Расчет электрических полей с помощью теоремы гаусса. Применение Теоремы Гаусса для расчета электростатических полей

Теорема Гаусса позволяет в ряде случаев найти напряженность поля гораздо более простыми средствами, чем с использованием формулы (5.3) для напряженности поля точечного заряда и принципа суперпозиции полей.

Продемонстрируем возможности теоремы Гаусса на нескольких полезных для дальнейшего примерах. Прежде чем приступить к рассмотрению этих примеров, введем понятия поверхностной и линейной плотностей заряда.

Если заряд сосредоточен в тонком поверхностном слое несущего заряд тела, распределение заряда в пространстве можно охарактеризовать с помощью поверхностной плотности о, которая определяется выражением

Здесь - заряд, заключенный в слое площади Под подразумевается физически бесконечно малый участок поверхности.

Если заряд распределен по объему или поверхности цилиндрического тела (равномерно в каждом сечении), используется линейная плотность заряда

Длина физически бесконечно малого отрезка цилиндра, заряд, сосредоточенный на этом отрезке).

Поле бесконечной однородно заряженной плоскости.

Пусть поверхностная плотность заряда во всех точках плоскости одинакова и равна а; для определенности будем считать заряд положительным. Из соображений симметрии вытекает, что напряженность поля в любой точке имеет направление, перпендикулярное к плоскости. Действительно, поскольку плоскость бесконечна и заряжена однородно, нет никаких оснований к тому, чтобы вектор Е отклонялся в какую-либо сторону от нормали к плоскости. Далее очевидно, что в симметричных относительно плоскости точках напря-. женность поля одинакова по величине и противоположна по направлению.

Представим себе мысленно цилиндрическую поверхность с образующими, перпендикулярными к плоскости, и основаниями величины , расположенными относительно плоскости симметрично (рис. 14.1). В силу симметрии Применим к поверхности теорему Гаусса. Поток через боковую часть поверхности будет отсутствовать, поскольку в каждой ее точке равна нулю. Для оснований совпадает с Е. Следовательно, суммарный поток через поверхность равен Внутри поверхности заключен заряд a . Согласно теореме Гаусса должно выполняться условие

из которого

Полученный нами результат не зависит от длины цилиндра. Это означает, что на любых расстояниях от плоскости напряженность поля одинакова по величине. Вид линий напряженности показан на рис. 14.2. Для отрицательно заряженной плоскости результат будет таким же, лишь направление вектора Е и линий напряженности изменится на обратное.

Если взять плоскость конечных размеров, например заряженную тонкую пластинку то полученный выше результат будет справедливым только для точек, расстояние которых от края пластинки значительно превышает расстояние от самой пластинки (на рис. 14.3 область этих точек обведена пунктирной кривой).

По мере удаления от плоскости или приближения к ее краям поле будет все больше отличаться от поля бесконечной заряженной плоскости.

Характер поля на больших расстояниях легко представить, если учесть, что на расстояниях, значительно превышающих размеры пластинки, создаваемое ею поле можно рассматривать как поле точечного заряда.

1. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости. Бесконечная плоскость (рис. 126) заряжена с постояннойповерхностной плотностью +s(s= dQ/ dS - заряд, приходящийся на единицу поверхности). Линии напряженности перпендикулярны рассматриваемой плоскости и направлены от нее в обе стороны. В качестве замкнутой поверхности мысленно построим цилиндр, основания которого параллельны заряженной плоскости, а ось перпендикулярна ей. Так как образующие цилиндра параллельны линиям напряженности (соsa=0), то поток вектора напряженности сквозь боковую поверхность цилиндра равен нулю, а полный поток сквозь цилиндр равенсумме потоков сквозь его основания (площади оснований равны и для основания Е n совпадает с Е ), т. е. равен 2ES. Заряд, заключенный внутри построенной цилиндрической поверхности, равен sS. Согласно теореме Гаусса (81.2), 2ES= sS/ e 0 , откуда

Из формулы (82.1) вытекает, что Е не зависит от длины цилиндра, т. е. напряженность поля на любых расстояниях одинакова по модулю, иными словами, поле равномерно заряженной плоскости однородно.

2. Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженных плоскостей (рис. 127). Пусть плоскости заряжены равномерно разноименными зарядами с поверхностными плотностями + sи –s. Поле таких плоскостей найдемкак суперпозицию полей, создаваемых каждой из плоскостей в отдельности. На рисунке верхние стрелки соответствуют полю от положительно заряженной плоскости, нижние - от отрицательной плоскости. Слева и справа от плоскостей поля вычитаются (линии напряженности направлены навстречу друг другу), поэтому здесь напряженность поля E =0. В области между плоскостями E = E + + E – (E + и E – определяются по формуле (82.1)), поэтому результирующая напряженность

(82.2)

Таким образом, результирующая напряженность поля в области между плоскостями описывается формулой (82.2), а вне объема, ограниченного плоскостями, равна нулю.

3. Поле равномерно заряженной сферической поверхности. Сферическая поверхность радиуса R с общим зарядом Q заряжена равномерно с поверхностной плотностью +s. Благодаря равномер­ному распределению заряда по поверхности поле, создаваемое им, обладает сферической симметри­ей. Поэтому линии напряженности направлены радиально (рис. 128). Построим мысленно сферу радиуса r, имеющую общий центр с заряженной сферой. Если r>R,ro внутрь поверхности попадает весь заряд Q, создающий рассматриваемое поле, и, по теореме Гаусса (81.2), , откуда

(82.3)

При r>R поле убывает с расстоянием r по такому же закону,как у точечного заряда. График зависимости Е от r приведен на рис. 129. Если r", то замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, поэтому внутри равномерно заряженной сферической поверхности электростатическое поле отсутствует (E =0).