Har elektr zaryadi elektr maydoni bilan o'ralgan. Uzoq muddatli tadqiqotlar natijasida fiziklar zaryadlangan jismlarning o'zaro ta'siri ularni o'rab turgan elektr maydonlari tufayli sodir bo'ladi degan xulosaga kelishdi. Ular har qanday elektr zaryadi bilan uzviy bog'liq bo'lgan materiyaning maxsus shaklidir.
O'qish elektr maydoni unga kichik zaryadlangan jismlarni kiritish orqali amalga oshiriladi. Ushbu organlar "sinov ayblovlari" deb ataladi. Misol uchun, zaryadlangan mantar to'pi ko'pincha sinov zaryadi sifatida ishlatiladi.
Ijobiy zaryadga yaqinroq pozitsiyadan boshlab, sinov zaryadi musbat zaryad tufayli ko'proq itaruvchi kuchga ega bo'ladi va manfiy zaryaddan zaifroq jozibali kuchga ega bo'ladi. Ijobiy va manfiy zaryadlar o'rtasidagi yarmida joylashgan holatda, itaruvchi va jozibador kuchlarning kattaligi bir xil bo'ladi. Agar nazorat zaryadi manfiy zaryadga yaqinroq bo'lsa, tortishish kuchi kattaroq bo'ladi va uzoqroq musbat zaryad tufayli boshdan kechiradigan itaruvchi kuch zaifroq bo'ladi.
Har bir nuqtada biz sinov zaryadidagi aniq kuchni topish uchun musbat va manfiy zaryadlardan kelib chiqadigan kuchlarni qo'shamiz. Olingan kuch vektorlariga tangens bo'lgan elektr maydon chizig'i egri chiziq bo'ladi.
Ijobiy zaryadga ega bo'lgan jismning elektr maydoniga sinov zaryadi kiritilganda, uning ta'siri ostida yorug'lik musbat zaryadlangan mantar to'pi qanchalik ko'p og'adi, biz uni tanaga yaqinlashtiramiz.
Sinov zaryadini ixtiyoriy zaryadlangan jismning elektr maydonida harakatlantirganda, unga ta'sir qiluvchi kuch turli joylarda har xil bo'lishini osongina topish mumkin.
Ikki o'xshash zaryad atrofida elektr maydoni
Endi biz bir xil g'oyalar yordamida boshqa maydon qatorlarini osongina to'ldirishimiz mumkin. Elektr kuch chiziqlari shunday ko'ring. Ikki musbat zaryad va bir xil kattalikdagi holatlar uchun narsalar biroz boshqacha ko'rinadi. Biz o‘qlarni avvalgidek aylantira olmaymiz. Bunday holda, ijobiy sinov zaryadi ikkala zaryad tomonidan qaytariladi. Har bir zaryad atrofidagi elektr maydonlari izolyatsiya qilingan.
Endi biz zaryadlar bir-birining yonida bo'lganda hosil bo'lgan elektr maydonini ko'rishimiz mumkin. Boshlash uchun biz to'g'ridan-to'g'ri ikkita zaryad orasiga ijobiy sinov zaryadini joylashtiramiz. Biz sinov zaryadiga ta'sir qiluvchi kuchlarni chizishimiz va hosil bo'lgan kuchni aniqlashimiz mumkin.
Demak, bir nuqtaga turli kattalikdagi q1, q2, q3, ..., qn sinov musbat zaryadlar maydonini ketma-ket joylashtirganda, ularga ta'sir qiluvchi kuchlar F1, F2, F3, ... topish mumkin. , Fn har xil, ammo maydonning bunday nuqtasi uchun kuchning ma'lum bir zaryad o'lchamiga nisbati doimo:
F1/q1 = F2/q2 = F3/q3 = … = Fn/qn.
Agar biz maydonning turli nuqtalarini shunga o'xshash tarzda o'rgansak, biz quyidagi xulosaga kelamiz: elektr maydonining har bir alohida nuqtasi uchun sinov zaryadiga ta'sir qiluvchi kuch kattaligining bunday zaryadning kattaligiga nisbati o'zgarmasdir. va sinov zaryadining kattaligidan qat'iy nazar.
Zaryad tufayli sinov zaryadiga tushadigan kuch kattaligi jihatidan teng, lekin sinov zaryadiga qo'llaniladigan kuchga qarama-qarshidir. Shuning uchun ular bir-birini bekor qiladi va natijada hech qanday kuch yo'q. Bu shuni anglatadiki, to'g'ridan-to'g'ri zaryadlar orasidagi elektr maydon o'rtada bekor qilinadi. Bunday holda, sinov to'lovi hech qanday ta'sir ko'rsatmaydi.
Endi zaryadlar markazlarini bog'laydigan xayoliy chiziq yaqinida joylashgan ijobiy sinov zaryadini ko'rib chiqing. Yana biz sinov zaryadidagi kuchlarni to'g'ri yo'naltirishimiz va aniq kuchni topish uchun ularni jamlashimiz mumkin. har bir nuqtadagi elektr maydon chizig'ining yo'nalishi. elektr liniyasi maydon hosil bo'lgan kuchlarga tangensdir.
Bundan kelib chiqadiki, bu nisbatning qiymati elektr maydonini o'z ixtiyoriy nuqtasida tavsiflaydi. Maydonning ushbu nuqtasida joylashgan musbat zaryadga ta'sir qiluvchi kuchning zaryad o'lchamiga nisbati bilan o'lchanadigan qiymat elektr maydon kuchidir:
U, uning ta'rifidan ko'rinib turibdiki, maydonning ma'lum bir nuqtasida joylashtirilgan musbat zaryad birligiga ta'sir qiluvchi kuchga teng.
Agar biz sinov zaryadini bir xil nisbiy pozitsiyalarga joylashtirsak, lekin zaryadlarning markazlarini bog'laydigan xayoliy chiziq ostida joylashtirsak, biz quyidagi diagrammada hosil bo'lgan kuchlar yuqoridagi kuchlarning aksi ekanligini ko'rishimiz mumkin. Shuning uchun elektr maydon chizig'i faqat yuqoridagi maydon chizig'ining aksidir.
Ularga yaqin bir xil nisbiy nuqtalardagi kuchlar bilan bir xil zaryadga ega bo'lganligi sababli, ular bir xil kattalikka ega bo'ladi, lekin qarama-qarshi yo'nalishlar, ya'ni. ular ham aks ettirishdir. Shuning uchun biz keyingi ikkita maydon chizig'ini quyidagi tarzda osongina chizishimiz mumkin.
Elektr maydon kuchining birligi bir din kuchi bilan o'lchamdagi bitta elektrostatik birlik zaryadiga ta'sir qiluvchi sifatida qabul qilinadi. Bunday birlik kuchlanishning mutlaq elektrostatik birligi deb ataladi.
Berilgan zaryadning A maydonining ixtiyoriy nuqtasida, undan r1 masofada joylashgan har qanday q nuqta zaryadining elektr maydoni kuchini aniqlash uchun ushbu ixtiyoriy nuqtaga q1 sinov zaryadini qo'yish va kuchni hisoblash kerak. Unga ta'sir qiluvchi Fa (vakuum uchun).
Sinov zaryadining bir qator mumkin bo'lgan boshlang'ich nuqtalari orqali ishlash orqali biz elektr maydonini ifodalash mumkinligini ko'rsatishimiz mumkin. Agar siz unga ta'sir qiladigan zaryadning belgisini o'zgartirsangiz, sinov zaryadi uchun kuchning yo'nalishi teskari bo'lishidan foydalanishimiz mumkin. Ikkala zaryad ham manfiy bo'lgan holatga o'tsak, quyidagi natijaga erishamiz.
Har xil o'lchamdagi to'lovlar
Kattaliklar teng bo'lmaganda, ko'proq zaryad maydon chiziqlari yo'nalishiga teng bo'lganidan ko'ra ko'proq ta'sir qiladi. Misol uchun, bu erda musbat zaryad salbiy zaryaddan ancha katta bo'lgan konfiguratsiya. Oldingi misolga qaraganda uzoq masofalarda maydon chiziqlari ko'proq daladan ajratilgan zaryadga o'xshab ko'rinishini ko'rishingiz mumkin. Buning sababi shundaki, ko'proq zaryad ko'proq sabab bo'ladi kuchli maydon va shuning uchun sinov zaryadidagi kuchga kichikroq zaryadga qaraganda ko'proq nisbiy hissa qo'shadi.
Fa = (q1q)/r²₁.
Agar zaryadga ta'sir qiluvchi kuch kattaligining q1 kattaligiga nisbatini olsak, A nuqtadagi elektr maydon kuchini hisoblashimiz mumkin:
Bundan tashqari, ixtiyoriy B nuqtasida kuchlanishni topish mumkin; u teng bo'ladi:
Shuning uchun, maydonning ma'lum bir nuqtasida (vakuumda) nuqtaviy zaryadning elektr maydonining kuchlanishi berilgan zaryadning o'lchamiga to'g'ridan-to'g'ri proportsional va bu zaryad va nuqta orasidagi masofaning kvadratiga teskari proportsional bo'ladi.
Oldingi bo'limlarda biz elektr maydon chiziqlari yordamida zaryad yoki zaryadlar birikmasi atrofidagi elektr maydonlarini qanday tasvirlash mumkinligini bilib oldik. Ushbu tasvirda biz elektr maydon kuchining maydon chiziqlari qanchalik yaqin ekanligi bilan ifodalanganligini ko'ramiz. Elektr maydoni chizmalariga qo'shimcha ravishda, biz elektr maydoni qanchalik kuchli ekanligini va kosmosning istalgan nuqtasida uning yo'nalishi qanday ekanligini aniqlashni xohlaymiz.
Zaryadga yaqin joylashgan kichik uchuvchi zaryad atrofdagi elektr maydoni tufayli kuchga ega bo'ladi. Kuchning kattaligi Coulomb qonuni bilan tavsiflanadi va zaryadning kattaligiga va sinov zaryadidan masofaga bog'liq. Zaryadning zaryadi zaryadga qanchalik yaqin bo'lsa, uning kuchi shunchalik katta bo'ladi. Bundan tashqari, zaryadga yaqinroq nuqtalarda uning elektr maydoni kuchliroq bo'ladi. Bir nuqtadagi elektr maydonini birlik zaryadiga kuch sifatida belgilaymiz.
Maydon kuchi uning rolini bajaradi quvvat xususiyatlari. Uni E maydonining ixtiyoriy nuqtasida bilib, ma'lum bir nuqtada q zaryadiga ta'sir qiluvchi F kuchini hisoblash oson:
Maydonlar - maydonning istalgan nuqtasida intensivlik yo'nalishi nuqtada joylashtirilgan musbat zaryadga ta'sir qiluvchi kuch yo'nalishiga mos keladi.
Bir nuqtadagi elektr maydonining kattaligi zaryad birligiga to'g'ri keladigan kuch sifatida aniqlanishi mumkin. Biz shunday yozishimiz mumkin. Sinov zaryadidagi zaryad tomonidan yaratilgan Kulon kuchi qayerda. Kuch vektor va skalyar bo'lgani uchun elektr maydoni ham vektor hisoblanadi; u har bir nuqtada kattalik va yo'nalishga ega.
Yuqoridagi elektr maydonining ta'rifini ko'rib chiqsak va Kulon qonuni ifodasini quyidagiga almashtirsak: biz elektr maydonining sinov zaryadining kattaligiga emas, balki faqat zaryadga bog'liqligini ko'rishimiz mumkin. Agar elektr maydoni ma'lum bo'lsa, u holda maydonga qo'yilgan har qanday zaryadga nisbatan elektrostatik kuch oddiygina ta'rif tenglamasini qayta tartibga solish orqali olinadi.
Maydon bir nechta zaryadlardan hosil bo'lganda: q1 va q2 - har qanday A nuqtadagi intensivlik E. berilgan maydon berilgan nuqtada q1 va q2 zaryadlari tomonidan alohida yaratilgan intensivlik E1 va E2 geometrik yig'indisiga teng bo'ladi.
Ixtiyoriy nuqtadagi elektr maydon kuchi, kuch va boshqa vektor miqdorlarining tasviriga o'xshash, shu nuqtadan keladigan yo'naltirilgan segment yordamida grafik tarzda ko'rsatilishi mumkin.
5 nK zaryaddan 30 sm elektr maydon kuchini hisoblang. Elektr maydonini ma'lum bir zaryaddan uzoqda hisoblashimiz kerak. Bizga zaryadning kattaligi va zaryaddan masofa berilgan. 20 sm va 50 sm masofada joylashgan nuqtadagi elektr maydon kuchi qancha? Biz ikkita berilgan zaryaddan uzoqda joylashgan elektr maydonini hisoblashimiz kerak.
Bizga zaryadlarning kattaligi va zaryadlardan masofa berilgan. Muammoga qanday yondashish kerakligini aniqlang. Har bir zaryad uchun elektr maydonini alohida hisoblashimiz kerak va keyin hosil bo'lgan maydonni aniqlash uchun ularni qo'shishimiz kerak. Biz ikkita elektr maydonini qo'shishimiz kerak, chunki ular bir yo'nalishda. Maydon uzoqda.
ELEKTROMAGNETIZM
9-BOB. VAKUUMDAGI ELEKTR MAYDON
Maydon kuchi
Eksperimental ravishda, zarralar tortishish kuchiga qaraganda ancha kuchliroq o'zaro ta'sirga ega bo'lishi mumkinligi aniqlandi. Buni ommaga tushuntirish uchun m zarralar yana bir zarracha xususiyatni qo'shdi - elektr zaryadi q, da o'lchanadi kulon(CL).
3-misol: 2D elektr maydonlari
Ikki nuqta zaryadi boshida nuqta bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchak hosil qiladi. Agar ikkita zaryad ko'rsatilgandek joylashtirilgan bo'lsa, aniq elektr maydoni qanday o'lchanadi? Bizga barcha to'lovlar va masofalar berilgan. Ularning orasidagi masofalar metrlarda ko'rsatilgan. Uni to'rtburchak koordinatsiya usuli yordamida yeching.
- Undan 2 m masofada joylashgan elektr maydonining kuchini hisoblang.
- Yechim.
Yoni 10 sm bo'lgan kvadratning yuqori qismiga to'rtta zaryad joylashtirilgan va elektr zaryadlarining qiymatlari. Kvadratning markazidagi elektr maydonining intensivligini, yo'nalishini va yo'nalishini hisoblang va elektr potentsiali, har doim markazda to'rtta zaryad tomonidan yaratilgan.
Keling, zaryadlangan zarrachani, ya'ni zaryadga ega bo'lgan zarrachani chaqiraylik q, nuqta zaryadi q(ushbu muammo sharoitida o'lchamlarini e'tiborsiz qoldirib bo'lmaydigan zaryadlangan jismdan farqli o'laroq). Har bir statsionar zaryad nuqta zaryadidir q muhitda yaratadi elektr maydoni(aniqrog'i elektrostatik maydon). Ushbu sohadagi boshqa har qanday nuqta zaryadiga ta'sir qiladi elektr quvvati :
Muammo bilan ifodalangan to'rtta elektr zaryadi sobit konfiguratsiyada joylashtirilgan va kvadratning to'rtta cho'qqisida barqarordir. Har bir elektr zaryadi elektr maydonini hosil qiladi, uning quvvat liniyalari faqat bitta musbat zaryad uchun kirsa, ijobiy yuklardan chiqadi.
Ushbu holatni maydon markazida taqdim etamiz. Har bir zaryad tomonidan hosil qilingan maydonlar kvadratning diagonallari bilan bir xil yo'nalishga ega. 1 va 3 to'lovlar tomonidan yaratilgan maydonlar bir xil sarlavhaga ega. Keling, maydonning ta'rifini eslab, har bir zaryadning alohida maydonlarining intensivligini hisoblashdan boshlaylik.
vektor bu erda chaqiriladi elektr maydon kuchi zaryad bo'lgan nuqtada. Quvvat zaryadga yoki zaryadga yo'naltirilishi mumkin q yoki undan. Shu munosabat bilan ikki turdagi zaryad joriy etildi: ijobiy va salbiy. Qarama-qarshi zaryadlar o'ziga tortadi, o'xshash zaryadlar esa bir-birini qaytaradi (31.1-rasm).
Keling, elektr maydonining vektorlarini qo'shamiz. Shakldan ko'rinib turibdiki, vektorlari bir xil yo'nalishda, lekin teskari yo'nalishda, shuning uchun. Shunday qilib, iloji boricha, 2 va 4-boblar tomonidan tayyorlangan ikkita maydon ular o'rtasida sirg'alib ketadi.
1 va 3 to'lovlar o'rniga hosil qilingan maydonlar qo'shiladi. Markazga olib boradigan elektr potentsiali, chunki u yo'nalishi va yo'nalishi bo'lmagan skalyar miqdor bo'lib, har bir zaryad tomonidan yaratilgan to'rtta potentsialning algebraik yig'indisiga teng bo'ladi.
Potensial - bu ma'lum bir jismoniy maydonning harakat qilish qobiliyatini ifodalovchi skalyar miqdor moddiy nuqtalar yoki ularga qo'yilgan to'lovlar. Potensialning qiymati nisbiy bo'lib, u tanlangan nol potentsialga ega bo'lgan ma'lum bir nuqtaga ishora qiladi.
Kesish maydonning ma'lum bir nuqtasida birlik musbat nuqta zaryadiga ta'sir qiluvchi kuch sifatida aniqlanadi:
bu yerda > 0. (31.2) ifodadan ko'rinib turibdiki, o'lcham har bir kulon uchun nyuton (N/C).
Tajriba shuni ko'rsatadiki, mobil nuqta zaryadi q masofada hosil qiladi r undan kuchlanish
(31.3)
Shunday qilib, konservativ fizik maydon har bir nuqtada raqamli qiymatga ega bo'lgan har bir nuqtada skalar potensiali bilan tavsiflanishi mumkin. Potensial kiritilishi bilan vektor massivini skalyar o'zgaruvchi bilan tasvirlash mumkin. Ikkala vektor ham elektr qutbi kabi ekvipotensial chiziqqa perpendikulyar. Potensial yoki pozitsion energiya - bu har bir tananing ma'lum bir kuchning potentsial maydonidagi energiyasi.
Potensial energiya o'zgarishining kattaligi muhim emas, chunki tizim boshlang'ich holatdan yakuniy holatga faqat boshlang'ich va oxirgi potentsial energiyaning kattaligi nuqtai nazaridan o'tgan. Bundan kelib chiqadiki, doiraviy diagramma bo'yicha potentsial energiyaning o'zgarishining qiymati nolga teng.
bu yerda e 0 - elektr doimiysi (e 0 = 8,85 10 -12 C 2 / (N m 2)), maydon markazidan chizilgan radius vektorining birlik vektori, koordinatalar boshiga joylashtirilgan, unda nuqta zaryadi joylashgan q, sohada bizni qiziqtiradigan nuqtaga.
(31.1) ifodadan ko'rinadiki, zaryadga ta'sir etuvchi elektr kuchi, agar zaryad musbat bo'lsa, vektor bilan bir xil, zaryad manfiy bo'lsa, vektorga qarama-qarshi yo'naltiriladi (31.2-rasm).
Potensial energiya, shuningdek, potentsial, nisbiy va nol potentsial energiya bilan tanlangan nuqtaga ishora qiladi. U ham ijobiy, ham salbiy qiymatlarni qabul qilishi mumkin. Potensial maydonning turiga qarab, endi biz potentsialning bir nechta turlarini ajratib ko'rsatishimiz mumkin.
Elektr potentsiali - bu tavsiflovchi skalyar miqdor potentsial energiya doimiy konservativ elektr maydonida birlik zaryad. Bu zaryadni ma'lum bir nuqtadan potentsial nolga o'tkazish uchun zarur bo'lgan energiya miqdori sifatida aniqlanadi. Nol potentsial nuqtasi sifatida odatda Yer yuzasi tanlanadi.
Tajribadan kelib chiqadiki, tizimning maydon kuchi N harakatsiz ball to'lovlari
Bizni qiziqtirgan nuqtadagi maydon kuchi qayerda, yaratilgan i-boshqa nuqtaviy zaryadlar bo'lmaganda, nuqta zaryadi. (31.4) munosabat ifodalanadi elektr maydonlarining superpozitsiyasi printsipi.
Elektr potentsialining qiymatini hisoblash mumkin. Biofizik nuqtai nazardan, elektr potentsiali nafas olish zanjiridagi protonlarning elektrokimyoviy potentsialining tarkibiy qismi sifatida yoki tinch membrana potentsiali va harakat potentsialining tarkibiy qismi sifatida fundamental ahamiyatga ega.
Gravitatsion potentsial - bu boshqa jismlarning tortishish maydonidagi birlik og'irligiga ega bo'lgan tananing potentsial energiyasini tavsiflovchi skalyar miqdor. Gravitatsion kuchning diapazoni cheksiz bo'lgani uchun, nol potentsial nuqtasi cheksizda tanlanadi va shuning uchun tortishish potentsialining qiymati manfiydir.
31.1-misol. Massalari 0,3 kg bo'lgan ikkita shar shunday masofada joylashganki, ularning zaryadlarining o'zaro ta'siri tortishish kuchi bilan muvozanatlanadi. Agar sharlarning sirt zaryad zichligi bo'lsa, to'plarning radiuslarini toping 
| Berilgan: m 1 = m 2 = m=0,3 kg F e = F gr R 1 = R 2 = R | Yechim 
.
F e = F gr. 
|
||||
| R – ? |
Javob:R= 4 sm.
31.2-misol. ball to'lovlari q 1 = 2q Va q 2 = – q rasmda ko'rsatilganidek joylashgan. 31.4. To'lovlar orasidagi masofa d. Qancha masofani aniqlang x 1 chegirma q 1 elektr maydon kuchi nolga teng.
| Berilgan: q 1 = 2q q 2 = – q d E( x 1) = 0 | Yechim  Guruch. 31.3 |
| x 1 – ? |
Shartni qondirish kerak bo'lgan nuqtada elektr maydonlarining superpozitsiyasi printsipiga ko'ra
zaryadlar tomonidan yaratilgan maydonlarning kuchli tomonlari qaerda va q 1 va q 2 shu nuqtada. Shubhasiz, bu shart o'qdan tashqarida bajarilmaydi x(vektorlar va bir-biriga burchak ostida yo'naltirilgan), shuningdek o'qda x zaryadning chap tomonida q 1, har doim qaerda E 1 > E 2 (Qarang: formula (31.3) va masalaning sharti). Eksadagi zaryadlar o'rtasida x nolga teng bo'lishi mumkin emas, chunki vektorlar va bir xil yo'nalishda yo'naltirilgan. Kerakli nuqta o'qda yotadi, deb taxmin qilish qoladi x to'lov huquqiga q 2 (31.3-rasmga qarang). Masofa x 1 chegirma q 1 shartdan topamiz
Tenglikning chap va o'ng tomonlarini kvadrat ildizini kamaytiramiz va chiqaramiz:
Javob: x 1 = 3,5 d.
§ 32. Vektor oqimi
Vizual ravishda vektor maydoni yordamida tasvirlangan chiziqlar vektori quyidagi tarzda amalga oshiriladi:
1) har bir nuqtada ularga tegish vektor yo'nalishiga to'g'ri keladi;
2) chiziqlarga perpendikulyar bo'lgan sirtning birlik maydoniga kiruvchi chiziqlar soni (chiziq zichligi) vektor moduliga teng (32.1-rasm).
Elektr maydoni chaqirdi bir hil, agar maydon vektorining har bir nuqtasida = const. Bunday maydon vektorining chiziqlari parallel va ular orasidagi masofalar bir xil (32.2-rasm).
Guruch. 32.1-rasm. 32.2
Vektor chiziqlari elektrostatik maydon bilan boshlang ijobiy zaryadlar va manfiy zaryadlar bilan tugaydi.
Keling, oddiy platformani olaylik dS vektor maydonida (32.3-rasm). Sayt uchun normalning birlik vektori bo'lsin dS, a - vektorlar orasidagi burchak va. Keyin vektor teshigi chiziqlar soni dS, teng
moduli teng bo'lgan vektor qayerda dS, va yo'nalish normalning birlik vektoriga to'g'ri keladi dS.
Qo'ng'iroq qilaylik oqim f vektori har qanday sirt orqali S vektorning chiziqlar soni , bu sirtga kirib boradi. Shubhasiz,
sirt integrali S dan nuqta mahsuloti vektorlar va . Oqim algebraik kattalikdir. Oqimning belgisi normaning yo'nalishini tanlashga bog'liq dS. Yopiq yuzalar uchun tashqi me'yorni qabul qilish odatiy holdir.
§ 33. Vektor maydoni uchun Gauss teoremasi
Teorema. Har qanday yopiq sirt orqali vektor oqimi S teng q ext. /e 0, qayerda q ext. - bu sirt ichidagi zaryadlarning algebraik yig'indisi:
(33.1)
bu yerda integraldagi aylana integrallash yopiq sirt ustida amalga oshirilishini bildiradi.
Teoremaning isboti. Bitta harakatsiz nuqta zaryadining elektr maydonini ko'rib chiqing q. Mayli q> 0. Zaryadni aqliy ravishda o'rab oling q o'zboshimchalik bilan yopiq sirt S(33.1-rasm).
Keling, oqimni topaylik d f element orqali vektor dS yuzalar. Shubhasiz,
Qayerda 
- asosli konus ichidagi elementar qattiq (fazoviy) burchak dS, zaryad joylashgan nuqtada uchi bilan q.
Butun yopiq sirt bo'ylab vektor oqimi S
umumiy qattiq burchak qayerda. Bizda bor
ifoda (33.1) bilan mos keladi.
Endi tizim tomonidan yaratilgan elektr maydonini ko'rib chiqing N harakatsiz nuqta zaryadlari Keling, ushbu zaryadlar tizimini ixtiyoriy yopiq sirt bilan aqliy ravishda o'rab olamiz S. Elektr maydonlarining superpozitsiyasi printsipidan foydalanib, biz yozishimiz mumkin
Qayerda q- algebraik yig'indi N(33.1) ifoda bilan mos keladigan zaryadlar.
Gauss teoremasi ba'zi hollarda elektr maydonining istalgan nuqtasida intensivlikni oddiygina aniqlash imkonini beradi.
33.1-misol. Bizda cheksiz bir tekis zaryadlangan tekislik bor sirt zichligi zaryad s. Kuchlanishni aniqlang O st E x samolyotdan.
Bizni qiziqtirgan nuqta orqali yopiq Gauss sirtini chizing S nuqta silindr asosida bo'lishi uchun tekislikka nisbatan simmetrik silindr shaklida (32.2-rasm). Gauss sirtidan vektor oqimini topamiz:
Qayerda S asosiy silindr asosining maydoni. Integratsiyalashda biz vektorning silindrning lateral yuzasidan o'tishini hisobga oldik nol(vektor chiziqlari bu sirtga kirmaydi) va silindr asosining barcha nuqtalari uchun a = 0 va E= const.
Gauss teoremasiga ko'ra
silindr ichida to'plangan tekislik zaryadi qayerda. Keling, uni topamiz. Ta'rifga ko'ra, sirt zaryadining zichligi
Bir tekis zaryadlangan tekislik (s = const) bo'lsa, biz yozishimiz mumkin
(33.2-rasmdan ko'rinib turibdiki, zaryad tekislikning maydonga ega bo'lgan qismida to'plangan. S asosiy), qayerdan
(33.4)
(33.2) va (33.4) iboralarni (33.3) munosabatga almashtirib, biz hosil bo'lamiz.
(33.5) ifodadan shuni ko'rish mumkin E masofaga bog'liq emas x zaryadlangan samolyotdan, ya'ni.
Shuning uchun cheksiz bir xil zaryadlangan tekislik tomonidan yaratilgan elektr maydoni bir xildir.
33.2-misol. Bizda sirt zaryad zichligi s bo'lgan bir xil zaryadlangan shar bor. Sfera radiusi R. Kuchlanishni aniqlang O st E masofadagi elektr maydoni r sharning markazidan.
(33.3-rasmdan Gauss yuzasi ichida zaryad yo'qligini ko'rish mumkin), bu shuni anglatadiki
Shuning uchun, zaryadlangan shar ichida, kuchlanish E elektr maydoni nolga teng.
Endi aniqlaymiz E zaryadlangan sferadan tashqaridagi nuqtada ( r> R). Sfera musbat zaryadlangan bo'lsin. Simmetriya tufayli vektor E sfera tomonidan yaratilgan maydon bizni qiziqtirgan nuqtada sharning markazidan radial tarzda yo'naltiriladi.
E= const.
Gauss teoremasiga ko'ra
Anjirdan. 33.3 zaryadlangan shar Gauss yuzasi ichida va shuning uchun zaryad ekanligini ko'rish mumkin q ext. zaryadga teng q sf. sharlar. Bir xil zaryadlangan shar (s = const) bo'lsa, biz yozishimiz mumkin
(33.8)
(33.6) va (33.8) iboralarni (33.7) munosabatga almashtirib, biz hosil bo'lamiz.
Shuning uchun, kuchlanish E zaryadlangan sferadan tashqaridagi maydon masofa bilan kamayadi r. Grafik jihatdan qaramlik E(r) bir xil zaryadlangan sharning elektr maydoni 1-rasmda ko'rsatilgan. 33.4.
33.3-misol. Bizda hajmiy zaryad zichligi r bo'lgan bir xil zaryadlangan to'p bor. to'p radiusi R. Kuchlanishni aniqlang O st E masofadagi elektr maydoni r to'pning markazidan.
Integratsiyalashda biz Gauss sohasining barcha nuqtalari uchun a = 0 va ekanligini hisobga oldik E= const.
Gauss teoremasiga ko'ra
to'pning Gauss sferasi ichida to'plangan qismining zaryadi qayerda. Keling, uni topamiz. A-prior, massa zichligi zaryad
Bir xil zaryadlangan shar (r = const) bo'lsa, biz yozishimiz mumkin
Gauss sferasi ichidagi to'pning hajmi qayerda. (33.12) ifodadan topamiz
(33.13)
(33.10) va (33.13) iboralarni (33.11) munosabatga almashtirib, biz hosil bo'lamiz.
