Ikki cheksiz qarama-qarshi zaryadlangan tekislikning maydoni.
1.11-rasmda chizmaga perpendikulyar, sirt zaryad zichligi + bo'lgan ikkita shunday tekislik mavjud. s Va - s. kuch chiziqlari tekisliklar ularga perpendikulyar va bir-biriga parallel. Kuch chiziqlari tekislikdan chiqib ketadi + s va samolyotga kiring s. Rasmda qattiq o'qlar tekislikning maydonini + ko'rsatadi s va nuqta - tekislik maydoni - s. Ikkala tekislikning maydon kuchlari mutlaq qiymatda tengdir 
. Biroq, kuchlanish tekisliklarining o'ng va chap tomoniga va qarama-qarshi yo'naltirilgan, shuning uchun umumiy E=0 va maydon yo'q. Samolyotlar orasidagi maydonda va xuddi shu tarzda yo'naltiriladi, shuning uchun 
.
3. Bir tekis zaryadlangan sferik yuzaning maydoni. sferik sirt radiusi R umumiy zaryadga ega Q sirt zichligi bilan bir xilda zaryadlangan + s . Rahmat yagona taqsimlash sirtdagi zaryad, u tomonidan yaratilgan maydon sferik simmetriyaga ega. Shuning uchun kuchlanish chiziqlari radial yo'naltiriladi (1.12-rasm).
Radiusi r bo'lgan sharni aqliy ravishda quramiz , zaryadlangan shar bilan umumiy markazga ega bo'lish. Agar r > R , keyin butun Q zaryadi sirt ichiga kiradi , ko'rib chiqilayotgan maydonni yaratish va, tomonidan Gauss teoremasi
4pr 2 E = Q/e 0, qaerdan
r>R uchun maydon r masofa bilan bir xil qonunga muvofiq kamayadi nuqta zaryadi. E ning r ga bog'liqligi grafigi rasmda ko'rsatilgan. 1.13. Agar r¢< R,
u holda yopiq sirt ichida zaryadlar mavjud emas, shuning uchun bir xil zaryadlangan sferik sirt ichida elektrostatik maydon mavjud emas.
4. Hajmiy zaryadlangan sharning maydoni. Umumiy zaryadi Q bo'lgan R radiusli shar bir xil zaryadlangan massa zichligi r( 
hajm birligi uchun to'lov).
Simmetriyani hisobga olgan holda, to'pdan tashqaridagi maydon kuchi uchun oldingi holatda bo'lgani kabi bir xil natijaga erishishini ko'rsatish mumkin. To'pning ichida maydon kuchi boshqacha bo'ladi. Sfera radiusi r"< Rохватывает заряд Q" = 4/3pr¢ 3 r. Поэтому, согласно теореме Гаусса,
4pr¢ 2 E=Q¢/e 0 =4/3pr¢ 3 r/ e 0
Sharti bilan; inobatga olgan holda 
, olamiz
Ko'rib chiqilayotgan ish uchun E ning r ga bog'liqligi grafigi rasmda ko'rsatilgan. 1.14.
5. Bir xilda yuqtirilgan cheksiz silindr (ip) maydoni. Cheksiz silindr radiusi R (1. 15-rasm) chiziqli zichlik bilan bir xilda zaryadlangan t ( 
uzunlik birligi uchun to'lov).
Simmetriya mulohazalaridan kelib chiqadiki, kuchlanish chiziqlari silindrning o'qiga nisbatan barcha yo'nalishlarda bir xil zichlikka ega bo'lgan silindrning dumaloq qismlari radiusi bo'ylab yo'naltiriladi. Yopiq sirt sifatida biz radiusi r va balandligi bo'lgan zaryadlangan silindrli koaksiyal silindrni aqliy ravishda quramiz. l. Koaksiyal tsilindrning uchlari orqali E vektorining oqimi nol(uchlari kuchlanish chiziqlariga parallel) va yon sirt orqali 2pr ga teng l E . Gauss teoremasi bo'yicha, r > R 2pr uchun l E=t l/e0 , qayerda
Agar g< R, то замкнутая поверхность зарядов внутри не содержит, поэтому в этой области E = 0.
1-darajali xavfsizlik savollari
1. Nuqtali zaryad nima? Vakuumda Kulon qonunini tuzing. Qonunda proporsionallik koeffitsienti qanday?
2. Qaysi maydon elektrostatik deb ataladi? Sinov to'lovi nima?
3. Maydon kuchi deb nimaga aytiladi, maydon kuchi nimada o'lchanadi, maydon kuchi vektori qayerga yo'naltiriladi? Nuqtaviy zaryadning maydon kuchi nimaga teng?
4. Nimaga kuch chiziqlari deyiladi, ularni chizing musbat zaryad. Kuch chiziqlari kesishishi mumkinmi? Nega? Manfiy zaryad uchun kuch chiziqlarini chizing. Maydon chiziqlarining zichligi haqida nima deyish mumkin? Bir jinsli va bir jinsli maydonning kuch chiziqlarini chizing.
5. Elektr dipol, dipol qo'l, dipol moment deb nimaga aytiladi?
6. Yuzaki zaryad zichligi deb nimaga aytiladi? Nima o'lchanadi? Chiziqli zaryad zichligi nima? Hajmiy zaryad zichligi nima?
7. Maydonlarning superpozitsiyasi tamoyilini tuzing.
8. Zaryadning saqlanish qonunini tuzing. Zaryad birligi nima?
9. Kuchlanish oqimi deb nimaga aytiladi elektrostatik maydon? Ostrogradskiy-Gauss teoremasini tuzing elektr maydoni vakuumda.
10. Sharning maydon kuchi qanday?
Muammolarni hal qilish bo'yicha uslubiy ko'rsatmalar
Elektrostatik muammolarni ikki turga bo'lish mumkin. Birinchi turga fazoda zaryadlarning ma'lum taqsimotiga ko'ra ular yaratgan maydonlarning intensivligi va potentsiallarini topish talab qilinadigan masalalar kiradi. Ikkinchi turga sohaning xarakteristikalari (potentsial va kuchli tomonlari) ma'lum bo'lgan masalalar kiradi va bu maydonni hosil qiluvchi zaryadlarning kattaligini topish kerak.
Agar masala nuqtaviy zaryadlar bilan bog’liq bo’lsa, u holda ularning yechimi Kulon qonuni va zaryadning saqlanish qonuniga asoslanadi. Ushbu vazifalarni quyidagi tartibda hal qilish tavsiya etiladi.
1. Elektrostatik maydonga joylashtirilgan zaryadga ta'sir qiluvchi kuchlarni ko'rsating va zaryad uchun muvozanat tenglamasini yoki moddiy nuqta dinamikasi uchun asosiy tenglamani yozing.
2. Elektrostatik o'zaro ta'sir kuchlarini zaryadlar va maydon xarakteristikalarida ifodalang va bu ifodalarni dastlabki tenglamalarga almashtiring.
3. Agar zaryadlangan jismlarning o'zaro ta'sirida ular o'rtasida zaryadlarning qayta taqsimlanishi sodir bo'lsa, tuzilgan tenglamaga zaryadning saqlanish qonunini qo'shish kerak.
Elektrostatika masalalarida hisob-kitoblarni amalga oshirish foydalidir
buni eslang
4. Yordamchi formulalarni yozing va noma'lum miqdor uchun hosil bo'lgan tenglamalar tizimini yeching.
Maydon kuchining vektor tabiatiga alohida e'tibor berilishi kerak va esda tutingki, potentsial belgisi maydonni yaratuvchi zaryad belgisi bilan belgilanadi.
Agar maydon hosil qiluvchi zaryadni nuqtaviy zaryad deb hisoblash mumkin bo'lmasa, u har doim elementar (nuqta) zaryadlar to'plami sifatida ifodalanishi mumkin. Har bir elementar zaryad uchun Kulon qonuni va nuqtaviy zaryad maydonining kuchi va potentsial formulalari amal qiladi. Bunday zaryadlar maydonini elementar zaryadlarning har biri tomonidan yaratilgan Kulon maydonlarini alohida yig'ish yo'li bilan aniqlash mumkin. Bunday to'g'ridan-to'g'ri yig'ish har doim ham mumkin emas, chunki u har birida talab qiladi alohida holat ancha murakkab hisob-kitoblar.
Kengaytirilgan zaryadning maydon kuchini topish bilan bog'liq ko'plab masalalarni hal qilish Gauss teoremasi yoki vektor aylanish teoremasi yordamida amalga oshirilishi mumkin.
Elektrostatikaga oid masalalarni yechishda quyidagilarni yodda tutish kerak.
1. O'z-o'zidan qolgan musbat elektr zaryadlari elektrostatik maydonda yuqori potentsial nuqtalardan pastroq potentsial nuqtalarga o'tadi. Salbiy zaryadlar teskari yo'nalishda harakat qiladi.
2. Statik zaryadlangan o'tkazgich ichidagi elektrostatik maydon nolga teng. Bu natija o'tkazgichning tashqi elektr maydonida yoki yo'qligiga bog'liq emas. Supero'tkazuvchilar ustida yotgan barcha nuqtalarning potentsiali bir xil qiymatga ega, ya'ni o'tkazgichning yuzasi ekvipotentsialdir. Supero'tkazuvchilar ichidagi barcha nuqtalardagi potentsial uning yuzasidagi potentsialga teng.
3. Elektr maydoniga dielektrik kiritilganda, intensivlik vektorining moduli dielektrik egallagan fazoda e marta kamayadi va qolgan barcha nuqtalarda o'zgarishsiz qoladi.
4. Yerning va Yerga ulangan barcha jismlarning potentsiali nolga teng deb hisoblanadi.
5. Elektrostatik maydon kuchlarining yopiq yo'l bo'ylab ishi nolga teng.
6. Elektr maydoni zaryadlangan tekis kondensatorning har bir plitasi tomonidan yaratilgan ikkita maydonning superpozitsiyasi natijasi sifatida ko'rish mumkin.
7. Agar siz tekis kondansatörni quvvat manbaiga ulab qo'ysangiz, uni zaryadlang va keyin uni o'chiring, keyin uning plitalari joylashuvi o'zgarishi yoki dielektrikni kiritish (olib tashlash) tufayli kondansatör sig'imi o'zgarganda, kondansatördagi zaryad o'zgarmaydi.
8. Agar kondansatör doimiy kuchlanish manbaiga ulangan bo'lsa, u holda kondansatkichning sig'imidagi har qanday o'zgarishlar bilan uning plitalari orasidagi kuchlanish o'zgarishsiz qoladi.
Maqsad: Maydonlarning superpozitsiyasi printsipi va Gauss teoremasidan foydalangan holda elektrostatik maydon kuchini hisoblash.
Asosiy formulalar
1. Bir xil zaryadlangan maydon cheksiz tekislik. Cheksiz tekislik (126-rasm) doimiy bilan zaryadlangan sirt zichligi+s(s = d Q/ d S- maydon birligi uchun to'lov). Kesish chiziqlari ko'rib chiqilayotgan tekislikka perpendikulyar va undan ikkala yo'nalishda ham yo'naltirilgan. Tsilindrni aqliy ravishda yopiq sirt sifatida quramiz, uning asoslari zaryadlangan tekislikka parallel va o'qi unga perpendikulyar. Tsilindrning generatorlari kuchlanish chiziqlariga parallel bo'lganligi sababli (cosa = 0), u holda silindrning yon yuzasi bo'ylab kuchlanish vektorining oqimi nolga teng bo'ladi va silindr bo'ylab umumiy oqim yig'indisiga teng bo'ladi. uning asoslari orqali o'tadigan oqimlarning (tayanchlar maydonlari poydevor uchun tengdir). E n bilan mos keladi E), ya'ni 2 ga teng ES. Tuzilgan silindrsimon yuzaning ichiga o'ralgan zaryad s ga teng S. Gauss teoremasiga (81.2) muvofiq, 2 ES= s S/ e 0 , qayerda
(56.1) formuladan kelib chiqadiki E silindr uzunligiga bog'liq emas, ya'ni har qanday masofada maydon kuchi mutlaq qiymatda bir xil bo'ladi, boshqacha aytganda, bir xil zaryadlangan tekislikning maydoni. bir hil.
Guruch. 126-rasm. 127
(127-rasm). Samolyotlar bir xil qarama-qarshi zaryadlar bilan zaryadlansin sirt zichligi+ va -lar. Biz bunday tekisliklar maydonini har bir tekislik tomonidan yaratilgan maydonlarning superpozitsiyasi sifatida topamiz. Rasmda yuqori o'qlar musbat zaryadlangan tekislikdan maydonga, pastki o'qlar salbiy tekislikdan maydonga to'g'ri keladi. Samolyotlarning chap va o'ng tomonida maydonlar chiqariladi (kuchlanish chiziqlari bir-biriga yo'naltiriladi), shuning uchun bu erda maydon kuchi E=0. Samolyotlar orasidagi hududda E= E + + E – (E+ va E- formula (56.1) bo'yicha aniqlanadi), shuning uchun hosil bo'lgan kuchlanish
(56.2)
Shunday qilib, tekisliklar orasidagi mintaqada hosil bo'lgan maydon kuchi (56.2) formula bilan tavsiflanadi va tekisliklar bilan chegaralangan hajmdan tashqarida u nolga teng.
3. Bir tekis zaryadlangan sferik yuzaning maydoni. Sferik sirt radiusi bilan R umumiy to'lov Q sirt zichligi +s bilan bir xilda zaryadlangan. Zaryadning sirt ustida bir xil taqsimlanishi tufayli u tomonidan yaratilgan maydon sferik simmetriyaga ega. Shuning uchun kuchlanish chiziqlari radial yo'naltiriladi (128-rasm). Keling, aqliy ravishda radiusli sharni quraylik r, zaryadlangan shar bilan umumiy markazga ega bo'lish. Agar r>R,ro barcha zaryad sirt ichiga kiradi Q, Bu ko'rib chiqilayotgan maydonni yaratadi va Gauss teoremasi bo'yicha (55.2), 
,
qayerda
(56.3)
Da r>R maydon masofa bilan kamayadi r nuqta zaryadi bilan bir xil qonunga muvofiq. qaramlik grafigi E dan r shaklda ko'rsatilgan. 129. Agar r"
128-rasm. 129
4. Hajmiy zaryadlangan sharning maydoni. to'p radiusi R umumiy to'lov bilan Q massa zichligi r (r = -hajm birligi uchun zaryad) bilan bir xilda zaryadlangan. Simmetriyani hisobga olgan holda (3-qismga qarang), to'pdan tashqari maydon kuchi uchun oldingi holatda bo'lgani kabi bir xil natijaga erishishini ko'rsatish mumkin (qarang (56.3)). To'pning ichida maydon kuchi boshqacha bo'ladi. Sfera radiusi r" 
.
Shuning uchun Gauss teoremasiga (55.2) ko'ra, . Sharti bilan; inobatga olgan holda 
,
olamiz
(56.4)
Shunday qilib, bir xil zaryadlangan sharning tashqarisidagi maydon kuchi (56.3) formula bilan tavsiflanadi va uning ichida masofa bilan chiziqli o'zgaradi. r"(56.4) ifodasiga muvofiq. qaramlik grafigi E dan r ko'rib chiqilayotgan ish uchun rasmda ko'rsatilgan. 130.
5. Bir xil zaryadlangan cheksiz silindrning (ipning) maydoni. Cheksiz silindr radiusi R(131-rasm) bilan bir xilda zaryadlangan chiziqli zichlik t(t = - uzunlik birligi uchun to'lov). Simmetriya mulohazalaridan kelib chiqadiki, chiziqlar
kuchlanish silindrning o'qiga nisbatan barcha yo'nalishlarda bir xil zichlikka ega bo'lgan dumaloq qismlarning radiusi bo'ylab yo'naltiriladi. Yopiq sirt sifatida biz aqliy ravishda zaryadlangan radiusli koaksiyal tsilindrni quramiz r va balandligi l. Vektor oqimi E koaksiyal tsilindrning uchlari orqali nolga teng (uchlari kuchlanish chiziqlariga parallel) va yon sirt orqali 2 ga teng. prlE. Gauss teoremasi bo'yicha (55.2), uchun r>R 2prlE = tl/e 0, qaerdan
(56.5)
Agar r
§ 57. Elektrostatik maydon intensivligi vektorining aylanishi
Agar nuqta zaryadining elektrostatik maydonida bo'lsa Q bir nuqtadan 1 aynan 2 boshqa nuqta zaryadi ixtiyoriy traektoriya bo‘ylab harakatlanadi (132-rasm). Q 0 , zaryadga qo'llaniladigan kuch ishlaydi. Majburiy ish F elementar siljish bo'yicha d l ga teng
Chunki dcosa=d r, Bu
Zaryadni ko'chirishda ishlang Q nuqtadan 0 1 aynan 2
(57.1)
harakat traektoriyasiga bog'liq emas, balki faqat boshlang'ich pozitsiyalari bilan belgilanadi 1 va yakuniy 2 ball. Demak, nuqtaviy zaryadning elektrostatik maydoni salohiyat, va elektrostatik kuchlar - konservativ(11-§ga qarang).
(57.1) formuladan kelib chiqadiki, elektr zaryadini har qanday yopiq yo'l bo'ylab tashqi elektrostatik maydonda harakatlantirganda bajarilgan ish. L nolga teng, ya'ni.
(57.2)
Agar elektrostatik maydonda olib borilgan zaryad sifatida birlik nuqtali musbat zaryadni olsak, u holda d yo'lidagi maydon kuchlarining elementar ishi. l ga teng E d l = E l dl, Qayerda E l= E cos a- vektor proyeksiyasi E elementar siljish yo'nalishiga. U holda (53.2) formulani quyidagicha yozish mumkin
(57.3)
Integral 
chaqirdi kuchlanish vektorining aylanishi. Shuning uchun, har qanday yopiq kontur bo'ylab elektrostatik maydon kuchi vektorining aylanishi nolga teng. (57.3) xossaga ega bo'lgan kuch maydoniga potentsial deyiladi. Aylanma vektorining yo'qolishidan E bundan kelib chiqadiki, elektrostatik maydonning chiziqlarini yopib bo'lmaydi, ular zaryadlar bo'yicha boshlanadi va tugaydi (mos ravishda musbat yoki manfiy) yoki cheksizlikka boradi.
Formula (57.3) faqat elektrostatik maydon uchun amal qiladi. Harakatlanuvchi zaryadlar maydoni uchun (57.3) shart qanoatlanmasligi keyinroq ko'rsatiladi (u uchun intensivlik vektorining aylanishi nolga teng emas).
§ 58. Elektrostatik maydonning potentsiali
Potensial kuchlar maydonida joylashgan jism (va elektrostatik maydon potentsialdir) potentsial energiyaga ega, buning natijasida ish maydon kuchlari tomonidan amalga oshiriladi (11-§ ga qarang). Ma'lumki (qarang (11.2)), konservativ kuchlarning ishi potentsial energiyaning kamayishi tufayli amalga oshiriladi. Shuning uchun elektrostatik maydon kuchlarining ishi (57.1) nuqta zaryadiga ega bo'lgan potentsial energiyalarning farqi sifatida ifodalanishi mumkin. Q 0 zaryad maydonining boshlang'ich va oxirgi nuqtalarida Q:
(58.1)
shundan kelib chiqadiki, zaryadning potentsial energiyasi q0 zaryad maydonida Q ga teng
U, xuddi mexanikada bo'lgani kabi, noaniq va ixtiyoriy doimiygacha aniqlanadi BILAN. Agar zaryad cheksizgacha olib tashlanganda deb hisoblasak ( r®¥) potentsial energiya yo'qoladi ( U=0), Bu BILAN=0 va zaryadning potensial energiyasi Q 0 , zaryad sohasida joylashgan Q undan r masofada, ga teng
(58.2)
Shunga o'xshash to'lovlar uchun Q 0 Q> 0 va ularning o'zaro ta'sirining potentsial energiyasi (itarish) musbat, qarama-qarshi zaryadlar uchun Q 0 Q<0 и потенциальная энергия их взаимодействия (притяжения) отрицательна.
Agar maydon tizim tomonidan yaratilgan bo'lsa n ball to'lovlari Q 1 , Q 2 , ..., Q n, keyin zaryadda bajariladigan elektrostatik kuchlarning ishi Q 0 , har bir zaryaddan kelib chiqadigan kuchlar ishining algebraik yig'indisiga teng. Shuning uchun potentsial energiya U zaryad Q 0 , bu maydonda joylashgan potentsial energiyalar yig'indisiga teng u men, har bir to'lov:
(58.3)
(58.2) va (58.3) formulalardan nisbati kelib chiqadi U/Q 0 ga bog'liq emas Q 0 va shuning uchun elektrostatik maydonning energiya xarakteristikasi, potentsial deb ataladi:
(58.4)
Potentsial j elektrostatik maydonning istalgan nuqtasida ushbu nuqtada joylashtirilgan birlik musbat zaryadning potentsial energiyasi bilan aniqlangan jismoniy miqdor mavjud.
(58.4) va (58.2) formulalardan nuqtaviy zaryad tomonidan yaratilgan maydonning potentsiali kelib chiqadi. Q, ga teng
(58.5)
Zaryadni ko'chirishda elektrostatik maydonning qishloqlari tomonidan bajarilgan ish Q nuqtadan 0 1 aynan 2 (qarang (58.1), (58.4), (58.5)), sifatida ifodalanishi mumkin
ya'ni, u o'tkazilgan zaryadning mahsulotiga va boshlang'ich va oxirgi nuqtalardagi potentsial farqga teng. Potensial farq ikki nuqta 1 Va 2 elektrostatik maydonda birlik musbat zaryadni nuqtadan ko'chirishda maydon kuchlari tomonidan bajarilgan ish bilan belgilanadi 1 aynan 2 .
Zaryad harakatlanayotganda dala kuchlarining ishi Q nuqtadan 0 1 aynan 2 shaklida ham yozilishi mumkin
(58.7)
(58.6) va (58.7) tenglashtirib, biz potentsial farqning ifodasiga kelamiz:
(58.8)
bu erda integratsiya boshlang'ich va oxirgi nuqtalarni bog'laydigan har qanday chiziq bo'ylab amalga oshirilishi mumkin, chunki elektrostatik maydon kuchlarining ishi harakat traektoriyasiga bog'liq emas.
Agar siz zaryadni ko'chirsangiz Q 0 maydondan tashqaridagi ixtiyoriy nuqtadan, ya'ni cheksizlikka, bu erda shartga ko'ra, potentsial nolga teng, keyin (58.6) ga muvofiq elektrostatik maydon kuchlarining ishi. A ¥ =Q 0 j, qayerda
(58.9)
Shunday qilib, salohiyat- birlik musbat zaryadni maydonning ma'lum nuqtasidan cheksizlikka olib tashlanganida ko'chirish ishi bilan aniqlangan jismoniy miqdor. Bu ish son jihatidan tashqi kuchlarning (elektrostatik maydon kuchlariga qarshi) birlik musbat zaryadni cheksizlikdan maydonning berilgan nuqtasiga ko‘chirishda bajargan ishiga teng.
(58.4) ifodadan potentsial birligi ekanligi kelib chiqadi volt(B): 1 V - 1 C zaryad 1 J (1 V) potentsial energiyaga ega bo'lgan maydondagi shunday nuqtaning potentsiali. = 1 J/C). Voltning o'lchamini hisobga olgan holda, § 79da kiritilgan elektrostatik maydon kuchining birligi haqiqatan ham 1 V/m ekanligini ko'rsatish mumkin: 1 N/Cl=1 N×m/(Cl×m)=1 J/ (Cl×m)=1 V/m.
(58.3) va (58.4) formulalardan kelib chiqadiki, agar maydon bir nechta zaryad tomonidan yaratilgan bo'lsa, u holda zaryadlar tizimining maydon potensiali tengdir. algebraik Bu barcha zaryadlarning maydon potentsiallari yig'indisi:
Keling, elektrostatik maydonning kuchi o'rtasidagi bog'liqlikni topaylik, bu uning quvvat xususiyati, va potentsial - maydonning energiya xarakteristikasi.
Ko'chirish ishlari yagona o'q bo'ylab maydonning bir nuqtasidan ikkinchisiga nuqtali musbat zaryad X nuqtalar bir-biriga cheksiz yaqin bo'lishi sharti bilan va x 2 -x 1 = d x, ga teng E x d x. Xuddi shu ish j 1 -j 2 =dj. Ikkala ifodani tenglashtirib, yozishimiz mumkin
(59.1)
bu erda qisman hosila belgisi farqlash faqat ga nisbatan amalga oshirilishini ta'kidlaydi X. O'qlar uchun shunga o'xshash mulohazalarni takrorlash da Va z, vektorni topishimiz mumkin E:
Qayerda i, j, k- koordinata o'qlarining birlik vektorlari x, y, z.
Gradientning (11.4) va (11.6) ta'rifidan kelib chiqadiki
ya'ni kuchlanish E maydon minus belgisi bilan potentsial gradientga teng. Minus belgisi intensivlik vektori ekanligi bilan aniqlanadi E yo'naltirilgan maydonlar pastga yo'nalish salohiyat.
Gravitatsion maydonda bo'lgani kabi, elektrostatik maydonning potentsial taqsimotini grafik tasvirlash uchun (24-bandga qarang) foydalaning. ekvipotentsial yuzalar- barcha nuqtalarida potentsial bo'lgan sirtlar j bir xil ma'noga ega.
Agar maydon nuqtaviy zaryad tomonidan yaratilgan bo'lsa, uning potentsiali (58.5) ga ko'ra, 
Shunday qilib, bu holda ekvipotensial sirtlar konsentrik sharlardir. Boshqa tomondan, nuqtaviy zaryad holatidagi kuchlanish chiziqlari radial to'g'ri chiziqlardir. Shuning uchun nuqtaviy zaryad holatida kuchlanish chiziqlari perpendikulyar ekvipotentsial yuzalar.
Kuchlanish chiziqlari har doim normal ekvipotentsial sirtlarga. Haqiqatan ham, ekvipotensial sirtning barcha nuqtalari bir xil potentsialga ega, shuning uchun zaryadni bu sirt bo'ylab harakatlantirish ishi nolga teng, ya'ni zaryadga ta'sir qiluvchi elektrostatik kuchlar, Har doim normallar bo'ylab ekvipotensial sirtlarga yo'naltirilgan. Shuning uchun vektor E har doim ekvipotensial yuzalar uchun normaldir, va shuning uchun vektorning chiziqlari E bu sirtlarga ortogonal.
Har bir zaryad va har bir zaryad tizimi atrofida cheksiz ko'p ekvipotensial yuzalar mavjud. Biroq, ular odatda ikkita qo'shni ekvipotentsial sirt orasidagi potentsial farqlar bir xil bo'lishi uchun amalga oshiriladi. Keyin ekvipotentsial sirtlarning zichligi turli nuqtalarda maydon kuchini aniq tavsiflaydi. Bu sirtlar zichroq bo'lgan joylarda maydon kuchi kattaroq bo'ladi.
Demak, elektrostatik maydon kuchlanishi chiziqlarining joylashishini bilib, ekvipotensial yuzalarni qurish mumkin va aksincha, ekvipotensial sirtlarning ma’lum joylashuvidan har bir nuqtada maydon kuchining moduli va yo‘nalishini aniqlash mumkin. maydonning. Shaklda. 133, masalan, musbat nuqta zaryadli maydonlarning kuchlanish chiziqlari (chiziqli chiziqlar) va ekvipotensial sirtlari (qattiq chiziqlar) ko'rinishini ko'rsatadi ( A) va bir uchida o'simtasi va ikkinchi tomonida chuqurchaga ega bo'lgan zaryadlangan metall silindr (b).
§ 60. Maydon kuchidan potentsial farqni hisoblash
Maydon kuchi va potentsial o'rtasida § 59da o'rnatilgan bog'liqlik ma'lum maydon kuchidan ushbu maydonning ikkita ixtiyoriy nuqtasi orasidagi potentsial farqni topishga imkon beradi.
1. Bir xil zaryadlangan cheksiz tekislikning maydoni(56.1) formula bilan aniqlanadi: E=s/(2e 0), bu yerda s - sirt zaryadining zichligi. Masofalarda joylashgan nuqtalar orasidagi potentsial farq x 1 va X Tekislikdan 2 ga teng ((59.1) formuladan foydalaning)
2. Ikki cheksiz parallel qarama-qarshi zaryadlangan tekislikning maydoni(56.2) formula bilan aniqlanadi; E= s/e 0 , bu erda s - sirt zaryadining zichligi. Samolyotlar orasidagi potentsial farq, ular orasidagi masofa teng d((59.1) formulaga qarang), ga teng
(60.1)
3. Bir tekis zaryadlangan sferik yuzaning maydoni radius R umumiy to'lov bilan Q chiqib sharlar ( r > R) (56.3) dan hisoblanadi: 
Masofada joylashgan ikki nuqta orasidagi potentsial farq r 1 va r 2 sharning markazidan ( r 1 >R, r 2 >R, r 2 >r 1 ),
ga teng
(60.2)
Qabul qilsa r 1 =r Va r 2 =¥, u holda (60.2) formula bo'yicha sferik sirtdan tashqaridagi maydon potensiali ifoda bilan aniqlanadi.
((58.5) formula bilan solishtiring). Sferik sirt ichida potentsial hamma joyda bir xil va tengdir
qaramlik grafigi j dan r shaklda ko'rsatilgan. 134.
4. Volumetrik zaryadlangan sharning maydoni radius R umumiy to'lov bilan Q chiqib to'p ( r>R) formula (56.3) bo'yicha hisoblanadi, shuning uchun masofada yotgan ikki nuqta orasidagi potentsial farq r 1 va r 2 to'pning markazidan ( r 1 > R, r 2 > R, r 2 >r 1) (60.2) formula bilan aniqlanadi. Har qanday vaqtda yolg'on gapirish ichida masofada to'p r"uning markazidan ( r" 
Shuning uchun, to'pning markazidan va masofada joylashgan ikkita nuqta orasidagi potentsial farq (
5. Bir xil zaryadlangan cheksiz silindrning maydoni radius R, t chiziqli zichlik bilan zaryadlangan, tashqarida silindr ( r>R) (56.5) formula bilan aniqlanadi: 
Shuning uchun, masofada joylashgan ikki nuqta orasidagi potentsial farq r 1m r 2 zaryadlangan silindrning o'qidan ( r 1 >R, r 2 >R, r 2 >r 1) ga teng
(60.3)
§ 61. Dielektriklarning turlari. Dielektriklarning qutblanishi
Dielektrik (har qanday modda kabi) atomlar va molekulalardan iborat. Molekulaning barcha yadrolarining musbat zaryadi elektronlarning umumiy zaryadiga teng bo'lganligi sababli, molekula umuman elektr neytral hisoblanadi. Agar molekulalar yadrolarining musbat zaryadlarini umumiy zaryad + bilan almashtirsak Q, musbat zaryadlarning "tortishish" markazida joylashgan va barcha elektronlarning zaryadi - umumiy manfiy zaryad - Q, manfiy zaryadlarning "og'irlik" markazida joylashgan bo'lsa, u holda molekulani (54.3) formula bilan aniqlangan elektr momentiga ega bo'lgan elektr dipol deb hisoblash mumkin.
Dielektriklarning birinchi guruhi (N 2, H 2, O 2, CO 2, CH 4, ...) molekulalari simmetrik tuzilishga ega bo'lgan moddalar, ya'ni yo'qligida musbat va manfiy zaryadlarning "tortishish" markazlari. tashqi elektr maydoni mos keladi va shuning uchun molekulaning dipol momenti R nolga teng. molekulalar bunday dielektriklar deyiladi qutbsiz. Tashqi elektr maydon ta'sirida qutbsiz molekulalarning zaryadlari qarama-qarshi tomonga siljiydi (maydonda musbat, maydonga nisbatan salbiy) va molekula dipol momentini oladi.
Dielektriklarning ikkinchi guruhi (H 2 O, NH 3, SO 2, CO, ...) molekulalari assimetrik tuzilishga ega bo'lgan moddalardir, ya'ni musbat va manfiy zaryadlarning "og'irlik" markazlari bir-biriga to'g'ri kelmaydi. Shunday qilib, bu molekulalar tashqi elektr maydoni bo'lmaganda dipol momentga ega. molekulalar bunday dielektriklar deyiladi qutbli. Biroq, tashqi maydon bo'lmaganda, qutb molekulalarining issiqlik harakati tufayli dipol momentlari fazoda tasodifiy yo'naltiriladi va ularning hosil bo'lgan momenti nolga teng. Agar bunday dielektrik tashqi maydonga joylashtirilsa, u holda bu maydonning kuchlari dipollarni maydon bo'ylab aylantirishga moyil bo'ladi va nolga teng bo'lmagan moment paydo bo'ladi.
Uchinchi guruh dielektriklar (NaCl, KCl, KBr, ...) molekulalari ion tuzilishga ega bo'lgan moddalardir. Ion kristallari turli belgilardagi ionlarning to'g'ri almashinishi bilan fazoviy panjaralardir. Ushbu kristallarda alohida molekulalarni ajratib bo'lmaydi, lekin ularni bir-biriga itarib yuborilgan ikkita ionli pastki panjaralar tizimi deb hisoblash mumkin. Ion kristaliga elektr maydoni ta'sir qilganda, kristall panjaraning biroz deformatsiyasi yoki pastki panjaralarning nisbiy siljishi sodir bo'lib, dipol momentlarining paydo bo'lishiga olib keladi.
Shunday qilib, dielektriklarning har uch guruhining tashqi elektr maydoniga kiritilishi dielektrikning nolga teng bo'lmagan elektr momentining paydo bo'lishiga yoki boshqacha aytganda, dielektrikning qutblanishiga olib keladi. qutblanish dielektrik - dipollarni yo'naltirish jarayoni yoki maydon bo'ylab yo'naltirilgan dipollarning tashqi elektr maydoni ta'sirida paydo bo'lishi.
Dielektriklarning uch guruhiga ko'ra, qutblanishning uch turi mavjud:
elektron, yoki deformatsiya, qutblanish elektron orbitalarining deformatsiyasi tufayli atomlarda induksiyalangan dipol momentining paydo bo'lishidan iborat bo'lgan qutbsiz molekulalarga ega dielektrik;
orientatsiya, yoki dipol, qutblanish qutbli molekulalar bilan dielektrik, bu molekulalarning mavjud dipol momentlarini maydon bo'ylab yo'naltirishdan iborat. Tabiiyki, issiqlik harakati molekulalarning to'liq yo'nalishini oldini oladi, lekin ikkala omilning (elektr maydoni va issiqlik harakati) birgalikdagi ta'siri natijasida maydon bo'ylab molekulalarning dipol momentlarining imtiyozli yo'nalishi paydo bo'ladi. Bu yo'nalish kuchliroq bo'lsa, elektr maydon kuchi qanchalik katta va harorat past bo'ladi;
ion polarizatsiyasi ionli kristall panjarali dielektriklar, bu musbat ionlarning pastki panjarasini maydon bo'ylab siljishidan va salbiy - maydonga qarshi, dipol momentlarining paydo bo'lishiga olib keladi.
§ 62. Polarizatsiya. Dielektrikdagi maydon kuchi
Dielektrik tashqi elektr maydoniga joylashtirilsa, u qutblanadi, ya'ni u nolga teng bo'lmagan dipol momentga ega bo'ladi. Ri- bitta molekulaning dipol momenti. Dielektrikning polarizatsiyasining miqdoriy tavsifi uchun ishlatiladi vektor miqdori -qutblanish, dielektrik hajmining birligi uchun dipol moment sifatida aniqlanadi:
(62.1)
Tajribadan kelib chiqadiki, dielektriklarning katta sinfi uchun (ferroelektriklardan tashqari, § 65 ga qarang) qutblanish. R maydon kuchiga chiziqli bog'liq E. Agar dielektrik izotrop bo'lsa va E unchalik katta emas
(62.2)
qaerda æ - moddaning dielektrik sezgirligi, dielektrikning xususiyatlarini tavsiflovchi; æ - o'lchamsiz kattalik; bundan tashqari, har doim æ > 0 va ko'pchilik dielektriklar uchun (qattiq va suyuq) bir nechta birlikdir (garchi, masalan, spirt uchun æ »25, suv uchun æ = 80).
Dielektrikda maydonning miqdoriy qonuniyatlarini aniqlash uchun biz bir xil tashqi elektr maydonini kiritamiz. E 0 (ikki cheksiz parallel qarama-qarshi zaryadlangan tekislik tomonidan yaratilgan) bir hil dielektrik plitasi, uni rasmda ko'rsatilganidek joylashtiring. 135. Maydon ta'sirida dielektrik qutblanadi, ya'ni zaryadlarning siljishi sodir bo'ladi: musbatlar maydon bo'ylab, manfiylar - maydonga qarshi siljiydi. Natijada, dielektrikning salbiy tekislikka qaragan o'ng tomonida sirt zichligi + ga teng bo'lgan ortiqcha musbat zaryad paydo bo'ladi. s", chapda - sirt zichligi bo'lgan salbiy zaryad -s". Dielektrikning polarizatsiyasi natijasida yuzaga keladigan kompensatsiyalanmagan zaryadlar deyiladi bog'liq. Ularning sirt zichligidan beri s" kamroq zichlik s samolyotlarning bepul to'lovlari, keyin butun maydon emas E dielektrikning zaryadlari maydoni bilan kompensatsiyalanadi: kuchlanish chiziqlarining bir qismi dielektrikdan o'tadi, boshqa qismi esa bog'langan zaryadlarda uziladi. Binobarin, dielektrikning qutblanishi dastlabki tashqi maydonga nisbatan undagi maydonning pasayishiga olib keladi. Dielektrikdan tashqarida E=E 0 .
Shunday qilib, bog'langan zaryadlarning paydo bo'lishi qo'shimcha elektr maydonining paydo bo'lishiga olib keladi E" (maydon yaratilgan bog'liq zaryadlar), bu tashqi maydonga qarshi qaratilgan E 0 (maydon yaratildi ozod zaryadlaydi) va uni zaiflashtiradi. Dielektrik ichidagi hosil bo'lgan maydon
Maydon E"=s"/e 0 (ikki cheksiz zaryadlangan tekislik tomonidan yaratilgan maydon; formulaga qarang (82.2)), shuning uchun
(62.3)
Bog'langan zaryadlarning sirt zichligini aniqlaymiz s".(62.1) ga binoan dielektrik plastinkaning umumiy dipol momenti p v =PV = PSd, Qayerda S plastinkaning sirt maydoni, d- uning qalinligi. Boshqa tomondan, (54.3) ga binoan umumiy dipol moment har bir yuzning bog'langan zaryadining mahsulotiga teng. Q"=s"S masofada d ular orasida, ya'ni. p V \u003d s "Sd. Shunday qilib, PSd \u003d s "SD, yoki
ya'ni bog'langan zaryadlarning sirt zichligi s" qutblanishga teng R.
(62.4) va (62.2) iboralarni (62.3) ga almashtirib, biz hosil bo'lamiz.
shundan dielektrik ichidagi hosil bo'lgan maydonning kuchi teng
(62.5)
O'lchovsiz miqdor
(62.6)
chaqirdi muhitning dielektrik o'tkazuvchanligi.(62.5) va (62.6) ni solishtirsak, e ning dielektrik ta'sirida maydon necha marta zaiflashganini ko'rsatib, dielektrikning elektr maydonida qutblanish xususiyatini miqdoriy jihatdan tavsiflashini ko'ramiz.
§ 63. Elektr siljishi. Dielektrikdagi elektrostatik maydon uchun Gauss teoremasi
Elektrostatik maydonning kuchi, (62.5) ga binoan, muhitning xususiyatlariga bog'liq: bir hil izotrop muhitda, maydon kuchi. E e ga teskari proportsionaldir. Kuchlanish vektori E, dielektriklarning chegarasidan o'tib, keskin o'zgarishlarga uchraydi va shu bilan elektrostatik maydonlarni hisoblashda noqulaylik tug'diradi. Shuning uchun, intensivlik vektoridan tashqari, maydonni tavsiflash ham zarur bo'lib chiqdi elektr siljish vektori, elektr izotrop muhit uchun, ta'rifiga ko'ra, tengdir
(63.1)
(62.6) va (62.2) formulalar yordamida elektr almashinish vektorini quyidagicha ifodalash mumkin.
(63.2)
Elektr siljish birligi kvadrat metr uchun marjondir (C / m 2).
Elektr siljishi vektori bilan nima bog'lanishi mumkinligini ko'rib chiqing. Bog'langan zaryadlar dielektrikda erkin elektr zaryadlar tizimi tomonidan yaratilgan tashqi elektrostatik maydon mavjudligida paydo bo'ladi, ya'ni dielektrikda erkin zaryadlarning elektrostatik maydoniga bog'langan zaryadlarning qo'shimcha maydoni qo'shiladi. Natija maydoni dielektrikda maydon kuchi vektori bilan tavsiflanadi E, va shuning uchun u dielektrikning xususiyatlariga bog'liq. Vektor D hosil bo'lgan elektrostatik maydonni tavsiflaydi bepul to'lovlar. Biroq, dielektrikda paydo bo'ladigan bog'langan zaryadlar maydon hosil qiluvchi erkin zaryadlarning qayta taqsimlanishiga olib kelishi mumkin. Shuning uchun vektor D yaratilgan elektrostatik maydonni xarakterlaydi bepul to'lovlar(ya'ni, vakuumda), lekin ularning kosmosda taqsimlanishi bilan, ya'ni dielektrik mavjudligida.
Maydon bilan bir xil E, maydon D bilan tasvirlangan elektr siljish liniyalari, yo'nalishi va zichligi keskinlik chiziqlari bilan bir xil tarzda aniqlanadi (53-§ ga qarang).
Vektor chiziqlari E har qanday zaryadda boshlanishi va tugashi mumkin - erkin va bog'langan, vektorning chiziqlari esa D - faqat bepul to'lovlar bilan. Bog'langan zaryadlar joylashgan maydon maydonlari orqali vektorning chiziqlari D uzluksiz o'tish.
O'zboshimchalik uchun yopiq yuzalar S oqim vektori D bu sirt orqali
Qayerda D n- vektor proyeksiyasi D normal holatga n saytga d S.
Gauss teoremasi Uchun dielektrikdagi elektrostatik maydon:
(63.3)
ya'ni dielektrikdagi elektrostatik maydonning siljish vektorining o'zboshimchalik bilan yopiq sirt orqali o'tishi, bu sirt ichidagi yopiq sirtning algebraik yig'indisiga teng. ozod elektr zaryadlari. Bu shaklda Gauss teoremasi bir jinsli va izotropik muhit uchun ham, bir jinsli va anizotrop muhit uchun ham elektrostatik maydon uchun amal qiladi.
Vakuum uchun D n= e 0 E n(e=1), keyin intensivlik vektor oqimi E ixtiyoriy yopiq sirt orqali (qarang. (55.2)) hisoblanadi
Dala manbalaridan beri E muhitda ham erkin, ham bog'langan zaryadlar bo'lsa, maydon uchun Gauss teoremasi (55.2) E eng umumiy shaklda yozilishi mumkin
Qayerda 
- mos ravishda, yopiq sirt bilan qoplangan erkin va bog'langan zaryadlarning algebraik yig'indilari S. Biroq, bu formula sohani tavsiflash uchun qabul qilinishi mumkin emas E dielektrikda, chunki u noma'lum maydonning xususiyatlarini ifodalaydi E bog'langan zaryadlar orqali, o'z navbatida, u bilan belgilanadi. Bu elektr siljish vektorini joriy etishning maqsadga muvofiqligini yana bir bor isbotlaydi.
§ 64. Ikki dielektrik muhit orasidagi interfeysdagi shartlar
Vektorlar orasidagi munosabatni ko'rib chiqing E Va D ikkita bir hil izotropik dielektriklar orasidagi interfeysda (ularning o'tkazuvchanliklari e 1 va e 2) chegarada bepul to'lovlar bo'lmagan taqdirda. Biz dielektrik interfeys yaqinida quramiz 1 Va 2 kichik yopiq to'rtburchak ABCDA uzunligi l rasmda ko'rsatilganidek yo'naltirilgan. 136.
Vektorning aylanishi haqidagi (57.3) teoremaga muvofiq E,
(integral belgilari ustida AB Va CD har xil, chunki integratsiya yo'llari qarama-qarshi va bo'limlar ustidagi integrallar quyosh Va DA ahamiyatsiz). Shunung uchun
(64.1)
E vektor proyeksiyalari D, e 0 e ga bo'linib, biz olamiz
(64.2)
Ikki dielektrik orasidagi interfeysda (137-rasm) biz ahamiyatsiz balandlikdagi tekis silindrni quramiz, uning asosi birinchi dielektrikda, ikkinchisi ikkinchisida. Asoslar D S shunchalik kichikki, ularning har birida vektor bo'ladi D xuddi shu.
Guruch. 137-rasm. 138
Gauss teoremasiga ko'ra (63.3),
(normal n Va n" silindrning asoslariga qarama-qarshi). Shunung uchun
(64.3)
(63.1) ga muvofiq vektorning proyeksiyalarini almashtirish D vektor proyeksiyalari E, e 0 e ga ko'paytirilsa, biz olamiz
(64.4)
Shunday qilib, ikkita dielektrik vosita orasidagi interfeysdan o'tayotganda vektorning tangensial komponenti E (E t) va vektorning normal komponenti D (D n) doimiy ravishda o'zgarib turadi (sakrashdan o'tmang) va vektorning normal komponenti E (E n) va vektorning tangensial komponenti D (Dt) sakrashdan o'tish.
Komponentlar vektorlari uchun (64.1) - (64.4) shartlardan E Va D shundan kelib chiqadiki, bu vektorlarning chiziqlari uzilish (sinishi) sodir bo'ladi. a 1 va a 2 burchaklar orasidagi bog‘lanish topilsin (138-rasmda e 1 > e 2). (64.1) va (64.4) ga muvofiq, E t 2 = E t 1 va e 2 E n 2 = e 1 E n 1 . Keling, vektorlarni ajratamiz E 1 va E 2 tangensial va normal komponentlarning interfeysida. Anjirdan. 138 shundan kelib chiqadi
Yuqorida yozilgan shartlarni hisobga olib, taranglik chiziqlarining sinishi qonunini olamiz E(va shuning uchun siljish chiziqlari D)
Bu formula shuni ko'rsatadiki, yuqori o'tkazuvchanlikka ega bo'lgan dielektrikni kiritganda, chiziqlar E Va D odatdagidan uzoqlashing.
§ 65. Ferroelektriklar
Ferroelektriklar- ma'lum bir harorat oralig'ida o'z-o'zidan (o'z-o'zidan) polarizatsiyaga ega bo'lgan dielektriklar, ya'ni tashqi elektr maydoni bo'lmaganda polarizatsiya. Ferroelektriklarga, masalan, I. V. Kurchatov (1903-1960) va P. P. Kobeko (1897-1954) tomonidan batafsil o'rganilgan Roshel tuzi NaKC 4 H 4 O 6 4H 2 O (ferroelektriklar o'z nomini shundan olgan) va bariyOT3 ni o'z ichiga oladi.
Yuzaki zaryad zichligi yoki birlik yuzasiga zaryad bo'lsin. Maydon kuch chiziqlari bu tekislikka perpendikulyar bo'lib, undan har ikki tomonga yo'naltirilgan (1.10-rasm).
Asoslari dS zaryadlangan sirtga parallel va vektorga parallel bo'lgan generatrixli yopiq silindrsimon sirtni quramiz. Oxirgi shartdan keyin silindrning yon yuzasi bo'ylab F E kuchlanish oqimi nolga teng. Shuning uchun silindrsimon sirt orqali o'tadigan umumiy oqim uning asoslari bo'ylab oqimlarning yig'indisiga teng. Vektor asoslarga perpendikulyar bo'lgani uchun E n =E va to'liq oqim F E ni F E =2EdS shaklida yozish mumkin.
Gauss teoremasiga ko'ra, silindrsimon sirt bilan o'ralgan zaryad qayerda. Shunday qilib
, .
Agar tekislik nisbiy o'tkazuvchanligi e bo'lgan muhitga joylashtirilsa, u holda tekislik hosil qilgan elektrostatik maydon kuchi ga teng bo'ladi.
Formuladan kelib chiqadiki, E tekislik va kuzatish nuqtasi orasidagi masofaga bog'liq emas, ya'ni. bir xil zaryadlangan cheksiz tekislikning maydoni bir xil.
- Ikki cheksiz qarama-qarshi zaryadlangan tekislikning maydoni.
1.11-rasmda chizmaga perpendikulyar, sirt zaryad zichligi + bo'lgan ikkita shunday tekislik mavjud. s Va - s. Samolyotlarning kuch chiziqlari ularga perpendikulyar va bir-biriga parallel. Kuch chiziqlari tekislikdan chiqib ketadi + s va samolyotga kiring s. Rasmda qattiq o'qlar tekislikning maydonini + ko'rsatadi s va nuqta - tekislik maydoni - s.
Ikkala tekislikning maydon kuchlari mutlaq qiymatda tengdir 
. Biroq, kuchlanish tekisliklarining o'ng va chap tomoniga va qarama-qarshi yo'naltirilgan, shuning uchun umumiy E=0 va maydon yo'q. Samolyotlar orasidagi maydonda va xuddi shu tarzda yo'naltiriladi, shuning uchun 
.
1.10. Zaryadni harakatga keltirishda elektrostatik maydon kuchlarining ishi.
Zaryad elektrostatik maydonda harakat qilganda, zaryadga ta'sir qiluvchi Kulon kuchlari ishlaydi. q 0 >0 zaryad q>0 zaryad maydonida C nuqtadan B nuqtaga ixtiyoriy traektoriya bo‘ylab harakatlansin (1.12-rasm). Kulon kuchi q 0 ga ta'sir qiladi
. Elementar zaryad siljishi bilan d l, bu kuch dA ishlaydi
Bu erda a - vektorlar orasidagi burchak. d qiymati l cosa=dr - vektorning kuch yo'nalishiga proyeksiyasi. Shunday qilib, dA=Fdr, 
. Zaryadni C nuqtadan B nuqtaga o'tkazish uchun bajarilgan umumiy ish integral bilan aniqlanadi 
, bu erda r 1 va r 2 - zaryadning q ning C va B nuqtalarigacha bo'lgan masofalari. Olingan formuladan kelib chiqadiki, harakat paytida bajarilgan ish. elektr zaryadi q nuqtaviy zaryad sohasida q 0, harakat yo'lining shakliga bog'liq emas, faqat harakatning boshlang'ich va oxirgi nuqtalariga bog'liq.
Dinamika bo'limida bu shartni qondiradigan maydon potentsial ekanligi ko'rsatilgan. Demak, nuqtaviy zaryadning elektrostatik maydoni salohiyat, va unda harakat qiluvchi kuchlar - konservativ.
Agar q va q 0 zaryadlari bir xil belgiga ega bo'lsa, itaruvchi kuchlarning ishi uzoqlashganda ijobiy, bir-biriga yaqinlashganda manfiy bo'ladi (oxirgi holatda ishni tashqi kuchlar bajaradi). Agar q va q 0 zaryadlar qarama-qarshi bo'lsa, tortishish kuchlarining ishi ular yaqinlashganda ijobiy, bir-biridan uzoqlashganda manfiy bo'ladi (ikkinchi holatda tashqi kuchlar ham ishni bajaradi).
q 0 zaryadi harakatlanadigan elektrostatik maydon q 1 , q 2 ,...,q n zaryadlar sistemasi bilan yaratilsin. Shuning uchun mustaqil kuchlar q 0 ga ta'sir qiladi ,
ularning natijasi ularga teng vektor yig'indisi. Natijaviy kuchning A ishi komponent kuchlari ishining algebraik yig'indisiga teng, 
, bu erda r i 1 va r i 2 - q i va q 0 zaryadlari orasidagi boshlang'ich va oxirgi masofalar.
