Eksperimental tarzda o'rnatilgan Kulon qonuni va superpozitsiya printsipi vakuumda berilgan zaryadlar tizimining elektrostatik maydonini to'liq tasvirlash imkonini beradi. Biroq, xususiyatlar elektrostatik maydon Kulon maydoni tushunchasiga murojaat qilmasdan, boshqacha, umumiyroq shaklda ifodalanishi mumkin nuqta zaryadi.
Keling, yangisini taqdim qilaylik jismoniy miqdor xarakterlovchi elektr maydoni - intensivlik vektorining PH oqimi elektr maydoni. Elektr maydoni yaratilgan bo'shliqda biroz kichik maydon D bo'lsin S. Vektor moduli va maydonining mahsuloti D S va vektor va saytning normal orasidagi a burchakning kosinusu deyiladi kuchlanish vektorining elementar oqimi platformasi orqali D S(1.3.1-rasm):
Endi o'zboshimchalik bilan yopiq sirtni ko'rib chiqing S. Agar bu sirtni kichik maydonlarga ajratsak D Si, elementar oqimlarni DH aniqlang i maydonlarni bu kichik maydonlar orqali o'tkazamiz, so'ngra ularni yig'amiz, natijada biz vektorning yopiq sirt orqali oqimini olamiz. S(1.3.2-rasm):
Yopiq sirt bo'lsa, har doim tanlang tashqi normal .
Gauss teoremasi quyidagicha ifodalanadi:
Elektrostatik maydon kuchi vektor oqimi ixtiyoriy yopiq sirt orqali bu sirt ichida joylashgan zaryadlarning algebraik yig'indisi elektr doimiy e ga bo'linadi. 0 .
Buni isbotlash uchun avval sferik sirtni ko'rib chiqing S, uning markazida nuqta zaryadi joylashgan q. Sferaning istalgan nuqtasidagi elektr maydoni uning yuzasiga perpendikulyar va mutlaq qiymatga teng
Qayerda R sharning radiusidir. Sferik sirtdan o'tadigan oqim P mahsulotga teng bo'ladi E sfera maydoniga 4p R 2. Demak,
Keling, nuqta zaryadini ixtiyoriy yopiq sirt bilan o'rab olaylik S va radiusning yordamchi sferasini ko'rib chiqing R 0 (1.3.3-rasm).
Kichkina konusni ko'rib chiqing qattiq burchak Dũ tepada. Bu konus shardagi kichik D maydonini ajratib turadi S 0 , va sirtda S- platforma D S. Bu maydonlar orqali DA 0 va DA elementar oqimlari bir xil. Haqiqatan ham,
|
ΔΦ 0 = E 0 Δ S 0 , ΔΦ = EΔ S cosa = EΔ S " . |
Mana D S" = Δ S cos a - radiusli shar yuzasida qattiq burchak DŌ bo'lgan konus tomonidan ajratilgan maydon n.
, a , demak, zaryadni qoplagan ixtiyoriy sirt orqali nuqtaviy zaryadning elektr maydonining umumiy oqimi yordamchi sfera yuzasi orqali o'tadigan PH 0 oqimiga teng bo'ladi:
Xuddi shunday tarzda, agar yopiq sirt bo'lsa, ko'rsatilishi mumkin S ball zaryadini qoplamaydi q, keyin oqim PH = 0. Bunday holat rasmda ko'rsatilgan. 1.3.2. Nuqtaviy zaryadning elektr maydonining barcha kuch chiziqlari yopiq sirtga kiradi S orqali. Ichki yuza S hech qanday zaryad yo'q, shuning uchun bu mintaqada kuch chiziqlari buzilmaydi va kelib chiqmaydi.
Gauss teoremasini zaryadlarni ixtiyoriy taqsimlash holatiga umumlashtirish superpozitsiya tamoyilidan kelib chiqadi. Har qanday zaryad taqsimotining maydoni nuqtaviy zaryadlarning elektr maydonlarining vektor yig'indisi sifatida ifodalanishi mumkin. Zaryadlar tizimining ixtiyoriy yopiq sirt orqali oqimi P S PH oqimlaridan iborat bo'ladi i alohida zaryadlarning elektr maydonlari. Zaryad bo'lsa qi sirt ichida edi S, keyin u oqimga hissa qo'shadi, agar bu zaryad sirtdan tashqarida bo'lsa, u holda uning elektr maydonining oqimga hissasi teng bo'ladi. nol.
Shunday qilib, Gauss teoremasi isbotlangan.
Gauss teoremasi Kulon qonuni va superpozitsiya printsipining natijasidir. Ammo agar biz ushbu teoremadagi bayonotni boshlang'ich aksioma sifatida qabul qilsak, Kulon qonuni uning natijasi bo'ladi. Shuning uchun Gauss teoremasi ba'zan Kulon qonunining muqobil formulasi deb ataladi.
Gauss teoremasidan foydalanib, bir qator holatlarda, agar berilgan zaryad taqsimoti qandaydir simmetriya va simmetriyaga ega bo'lsa, zaryadlangan jism atrofidagi elektr maydon kuchini hisoblash oson. umumiy tuzilma maydonlarni taxmin qilish mumkin.
Bunga misol qilib, radiusli bir hil zaryadlangan, yupqa devorli ichi bo'sh uzun silindrning maydonini hisoblash masalasidir. R. Bu muammo eksenel simmetriyaga ega. Simmetriya sabablari uchun elektr maydoni radius bo'ylab yo'naltirilishi kerak. Shuning uchun Gauss teoremasini qo'llash uchun yopiq sirtni tanlash maqsadga muvofiqdir S ba'zi radiusli koaksiyal silindr shaklida r va uzunligi l, ikkala uchida yopilgan (1.3.4-rasm).
Da r ≥ R intensivlik vektorining butun oqimi silindrning yon yuzasidan o'tadi, uning maydoni 2p ga teng. rl, chunki ikkala bazadan o'tadigan oqim nolga teng. Gauss teoremasini qo'llash quyidagilarni beradi:
Bu natija radiusga bog'liq emas R zaryadlangan silindr, shuning uchun u bir xil zaryadlangan uzun filament maydoniga ham tegishli.
Zaryadlangan silindr ichidagi maydon kuchini aniqlash uchun korpus uchun yopiq sirtni qurish kerak r < R. Masalaning simmetriyasi tufayli Gauss silindrining yon yuzasi orqali maydon kuchi vektorining oqimi bu holda P = ga teng bo'lishi kerak. E 2p rl. Gauss teoremasiga ko'ra, bu oqim yopiq sirt ichida tutilgan zaryadga proportsionaldir. Bu to'lov nolga teng. Bundan kelib chiqadiki, bir xil zaryadlangan uzun ichi bo'sh silindr ichidagi elektr maydoni nolga teng.
Xuddi shunday, Gauss teoremasi zaryad taqsimoti qandaydir simmetriyaga ega bo'lsa, masalan, markaz, tekislik yoki o'qga nisbatan simmetriyaga ega bo'lgan boshqa bir qator holatlarda elektr maydonini aniqlash uchun qo'llanilishi mumkin. Ushbu holatlarning har birida maqsadga muvofiq shakldagi yopiq Gauss sirtini tanlash kerak. Masalan, markaziy simmetriya holatida simmetriya nuqtasida markazlashtirilgan shar shaklida Gauss sirtini tanlash qulay. Eksenel simmetriya bilan yopiq sirt har ikki uchida ham yopiq koaksiyal tsilindr shaklida tanlanishi kerak (yuqorida muhokama qilingan misolda bo'lgani kabi). Agar zaryadlarning taqsimlanishi hech qanday simmetriyaga ega bo'lmasa va elektr maydonining umumiy tuzilishini taxmin qilish mumkin bo'lmasa, Gauss teoremasini qo'llash maydon kuchini aniqlash masalasini soddalashtira olmaydi.
Nosimmetrik zaryad taqsimotining yana bir misolini ko'rib chiqing - bir tekis zaryadlangan tekislik maydonining ta'rifi (1.3.5-rasm).
Bunday holda, Gauss yuzasi S har ikki uchida yopiq, bir oz uzunlikdagi silindr shaklida tanlash tavsiya etiladi. Tsilindrning o'qi zaryadlangan tekislikka perpendikulyar yo'naltirilgan va uning uchlari undan bir xil masofada joylashgan. Simmetriya tufayli bir xil zaryadlangan tekislikning maydoni hamma joyda normal bo'ylab yo'naltirilishi kerak. Gauss teoremasini qo'llash quyidagilarni beradi:
qayerda s - sirt zaryadining zichligi , ya'ni maydon birligi uchun to'lov.
Yagona zaryadlangan tekislikning elektr maydoni uchun hosil bo'lgan ifoda cheklangan o'lchamdagi tekis zaryadlangan maydonlar uchun ham qo'llaniladi. Bunday holda, maydon kuchi aniqlanadigan nuqtadan zaryadlangan maydongacha bo'lgan masofa maydonning o'lchamidan sezilarli darajada kam bo'lishi kerak.
Bu teorema faqat Kulon qonuni va elektr maydonlarining superpozitsiyasi printsipining natijasidir. Mana uning so'zlari:
Vakuumdagi yopiq sirt orqali elektr maydon kuchi vektorining oqimi bu sirt ichida joylashgan elektr zaryadlarining algebraik yig'indisiga teng bo'lib, elektr doimiysiga bo'linadi. e 0.
Teoremani isbotlashni eng oddiy holatdan boshlaylik: nuqtaviy zaryadning maydon kuchi vektori oqimini hisoblaymiz. Q.
Ushbu sohaning kuchi yaxshi ma'lum (1.3 ga qarang)
Maydonning sferik simmetriyasini hisobga olgan holda, biz birinchi navbatda Gauss yopiq sirt sifatida radiusli sharni tanlaymiz. r, zaryad joylashgan nuqtada markazlashtirilgan Q(2.5-rasm, 1). Ushbu sirt orqali kuchlanish vektorining oqimini hisoblash oson
Bu erda biz quyidagilarni hisobga olamiz:
Oxirgi eslatmani hisobga olib, biz oqimni (2.7) quyidagi shaklda yozamiz:
Shunday qilib, birinchi eng oddiy holat uchun Gauss teoremasi haqiqiy bo'lib chiqdi. Bundan nima kelib chiqadi?
Olingan natija topilgan oqim Gauss sirtining radiusiga bog'liq emas degan xulosaga kelishimizga imkon beradi. Buni tushunish oson: oxir-oqibat, zaryaddan masofa ortib borishi bilan Q sirt maydoni o'sadi mutanosib ravishda radiusning kvadrati va maydon kuchi kamayadi teskari radius kvadrat.
Bundan tashqari, intensivlik vektorining oqimi Gauss yuzasiga kiradigan kuch chiziqlari soniga teng ekanligini eslang. Oqimning sirt radiusidan mustaqilligi nuqtaviy zaryad maydonining kuch chiziqlari dan boshlanadiganligini anglatadi. musbat zaryad, uzilishlarsiz cheksizgacha davom eting. Bu erdan - qo'shimcha xulosalar.
Nuqtaviy zaryadning maydon kuchi vektorining oqimi har qanday yopiq sirt (2.5, 2-rasm), nuqtaviy zaryadni o‘rab turgan Q, nisbatga teng
Bu xulosa shubhasiz, chunki oqim yopiq sirtga kiradigan kuch chiziqlarining avvalgi o'zgarmagan soniga teng.
Elektr zaryadini qoplamaydigan ixtiyoriy yopiq sirt orqali kuchlanish vektorining oqimi nolga teng (2.5, 3-rasm).
Bu xulosani tushunish ham oson, chunki Gauss yuzasiga oqib tushadigan maydon chiziqlari soni undan chiqib ketadigan chiziqlar soniga teng. Shuning uchun bu sirt orqali umumiy oqim nolga teng.
Endi biz umumiy ishni ko'rib chiqishga o'tishimiz mumkin: o'zboshimchalik bilan yopiq sirt bo'lsin S qoplaydi N nuqta zaryadlari (2.6-rasm). Superpozitsiya printsipiga ko'ra, hosil bo'lgan maydon teng ekanligini hisobga olgan holda, ushbu S sirt orqali umumiy maydon kuchi vektorining oqimini hisoblaylik. vektor yig'indisi individual maydonlar
Shunday qilib, oqimning ta'rifidan foydalanib, biz uni o'zboshimchalik bilan yopiq sirt orqali hisoblaymiz S.
(2.9)
Olingan natija Gauss teoremasining isbotidir: vakuumdagi elektrostatik maydon kuchi vektorining har qanday yopiq sirt orqali o'tishi ushbu sirt ichida joylashgan zaryadlarning algebraik yig'indisiga proportsionaldir..
Gauss teoremasi yopiq sirt orqali elektr maydon kuchining oqimi va bu sirt ichidagi umumiy zaryad Q o'rtasidagi aniq bog'liqlikni o'rnatadi:
Qayerda ε 0
- Kulon qonunidagi kabi doimiy (elektr doimiy).
Biz shuni ta'kidlaymiz Q- chap tomonda integral olinadigan sirt ichidagi zaryad. Bunday holda, zaryadning sirt ichida qanday taqsimlanishi muhim emas; sirtdan tashqari zaryadlar hisobga olinmaydi. (Tashqi zaryad kuch chiziqlarining joylashishiga ta'sir qilishi mumkin, lekin sirtga kiruvchi va tashqariga chiqadigan chiziqlarning algebraik yig'indisiga emas.
Gauss teoremasini muhokama qilishdan oldin shuni ta'kidlaymizki, sirt integralini amalda hisoblash har doim ham oson emas, lekin bunga ehtiyoj tez-tez yuzaga kelmaydi, biz quyida ko'rib chiqamiz.
Gauss teoremasi va Kulon qonuni qanday bog'liq? Avval Kulon qonuni Gauss teoremasidan kelib chiqishini ko'rsatamiz. Yakka nuqta zaryadini ko'rib chiqing Q. Taxminlarga ko'ra, Gauss teoremasi ixtiyoriy yopiq sirt uchun amal qiladi. Shuning uchun biz eng qulay bo'lgan sirtni tanlaymiz: radiusli sharning simmetrik yuzasi r, uning markazida bizning zaryadimiz joylashgan Q(23.7-rasm).
Sfera (albatta, xayoliy) uning markazida joylashgan zaryadga nisbatan simmetrik bo'lgani uchun elektr maydon kuchi E sharning istalgan nuqtasida bir xil qiymatga ega bo'lishi kerak; Bundan tashqari, vektor E vektorga parallel ravishda hamma joyda tashqariga (yoki hamma joyda ichkariga) yo'naltirilgan dA sirt elementi. Keyin tenglik
shaklni oladi
(radiusli sharning maydoni r ga teng 4pr 2). Bu erdan topamiz
Natijada biz Coulomb qonunini oldik.
Endi buning aksi haqida. IN umumiy holat Gauss teoremasini Kulon qonunidan chiqarib bo‘lmaydi: Gauss teoremasi Kulon qonuniga qaraganda umumiyroq (va nozikroq) bayonotdir. Biroq, ayrim maxsus holatlar uchun Gauss teoremasini Kulon qonunidan olish mumkin; biz kuch chiziqlari haqida umumiy fikr yuritamiz. Avval sferik sirt bilan o'ralgan yagona nuqta zaryadini ko'rib chiqamiz (23.7-rasm). Kulon qonuniga ko'ra, shar yuzasida joylashgan nuqtadagi elektr maydon kuchi
E = (1 /4πe 0)(Q/r)
Xuddi shu fikrni teskari tartibda bajarib, biz olamiz
Bu Gauss teoremasi va biz uni markazdagi nuqtaviy zaryadning maxsus holati uchun chiqardik sferik sirt. Ammo tartibsiz shakldagi sirt, masalan, sirt haqida nima deyish mumkin A 2-rasmda. 23.8. 
Bu sirt orqali shar orqali o'tgan bir xil miqdordagi kuch chiziqlari o'tadi A 1 , lekin elektr maydon kuchining sirt orqali o'tishi u orqali o'tadigan kuch chiziqlari soniga proportsional bo'lganligi sababli, oqim A 2 o'tgan oqimga teng A 1 .
Shuning uchun formulani kutish kerak
nuqtaviy zaryadni o'rab turgan har qanday yopiq sirt uchun amal qiladi.
Nihoyat, sirt ichida bir nechta zaryad bo'lgan holatni ko'rib chiqaylik. Har bir to'lov uchun alohida
Ammo E elektr maydonining umumiy kuchi individual zaryadlar tufayli kuchlarning yig'indisi bo'lgani uchun, keyin
sirt ichidagi umumiy zaryad qayerda.
Shunday qilib, bu oddiy dalillar Gauss teoremasi har qanday yopiq sirt ichidagi elektr zaryadlarining har qanday taqsimoti uchun haqiqiy ekanligini aytadi. Biroq, shuni yodda tutish kerakki, maydon E to'lovlar tufayli bo'lishi shart emas Q ular sirt ichida joylashgan. Misol uchun, rasmda. Yuqorida muhokama qilingan 23.3, elektr maydoni E sirtning barcha nuqtalarida mavjud, lekin u sirt ichidagi zaryad tomonidan umuman yaratilmaydi (bu erda Q= 0). Gauss teoremasi har qanday yopiq sirt orqali elektr maydon kuchining oqimi uchun o'rinlidir; uning ta'kidlashicha, agar sirtga yo'naltirilgan oqim tashqi tomonga yo'naltirilgan oqimga teng bo'lmasa, bu sirt ichida zaryadlarning mavjudligi bilan bog'liq.
Gauss teoremasi masofa kvadratiga teskari proportsional bo'lgan har qanday vektor maydoni uchun, masalan, tortishish maydoni uchun amal qiladi. Ammo boshqa turdagi maydonlar uchun u ishlamaydi. Masalan, nuqtaviy zaryadning maydoni quyidagicha kamayadi, deylik kQ/r; keyin radiusli sfera orqali oqim r ifoda bilan belgilanardi
Sfera radiusi qanchalik katta bo'lsa, shar ichidagi zaryad doimiy bo'lib qolsa ham, oqim shunchalik katta bo'ladi.
Gauss teoremasining qo‘llanilishi
Gauss teoremasi o'rtasidagi munosabatni ifodalashga imkon beradi elektr zaryadi va elektr maydon kuchi juda ixcham va oqlangan shaklda. Ushbu teoremadan foydalanib, zaryadlarning taqsimlanishi etarlicha sodda va nosimmetrik bo'lib chiqsa, maydon kuchini osongina topish mumkin. Biroq, bu holda, integratsiya sirtini to'g'ri tanlash haqida g'amxo'rlik qilish kerak. Odatda, elektr maydonining kuchi bo'lishi uchun sirtni tanlashga harakat qiladi E butun sirt ustida yoki hech bo'lmaganda uning ma'lum joylarida doimiy edi.
Kulon qonuniga asoslanib, bu natijalarni olish uchun biz to'p hajmi bo'yicha integratsiyalashgan holda ko'p harakat qilishimiz kerak edi. Gauss teoremasidan foydalanish va muammoning simmetriyasi tufayli yechim deyarli ahamiyatsiz bo'lib chiqdi. Bu Gauss teoremasining ulkan imkoniyatlarini ko'rsatadi. Biroq, bu teoremadan bunday foydalanish asosan zaryad taqsimoti yuqori simmetriyaga ega bo'lgan holatlar bilan chegaralanadi. Bunday holatlarda biz oddiy sirtni tanlaymiz E = konst, va integral qiyinchiliksiz olinadi. Albatta, Gauss teoremasi har qanday sirt uchun amal qiladi, "oddiy" sirtlar faqat integratsiyani osonlashtirish uchun tanlanadi.
Xulosa
Yagona elektr maydonining oqim intensivligi E tekis maydon orqali A teng F E= E A. Agar maydon bir jinsli bo'lmasa, oqim integral bilan aniqlanadi F E= ∫E dA.
Vektor A(yoki dA) saytga perpendikulyar yo'naltirilgan A(yoki dA); yopiq sirt vektori uchun A tashqariga qaratilgan. Sirtdan o'tadigan oqim bu sirtdan o'tadigan kuch chiziqlari soniga proportsionaldir.
Gauss teoremasi Yopiq sirtdan o'tadigan aniq elektr maydon kuchi oqimi sirt ichidagi umumiy zaryadga teng ekanligini aytadi. ε 0 :
Asosan, Gauss teoremasi zaryadlarning berilgan taqsimoti natijasida hosil bo'lgan elektr maydonining kuchini aniqlash uchun ishlatilishi mumkin. Biroq, amalda, uning qo'llanilishi asosan zaryad taqsimoti yuqori simmetriyaga ega bo'lgan bir nechta maxsus holatlar bilan cheklanadi. Gauss teoremasining haqiqiy qiymati shundaki, u Kulon qonuniga qaraganda umumiyroq va oqlanganroq tarzda elektr zaryadi va elektr maydon kuchi o'rtasidagi bog'liqlikni o'rnatadi. Gauss teoremasi elektromagnit nazariyaning asosiy tenglamalaridan biridir.
Davomi bor. Quyidagi nashr haqida qisqacha:
Fikr va takliflar qabul qilinadi [elektron pochta himoyalangan]
Ko'p to'lovlar mavjud bo'lganda, maydonlarni hisoblashda ba'zi qiyinchiliklar paydo bo'ladi.
Gauss teoremasi ularni engishga yordam beradi. mohiyati Gauss teoremalari quyidagilarga qisqartiradi: agar zaryadlarning ixtiyoriy soni yopiq sirt S bilan aqliy ravishda o'ralgan bo'lsa, u holda dS elementar maydon bo'ylab elektr maydon kuchi oqimini dF = Esosa۰dS shaklida yozish mumkin, bu erda a - tekislik bilan normal orasidagi burchak. intensivlik vektori 
. (12.7-rasm)
Butun sirt bo'ylab umumiy oqim uning ichida o'zboshimchalik bilan taqsimlangan barcha zaryadlardan oqimlarning yig'indisiga teng va bu zaryadning qiymatiga mutanosib bo'ladi.
(12.9)
Taranglik vektorining radiusi r bo'lgan sferik sirt orqali o'tishini aniqlaymiz, uning markazida +q nuqta zaryadi mavjud (12.8-rasm). Kesish chiziqlari shar yuzasiga perpendikulyar, a = 0, demak sosa = 1. U holda
Agar maydon zaryadlar sistemasi bilan tuzilgan bo'lsa, u holda
Gauss teoremasi: elektrostatik maydon kuchi vektorining vakuumdagi har qanday yopiq yuzadan o'tishi bu sirt ichida o'ralgan zaryadlarning algebraik yig'indisiga teng bo'lib, elektr konstantasiga bo'linadi.
(12.10)
Agar shar ichida zaryadlar bo'lmasa, u holda F = 0 bo'ladi.
Gauss teoremasi hisoblashni nisbatan osonlashtiradi elektr maydonlari nosimmetrik taqsimlangan zaryadlar bilan.
Keling, taqsimlangan zaryadlarning zichligi tushunchasini kiritaylik.
Chiziqli zichlik t bilan belgilanadi va ℓ birlik uzunlikdagi q zaryadini tavsiflaydi. IN umumiy ko'rinish formuladan foydalanib hisoblash mumkin
(12.11)
Zaryadlarning bir xil taqsimlanishi bilan chiziqli zichlik tengdir 
Sirt zichligi s bilan belgilanadi va S maydon birligiga to'g'ri keladigan q zaryadini tavsiflaydi. Umuman olganda, u formula bilan aniqlanadi.
(12.12)
Yuza bo'ylab zaryadlarning bir xil taqsimlanishi bilan sirt zichligi tengdir 
Ommaviy zichlik, r bilan belgilanadi, V hajm birligi uchun q zaryadini tavsiflaydi. Umuman olganda, u formula bilan aniqlanadi.
(12.13)
To'lovlarning bir xil taqsimlanishi bilan u tengdir 
.
Zaryad q sferada teng taqsimlanganligi sababli
s = const. Gauss teoremasini qo‘llaylik. A nuqta orqali radiusli shar chizamiz. 12.9-rasmdagi intensivlik vektorining radiusning sferik yuzasi orqali oqib o’tishi cosa = 1 ga teng, chunki a = 0. Gauss teoremasiga ko’ra. 
.
yoki
(12.14)
(12.14) ifodadan kelib chiqadiki, zaryadlangan sferadan tashqaridagi maydon kuchi sharning markazida joylashgan nuqtaviy zaryadning maydon kuchi bilan bir xil. Sfera yuzasida, ya'ni. r 1 \u003d r 0, kuchlanish 
.
Sfera ichida r 1< r 0 (рис.12.9) напряжённость Е = 0, так как сфера радиусом r 2 внутри никаких зарядов не содержит и, по теореме Гаусса, поток вектора сквозь такую сферу равен нулю.
Radiusi r 0 bo'lgan silindr sirt zichligi s bilan bir xilda zaryadlangan (12.10-rasm). Maydon kuchini ixtiyoriy tanlangan A nuqtada aniqlaymiz. A nuqta orqali radiusi R va uzunligi ℓ bo'lgan xayoliy silindrsimon sirtni chizamiz. Simmetriya tufayli oqim faqat silindrning yon yuzalari orqali chiqadi, chunki r 0 radiusli silindrdagi zaryadlar uning yuzasi bo'ylab bir tekis taqsimlanadi, ya'ni. kuchlanish chiziqlari ikkala silindrning yon yuzalariga perpendikulyar radial to'g'ri chiziqlar bo'ladi. Tsilindrlar asosi orqali oqim nolga teng (cos a = 0) va silindrning yon yuzasi perpendikulyar bo'lgani uchun kuch chiziqlari(cos a = 1), keyin
yoki
(12.15)
E ning qiymatini s - sirt zichligi orqali ifodalaymiz. A-prior,
shuning uchun, 
(12.15) formuladagi q qiymatini almashtiring.
(12.16)
Chiziq zichligi ta'rifiga ko'ra, 
, qayerda 
; bu ifodani (12.16) formulaga almashtiramiz:
(12.17)
bular. cheksiz uzun zaryadlangan silindr tomonidan hosil qilingan maydon kuchi chiziqli zaryad zichligiga proportsional va masofaga teskari proportsionaldir.
Cheksiz bir xil zaryadlangan tekislik tomonidan yaratilgan maydonning intensivligi
A nuqtada cheksiz bir xil zaryadlangan tekislik hosil qilgan maydon kuchini aniqlaymiz. Tekislikning sirt zaryadi zichligi s bo'lsin. Yopiq sirt sifatida, o'qi tekislikka perpendikulyar bo'lgan silindrni tanlash qulay va o'ng asosda A nuqtasi mavjud. Samolyot silindrni yarmiga bo'ladi. Shubhasiz, kuch chiziqlari tekislikka perpendikulyar va silindrning yon yuzasiga parallel, shuning uchun barcha oqim faqat silindrning asoslari orqali o'tadi. Ikkala asosda maydon kuchi bir xil, chunki. A va B nuqtalari tekislikka nisbatan simmetrikdir. Keyin silindrning tagliklari orqali oqim
Gauss teoremasiga ko'ra,
Chunki 
, Bu 
, qayerda
(12.18)
Shunday qilib, cheksiz zaryadlangan tekislikning maydon kuchi sirt zaryad zichligiga mutanosib va tekislikgacha bo'lgan masofaga bog'liq emas. Shuning uchun samolyotning maydoni bir hil.
Ikki qarama-qarshi bir xil zaryadlangan parallel tekislik tomonidan yaratilgan maydonning intensivligi
Ikki tekislik tomonidan yaratilgan maydon maydon superpozitsiyasi printsipi bilan aniqlanadi: 
(12.12-rasm). Har bir tekislik tomonidan yaratilgan maydon bir hil, bu maydonlarning kuchli tomonlari mutlaq qiymatda teng, lekin yo'nalish bo'yicha qarama-qarshi: 
. Superpozitsiya printsipiga ko'ra, tekislikdan tashqaridagi umumiy maydonning kuchi nolga teng:
Samolyotlar o'rtasida maydon kuchlari bir xil yo'nalishlarga ega, shuning uchun hosil bo'lgan quvvat tengdir
Shunday qilib, ikki qarama-qarshi bir xil zaryadlangan tekislik orasidagi maydon bir hil bo'lib, uning intensivligi bir tekislik tomonidan yaratilgan maydon kuchidan ikki baravar katta. Samolyotlarning chap va o'ng tomonida maydon yo'q. Cheklangan tekisliklar maydoni bir xil shaklga ega, buzilish faqat ularning chegaralari yaqinida paydo bo'ladi. Olingan formuladan foydalanib, tekis kondansatör plitalari orasidagi maydonni hisoblashingiz mumkin.
