2.2. Kuchlanish vektor oqimi
2.3. Ostrogradskiy-Gauss teoremasi
2.4. Ostrogradskiy-Gauss teoremasining qo'llanilishi elektr maydonlarini hisoblash uchun
1. Cheksiz bir xil zaryadlangan tekislikning maydoni
2. Ikkita bir xil zaryadlangan tekislik maydoni
3. Zaryadlangan cheksiz silindrning maydoni (ip)
4. Chiziqli zaryad zichligi bir xil, lekin belgisi har xil bo'lgan ikkita koaksial silindrning maydoni.
5. Zaryadlangan ichi bo'sh sharning maydoni
6. Hajmli zaryadlangan sharning maydoni
2.5. Ostrogradskiy-Gauss teoremasining differensial shakli
2.1. Elektrostatik maydon kuchining maydon chiziqlari
Elektrostatik maydonni har bir nuqta uchun vektorning kattaligi va yo'nalishini belgilash orqali aniqlash mumkin 
. Ushbu vektorlarning kombinatsiyasi elektrostatik maydon kuchlari vektorining maydonini tashkil qiladi. Quvvat vektori yordamida elektrostatik maydonning grafik tasviri 
sohaning turli nuqtalarida juda noqulay. Bunday holda, kuchlanish vektorlari bir-birining ustiga qo'yiladi va juda chalkash rasm olinadi. Ko'proq ingl. M. Faraday tomonidan elektrostatik maydonlarni qo'llash orqali tasvirlash uchun taklif qilingan usul kuch chiziqlari kuchlanish. Kuchning kuchlanish chiziqlari - har bir nuqtada teginishlari vektor yo'nalishiga to'g'ri keladigan chiziqlar. .
Kuchlanish chiziqlari vektor bilan bir xil tarzda yo'naltiriladi ko'rib chiqilayotgan nuqtadagi maydonlar. Misol uchun, 2-rasmda kuchlanish chiziqlari chapdan o'ngga yo'naltirilgan. Kuchlanish chiziqlari kesishmaydi, chunki maydon vektorining har bir nuqtasida faqat bitta aniq yo'nalishga ega. Kuchlanish chiziqlari da boshlanadi musbat zaryad va salbiy bilan tugaydi. Chiziqlarning zichligi shunday tanlanadiki, kuchlanish chiziqlariga perpendikulyar birlik yuzasiga kiruvchi chiziqlar soni vektorning raqamli moduliga teng bo'ladi. .
Keyin, kuchlanish chiziqlari naqshiga ko'ra, vektorning yo'nalishi va qiymatini hukm qilish mumkin kosmosning turli nuqtalarida (2.1-rasm).
Bir hil
elektrostatik maydon deb ataladi, uning barcha nuqtalarida intensivligi kattaligi va yo'nalishi bo'yicha bir xil bo'ladi; bular. 
Yagona elektrostatik maydon bir-biridan teng masofada joylashgan parallel kuch chiziqlari bilan tasvirlangan (bunday maydon, masalan, kondansatör plitalari orasida mavjud) (rasm).
Nuqtaviy zaryad holatida kuchlanish chiziqlari musbat zaryaddan chiqadi va cheksizlikka boradi; va cheksizlikdan manfiy zaryadga kiring. Chunki 
u holda maydon chiziqlarining zichligi zaryaddan masofaning kvadratiga teskari proportsionaldir. Biroq, bu chiziqlar o'tadigan sharning sirt maydoni masofaning kvadratiga mutanosib ravishda ortadi, shuning uchun chiziqlarning umumiy soni zaryaddan har qanday masofada doimiy bo'lib qoladi.
Zaryadlar tizimi uchun, biz ko'rib turganimizdek, kuch chiziqlari musbat zaryaddan manfiy zaryadga yo'naltirilgan (2.2-rasm).
2.2-rasm
2.3-rasmda maydon chiziqlarining zichligi kattalikning ko'rsatkichi bo'lib xizmat qilishi mumkinligini ham ko'rsatadi 
.
Maydon chiziqlarining zichligi shunday bo'lishi kerakki, intensivlik vektoriga normal bo'lgan birlik maydoni intensivlik vektorining moduliga teng bo'lgan son bilan kesishadi.
, ya'ni.
1-misol: agar siz 2.3-rasmda saytni tanlasangiz, 
u holda tasvirlangan maydonning intensivligi teng bo'ladi
2.3-rasm
2-misol: Bolalar maydonchasi 
yagona maydonda joylashgan 
Agar burchak 30º bo'lsa, bu maydonni nechta chiziq kesishadi (2.4-rasm).
Biz zaryadni ijobiy deb hisoblaymiz. Samolyot doimiy sirt zichligi bilan zaryadlangan. Simmetriyadan kelib chiqadiki, maydonning istalgan nuqtasida intensivlik tekislikka perpendikulyar yo'nalishga ega (2.10-rasm). Shubhasiz, tekislikka nisbatan simmetrik bo'lgan nuqtalarda maydon kuchi kattaligi bo'yicha bir xil va yo'nalishi bo'yicha qarama-qarshi bo'ladi.
Keling, zaryadlangan tekislikdagi maydonni ajratib ko'rsatamiz. Bu joyni yopiq sirt bilan o'rab oling. Yopiq sirt sifatida biz silindrsimon sirtni tekislikka perpendikulyar generatorlar va tekislikka nisbatan simmetrik joylashgan kattalik asoslarini tasavvur qilamiz. Ushbu sirtga Gauss teoremasini qo'llang 
. Sirtning lateral qismi orqali oqim bo'lmaydi, chunki u har bir nuqtada nolga teng. Bazalar uchun u bilan bir xil. Shuning uchun sirtdan o'tadigan umumiy oqim ga teng bo'ladi. Sirt ichida zaryad bor. Gauss teoremasiga ko'ra, quyidagi shart bajarilishi kerak: 
, qayerda. (3)
Olingan natija silindrning uzunligiga bog'liq emas, ya'ni. tekislikdan istalgan masofada maydon kuchi kattaligi bo'yicha bir xil bo'ladi. Kuchlanish chiziqlari naqshlari rasmda ko'rsatilganidek ko'rinadi. 2.11. Salbiy zaryadlangan tekislik uchun vektorlarning yo'nalishlari teskari bo'ladi. Agar tekislik cheklangan o'lchamlarga ega bo'lsa, unda olingan natija faqat plastinkaning chetidan masofa plastinkaning o'zidan masofadan sezilarli darajada oshib ketadigan nuqtalar uchun amal qiladi (2.12-rasm).
hisoblash elektr maydoni ko'p hollarda u M.V.Ostrogradskiy tomonidan qandaydir umumiy matematik teorema va Gauss ko'rinishida o'rnatilgan teoremani - yopiq sferik sirt orqali nuqta zaryadi tomonidan yaratilgan elektr maydon holatiga nisbatan qo'llash orqali juda soddalashtiriladi.
Radiusli sfera yuzasida intensivlik vektorining proyeksiyasining qiymati R:
Har qanday yopiq sirt orqali vektor oqimini ifodalaylik. Bu tashqariga chiqadigan kuch chiziqlari soniga teng, ya'ni. zaryaddan boshlanadi.
Keling, yopiq yuzaning ichida bor deb faraz qilaylik N ball to'lovlari q 1 , q 2 , …, q N. Superpozitsiya printsipi tufayli: .
Agar taranglik chizig'i sirtni bir emas, balki bir necha marta kesib o'tsa, u holda toq soni majburiy bo'ladi, shuning uchun integralda u faqat bir marta hisobga olinadi va bu holat uchun ham ifoda o'z kuchida qoladi. Shunday qilib, elektrostatika uchun Ostrogradskiy-Gauss teoremasi quyidagicha tuzilgan: Elektr maydon kuchi vektorining yopiq sirtdan o'tishi bu sirt ichida joylashgan zaryadlarning algebraik yig'indisiga teng bo'lib, unga bo'linadi. ε 0 .
Muayyan maydonlarni hisoblash uchun Ostrogradskiy-Gauss teoremasini qo'llaymiz:
A) elektr maydoni, cheksiz bir xil zaryadlangan tekislik tomonidan yaratilgan
Mayli sirt zichligi zaryad. Yopiq sirt sifatida, biz elektr maydon kuchi vektorining oqimining kattaligini hisoblaymiz, biz rasmda ko'rsatilganidek, silindrsimon sirtni tanlaymiz.
Simmetriya mulohazalaridan (elektr maydoni tekis simmetriyaga ega) har qanday nuqtadagi maydon kuchi tekislikka perpendikulyar yo'nalishga ega ekanligi kelib chiqadi. Ko'rinib turibdiki, tekislikka nisbatan simmetrik nuqtalarda kuchlanish moduli bir xil: E" = E" =E. Tashqi normalning yo'nalishi zaryadlangan sirtga perpendikulyar.
Gauss teoremasiga ko'ra: . Biz nimani olganimizni hisobga olsak: Elektr maydonining kuchi tekislikdan har qanday masofada bir xil bo'ladi.
b) ikkita cheksiz zaryadlangan tekislik tomonidan yaratilgan elektr maydon
Har bir sirtdagi sirt zaryadining zichligi bo'lsin. Qarama-qarshi zaryadlangan cheksiz tekislik-parallel plitalar holatida, cheksiz zaryadlangan tekislik () tomonidan yaratilgan elektr maydon kuchining ifodasini hisobga olgan holda, rasmdan ko'rinib turibdi.
Plitalar orasidagi bo'shliq uchun; plitalarning orqasidagi bo'sh joy uchun (chapdan chapga va o'ng plastinkaning o'ng tomoniga) .
Xuddi shunday zaryadlangan cheksiz tekislik-parallel plitalar bo'lsa,
shakldan ko'rinib turibdiki, plitalar orqasidagi bo'sh joy uchun; plitalar orasidagi bo'shliq uchun.
v) cheksiz zaryadlangan silindrning elektr maydoni
R silindrsimon yuzaning radiusidir. Yopiq sirt sifatida, biz elektr maydon kuchi vektorining oqimining kattaligini hisoblaymiz, rasmda ko'rsatilganidek, silindrsimon sirtni tanlaymiz. Simmetriya sabablariga ko'ra (elektr maydoni eksenel simmetriyaga ega), elektr maydon kuchi yopiq silindrsimon sirtning yon yuzasiga perpendikulyar yo'naltiriladi. Yo'nalish bo'yicha silindrning yon yuzasiga tashqi normalning yo'nalishi radialdir: . Qayerda. Hisob bilan E=E n , bizda: at ; da ; da .
Yoki chiziqli zichlikni kiritish orqali biz Ostrogradskiy-Gauss teoremasini yozamiz. Buni hisobga olsak, biz elektr maydon kuchining kattaligini aniqlash uchun ifodani olamiz: Kosmosning turli mintaqalari uchun bizda mavjud: for (bu hudud ichida) elektr zaryadlari etishmayotgan): ; Uchun : ; Uchun : .
d) zaryadlangan maydon sferik sirt
Sirt zaryad zichligi bo'lsin, R sferik sirtning radiusidir. Yopiq sirt sifatida, biz elektr maydon kuchi vektorining oqimining kattaligini hisoblaymiz, biz rasmda ko'rsatilganidek, sharsimon sirtni tanlaymiz. Simmetriya sabablariga ko'ra (elektr maydoni markaziy simmetriyaga ega), elektr maydon kuchi sferik sirtga perpendikulyar yo'naltiriladi. Yo'nalishdagi tashqi normalning sharsimon sirtga yo'nalishi radialdir. Ostrogradskiy-Gauss teoremasidan foydalanib, quyidagilarga erishamiz: ; . Hisob bilan E=E n , bizda bor: uchun (bu hudud ichida elektr zaryadlari yo'q); Uchun ; Uchun : .
Zaryadning kattaligi ma'lum bo'lgan holatda elektr maydon kuchining ifodasini ham olamiz q sharsimon yuzada. Ostrogradskiy-Gauss teoremasidan foydalanish quyidagi natijani beradi: . Qayerda. Hisob bilan E=E n , bizda bor: uchun (bu hudud ichida elektr zaryadlari yo'q); Uchun : ; Uchun : . . Hisobga olib, hosil bo'lgan ifodani o'zgartirish mumkin: . Hisob bilan E=E n , bizda ... bor: .
