно. Поэтому энергия, заключенная в объеме поля dV, будет W 1 dV, а полная энергия любого электрического поля может быть представлена в виде
W
= (e 0 /2)
dV,
Причем интегрирование проводится по всему объему V, где имеется электрическое поле.
Постоянный электрический ток
Электрическим током называется направленное движение электрических зарядов. Ток, возникающий в проводнике вследствие того, что в нем создастся электрическое поле, называется током проводимости. При движении зарядов нарушается их равновесное распределение: поверхность проводника уже не является эквипотенциальной и электрические силовые линии не направлены ^ ей, т.к. для движения зарядов необходимо, чтобы на поверхности проводника тангенциальная составляющая напряженности электрического поля не равнялась нулю (E t ¹ 0). Но тогда и внутри проводника должно существовать электрическое поле, ибо, как известно из электростатики, внутри проводника нет поля лишь в случае равновесного распределения зарядов по поверхности этого проводника. Перемещение зарядов - электрический ток - продолжается до тех пор, пока все точки проводника не станут эквипотенциальными.
Т.о., для появления и существования электрического тока проводимости необходимы два условия.
Первое- наличие в данной среде носителей заряда, т.е. заряженных частиц, которые могли бы в ней перемещаться. Такими частицами, как мы убедимся далее, в металлах являются электроны проводимости, в жидких проводниках (электролитах) - положительные и отрицательные ионы; в газах - положительные ионы и электроны, а также иногда и отрицательные ионы.
Второе - наличие в данной среде электрического поля, энергия которого затрачивалась бы на пе ремещение электрических зарядов. Для того чтобы ток был длительным, энергия поля должна все время пополняться, иными словами, нужен источник электрической энергии -устройство, в котором осуществляется преобразование какого-либо вида энергии в энергию электрического поля. В зависимости от свойств этих источников в электротехнике различают источники напряжения и источники тока. Поэтому во избежание неточностей мы будем в дальнейшем пользоваться только термином "источник электрической энергии".
Упорядоченное движение зарядов можно осуществить и другим способом - перемещением в пространстве заряженного тела (проводника или диэлектрика). Такой электрический ток называется конвекционным током. Например, движение по орбите Земли, обладающей избыточным отрицательным зарядом, можно рассматривать как конвекционный ток.
За направление тока условно принимают направление движения положительных заря дов.
Для характеристики электрического тока через какую либо поверхность (например, в случае тока проводимости - через поперечное сечение проводника) вводится понятие силы тока.
Силой тока называется физическая величина I, равная отношению заряда dq, переносимого через рассматриваемую поверхность S за малый промежуток времени dt, к величине этого промежутка:
Если сила тока и его направление не изменяются с течением времени, то ток называется постоянным. Сила постоянного тока
где q - заряд, переносимый через поверхность S за конечный промежуток t.
Для того чтобы ток проводимости был постоянным, заряды не должны накапливаться или убывать ни в одной части проводника. Поэтому цепь постоянного тока должна быть замкнутой, а суммарный электрический заряд, который поступает за 1 секунду. сквозь поверхность S 1 в объем проводника, заключенный между двумя произвольно выбранными поперечными сечениями S 1 и S 2 (рис.1), должен быть равным суммарному заряду, выходящему из этого объема за то же время сквозь поверхность S 2 Т.о., сила постоянного тока I во всех сечениях проводника одинакова.
Единица силы тока в СИ - ампер (А) - определяется на основании электромагнитного взаимодействия двух параллельных прямолинейных проводников, по которым протекает постоянный ток. Из (2) следует, что 1А - равен силе постоянного электрического тока, при котором через поперечное сечение проводника в 1секунду переносится заряд, равный 1К:
Для характеристики направления электрического тока в различных точках рассматриваемой поверхности вводится вектор плотности электрического тока, который совпадает по направлению с движением положительно заряженных частиц - носителей заряда и численно равен отношению силы тока dI сквозь малый элемент поверхности, нормальный к направлению движения заряженных частиц, к площади dS ^ этого элемента:
`J = dI/ dS ^ , (3)
В СИ плотность тока измеряется в (А/м 2).
Очевидно,
что dI
= Jсоsa
dS
= J n
dS
, или dI
= J
dS,
где `n - единичный вектор, перпендикулярный площадке dS, J n – проекции J на направление нормали `n.
Сила тока через произвольную поверхность S равна
I = òJ n dS = ò J dS,
где интегрирование проводится по всей площади этой поверхности. В дальнейшем S- это поперечное сечение проводника. Для постоянного тока I = JS (4)
В цепи постоянного тока, состоящей из проводников с переменной площадью поперечного сечения, рис. 1, плотности тока в различных сечениях S 1 и S 2 обратно пропорциональны площадям этих сечений.
Электрическое поле, действуя на заряды. Совершает механическую работу.
Рассмотрим поле, созданное положительным точечным зарядом q, в котором перемещается точечный заряд q + по траектории из точки 1 в точку 2. (рис.1.9)
2
dx→0 Рис 1.9
Работа, совершаемая
электрическим полем на элементарном
участке dx
траектории движения заряда
где:
.
Работа на участке траектории 1, 2 определится в результате интегрирования
(1.18)
Работа электрического
поля не зависит от формы траектории
движения заряда
от
точки 1 к точке 2. Точно такими же
свойствами обладает и гравитационное
поле, где действует консервативная
сила тяжести. Следовательно, сила
электрического взаимодействия между
зарядами есть консервативная сила, а
электрическое поле – потенциально.
Работа консервативных сил, действующих
на тело, равна убыли потенциальной
энергии.
Для электрического поля
,
(1.20)
есть потенциальная
энергия электрического поля, а С
– постоянная интегрирования, которая
зависит от выбора точки в пространстве,
в которой потенциальная энергия заряда
условно
полагается равной нулю.
1.9. Потенциал электрического поля
Разные по величине заряды в одной и той же точке электрического поля обладают разными потенциальными энергиями. Однозначной характеристикой электрического поля будет соотношение:
,
(1.21)
которое называется потенциалом электрического поля.
Потенциал данной точки электрического поля – это скалярная физическая величина, характеризующая энергетическое состояние поля в рассматриваемой точке и численно равная потенциальной энергии единичного точечного положительного заряда. помещенного в данную точку. За единицу потенциала в системе СИ принимается один вольт.(1 В). Это потенциал такой точки поля, в которой заряд в 1 Кл обладает потенциальной энергией в 1 Дж.
Отношение работы электрического поля на участке 1, 2 траектории к движущемуся заряду
(1.22)
Работа, совершаемая силами электрического поля при перемещении заряда. равна произведению величины этого поля на разность потенциалов в начальной и конечной точках траектории.
Если заряд
из
точки 1 удаляется в бесконечность, то
в ней напряженность и потенциальная
энергия электрического поля равны
нулю, а затраченная работа
а потенциал в точке 1
.
(1.24)
Потенциал данной точки электрического поля численно равен работе, которую нужно совершить при перемещении единичного положительного заряда по любому пути из данной точки в бесконечность.
Для графического
изображения распределения потенциала
в электрическом поле используют понятие
эквипотенциальных поверхностей, которая
представляет собой совокупность всех
точек пространства, имеющих одно и то
же значение потенциала, т.е. по всей
эквипотенциальной поверхности
.
Особенностью любой эквипотенциальной поверхности является то, что силовые линии электрического поля всегда пересекают эквипотенциальную поверхность по нормали к ней.
3.1.4 Потенциал электростатического поля. Работа и энергия заряда в электрическом поле
Электрическое поле неподвижных зарядов называют также электростатическим , Поэтому энергия электростатического поля в той или иной точке зависит от положения точки и является потенциальной энергией.
Пусть пробный электрический заряд q 0 находится в электростатическом поле. Такой заряд под действием сил поля может прийти в движение. При перемещении этого заряда полем совершается работа. Как известно, работа консервативных сил совершается за счет убыли потенциальной энергии. Поэтому работу сил электростатического поля можно представить как разность потенциальных энергий, которыми обладает точечный заряд q 0 в начальной и конечной точках своего перемещения в поле заряда q : A = (1/4 πε 0 ) (q 0 q )/ εr 1 - (1/4 πε 0 ) (q 0 q )/ εr 2 = E п 1 – Еп 2 , откуда следует, что потенциальная энергия заряда q в поле заряда q 0 равна E п = q 0 q /4 πε 0 εr + C . Она определяется не однозначно, а с точностью до произвольной постоянной С. Если считать, что при удалении заряда в бесконечность (r →∞) потенциальная энергия обращается в нуль (E п = 0), то С = 0 и потенциальная энергия заряда q , находящегося в поле заряда Q на расстоянии r от него, равна
|
E п = q q 0 /4 πε 0 εr . |
Для одноименных зарядов q 0 q >0 и потенциальная энергия их взаимодействия (отталкивания) положительна, для разноименных зарядов q 0 q <0 и потенциальная энергия их взаимодействия (притяжения) отрицательна.
Если поле создается системой п точечных зарядов q 1 , q 2 , , q n , то работа электростатических сил, совершаемая над зарядом q 0 , равна алгебраической сумме работ сил, обусловленных каждым из зарядов в отдельности. Поэтому потенциальная энергия E п заряда q 0 , находящегося в этом поле, равна сумме его потенциальных энергий E п i , создаваемых каждым из зарядов в отдельности: E п = ∑ E п i = q 0 ∑ q i /4 πε 0 εr i . Из этой формулы вытекает, что если поле создается несколькими зарядами, то потенциал поля системы зарядов равен алгебраической сумме потенциалов полей этих зарядов:
|
φ = ∑ φ i = ∑ q i /4 πε 0 εr i . |
Пусть заряд q в данной точке поля обладает потенциальной энергией Е п . В различных точках поля потенциальная энергия данного заряда может быть различна, она зависит как от свойств поля, так и от величины заряда. Но если в одну и ту же точку поля помещать разные заряды потенциальная энергия которых соответственно равна Е п1 , Е п2 ;. . .; Е п i и взять отношение Е п к q , то получается постоянная величина, не зависящая от величины заряда. Это отношение взято в качестве энергетической характеристики поля и называется потенциалом поля. Следовательно, потенциал данной точки поля определяется формулой
|
φ = Е п / q |
Итак, потенциал φ какой-либо точки электростатического поля равен потенциальной энергии: приходящейся на единицу пробного заряда, помещенного в эту точку. Следовательно, потенциал поля есть величина, равная отношению потенциальной энергии заряда к величине заряда, помещенного в данную точку электростатического поля. Если напряженность поля есть силовая характеристика и является вектором, то потенциал- энергетическая характеристика поля и величина скалярная.
Потенциал φ в какой-либо точке электростатического поля есть физическая величина, определяемая потенциальной энергией единичного положительного заряда, помещенного в эту точку. Из полученной формулы следует, что потенциал поля, создаваемого точечным зарядом q , равен
|
φ = q /4 πε 0 εr |
Система из двух точечных зарядов + q x и - q 2 , находящихся па расстоянии b друг от друга, называется диполем . Такую систему в физике рассматривают потому, что центры положительных и отрицательных зарядов молекул многих веществ можно представить смещенными друг относительно друга. Представление о диполях часто позволяет с известным приближением описать взаимодействие молекул различных веществ. Модель дипольного строения вещества лежит в основе теории диэлектриков.
Величину произведения плеча на значение одного из зарядов, образующих диполь, называют электрическим моментом диполя: p = qb . Электрический момент представляет собой вектор, длина которого изображает величину момента, а направление совпадает с осью диполя от отрицательного заряда к положительному заряду. Пользуясь рисунком- 3.10, произведем расчет поля диполя. По принципу суперпозиции, потенциал поля диполя в точке наблюдения равен
|
φ = q/4 πε 0 ε (1/r 2 -1/r 1 ) =(q/4 πε 0 ε ) * (r 1 -r 2 )/r 2* r 1 |
где r 2 и r 1 - расстояния от положительного и отрицательного зарядов диполя до точки наблюдения. Пусть точка наблюдения выбрана так, что длина b« r намного меньше расстояний r 2 и r 1 . В этом случае можно положить, что r 1 - r 2 ≈ bcosα ; r 2* r 1 ≈ r 2 , и предыдущую формулу можно переписать так: φ = qbcosα / r 2 = p cosα / r 2 , где α- угол между направлением момента диполя и направлением к точке наблюдения, проведенным из диполя. Зная зависимость φ (r ,) можно определить напряженность поля по соответствующим формулам.
Величины же составляющих легко найдутся по формуле, выражающей связь между напряженностью и потенциалом поля:
|
Е r = - dφ / db |
Применяя эту формулу к вычислению Е r находим, что d b = dr , α = const, и, cледовательно, Е r = - d / dr (p cosα / r 2 ) = 2 p cosα / r 2 .
При вычислении Е α , учтем, что при перемещении на величину db , в направлении, перпендикулярном к радиусу, r = const, а угол α изменится на величину db = r dα .
Тогда Е α = - dφ / dl =- 1/ r (dφ / dα ) = - 1/ r [ d (p cosα )/ r 2 ] dα = 2 p sinα / r 2 , и далее, Е = √ Е 2 r + Е α 2 = p / r 2 √ 4 cos 2 α + sin 2 α = p / r 2 √ 3 cos 2 α + 1.
На одинаковом расстоянии от центра диполя наибольшее значение напряженности поля будет на оси диполя, когда cos 2 α =1 , а наименьшее - в направлении, перпендикулярном к оси, когда cos 2 α = 0. Следовательно,
Как видно, работа, совершаемая электростатическими силами при перемещении электрического заряда из одной точки электрического поля в другую, равна произведению величины электрического заряда на разность потенциалов в этих точках поля. Полученная формула есть одно из основных соотношений электростатики, из которого следует, что работа электростатического поля по перемещению заряда между двумя точками не зависит от формы пути, а является функциями положения начальных и конечных точек перемещения. Физический смысл имеет понятие разность потенциалов, но считается, что электрическое поле в бесконечности имеет нулевой потенциал φ ∞ = 0. Поэтому, когда говорят о потенциале точки, условно принимается за уровень отсчета потенциал бесконечно удаленной точки с φ ∞ =0. Этим свойством электростатического поля пользуются при рассмотрении многих задач электростатики, например, при определении потенциала точечного заряда.
Пусть работа поля при бесконечно малом перемещении dr = dl cos α равна dA , тогда для вычисления работы электрических сил на конечном пути l необходимо взять интеграл вида А = ∫dA . Элементарная работа электрических сил при бесконечно малом перемещении dr заряда q (рисунок - 3.11) равна
напряженности поля на направление dl . Таким образом, dA = qE l dl . Если электрический заряд перемещается по произвольному замкнутому контуру так, что начало пути, совпадает с его концом, то результирующая работа электрических сил равна нулю (разность потенциалов равна нулю): А=0. Поэтому для замкнутого контура q ∫ E l dl = 0;так как q ≠ 0, то
|
∫E l dl = 0 |
Величина ∫E l dl называется циркуляцией вектора напряженности поля. Таким образом, циркуляция вектора напряженности электростатического поля по произвольному контуру равна нулю. Силовое поле, обладающее таким свойством, называется потенциальным, а силы поля – консервативным.
Если в одну точку пространства приходят электрические поля из разных источников, то вследствие свойства суперпозиции электрических полей результирующий потенциал φ в данной точке будет равен алгебраической сумме потенциалов φ 1 ,φ 2 ,φ n . создаваемых отдельными зарядами:
|
φ = φ 1 +φ 2 + +φ n = ∑φ i |
В электрическом поле можно сформировать поверхность так, чтобы все ее точки имели бы один и тот же потенциал. Такие поверхности называются поверхностями равного потенциала или эквипотенциальными поверхностями .
Пользуясь эквипотенциальными поверхностями, можно электрические поля изобразить графически, подобно тому, как это делается с помощью силовых линий. Так как все точки эквипотенциальной поверхности имеют одинаковый потенциал, то работа перемещения заряда вдоль поверхности равна нулю. Это значит, что электрические силы, действующие на заряд, всегда направлены по нормалям к поверхности равного потенциала. Отсюда следует, что силовые линии всегда перпендикулярны к эквипотенциальным поверхностям. На рисунке - 3.12 изображены эквипотенциальные поверхности и силовые линии: а) - точечного заряда, б) – двух одноименных зарядов, в) – эквипотенциальные линии электрического поля тела произвольной формы.
|
|
|
|
|
Рисунок - 3.12 |
||
Эквипотенциальные линии на графике можно проводить с произвольной густотой, но обычно их проводят на картах полей так, чтобы они соответствовали одинаковым приращениям потенциала, например 1, 2, 3 и т. д. вольт. В этом случае быстрота изменений потенциала в направлении силовых линий будет обратно пропорциональна расстоянию между соседними эквипотенциальными линиями. Поэтому густота эквипотенциальных линий пропорциональна напряженности поля. Таким образом, по картине расположения эквипотенциальных поверхностей и расположении силовых линий. всегда можно составить представление об электрическом поле.
Установим теперь соотношение между потенциалом и напряженностью. Существование такой связи следует из того факта, что работа электрических сил, выражаемых через напряженность, вместе с тем выражается и через разность потенциалов точек поля. Как явствует из предыдущего, электрическое поле может быть охарактеризовано различными величинами:- векторной величиной-напряженностью и скалярной величиной-потенциалом. Установим связь между этими характеристиками поля. Искомую связь получим, сравнивая выражения работы через напряженность и через потенциал поля: dA = qEdl и dA = - d Е = - qdφ . Приравнивая оба выражения для работы и сокращая на q , получим: E dl = - dφ . Отсюда
|
E = - dφ / dl = - gradφ |
Эту мысль выражают следующим образом: напряженность поля равна градиенту потенциала, взятому с обратным знаком. Знак минус означает, что потенциал убывает при перемещении в направлении силовой линии, и, таким образом, напряженность поля измеряется изменением потенциала, приходящимся на единицу длины в направлении силовой линии, т. е. в направлении наиболее значительного уменьшения потенциала. Из формулы связи между потенциалом и напряженностью электростатического поля определяется единица измерения напряженности в СИ: В/м.
