Gauss teoremasi yordamida elektr maydonlarini hisoblash. Elektrostatik maydonlarni hisoblash uchun Gauss teoremasini qo'llash

Gauss teoremasi bir qator hollarda maydon kuchini (5.3) formuladan ko'ra oddiyroq usullar bilan topishga imkon beradi. nuqta zaryadi va maydonlarning superpozitsiyasi printsipi.

Keling, Gauss teoremasining imkoniyatlarini quyidagi uchun foydali bo'lgan bir nechta misollar yordamida ko'rsatamiz. Ushbu misollarni ko'rib chiqishdan oldin biz sirt va chiziqli zaryad zichligi tushunchalarini kiritamiz.

Agar zaryad zaryad o'tkazuvchi jismning yupqa sirt qatlamida to'plangan bo'lsa, kosmosda zaryad taqsimotini sirt zichligi o yordamida tavsiflash mumkin, bu quyidagicha ifodalanadi:

Bu erda - maydon qatlamidagi zaryad.Bu bilan sirtning jismoniy cheksiz kichik maydoni tushuniladi.

Agar zaryad silindrsimon jismning hajmi yoki yuzasi bo'ylab taqsimlangan bo'lsa (har bir qismda bir xilda), chiziqli zaryad zichligi ishlatiladi.

Tsilindrning jismoniy cheksiz kichik segmentining uzunligi, zaryad ushbu segmentda to'plangan).

Cheksiz bir xil zaryadlangan tekislikning maydoni.

Tekislikning barcha nuqtalarida sirt zaryad zichligi bir xil va a ga teng bo'lsin; Aniqlik uchun biz zaryadni ijobiy deb hisoblaymiz. Simmetriya mulohazalari shuni ko'rsatadiki, har qanday nuqtada maydon kuchi tekislikka perpendikulyar yo'nalishga ega. Haqiqatan ham, tekislik cheksiz va bir xil zaryadlanganligi sababli, E vektorining normaldan tekislikka har qanday yo'nalishda og'ishi uchun hech qanday sabab yo'q. Bundan tashqari, tekislikka nisbatan simmetrik bo'lgan nuqtalarda, ya'ni Maydon kuchi kattaligi bo'yicha bir xil va yo'nalishi bo'yicha qarama-qarshidir.

Generatorlar tekislikka perpendikulyar bo'lgan silindrsimon sirtni va tekislikka nisbatan simmetrik joylashgan kattalik asoslarini aqliy ravishda tasavvur qiling (14.1-rasm). Simmetriya tufayli Gauss teoremasini sirtga tatbiq qilaylik. Sirtning lateral qismidan oqim bo'lmaydi, chunki har bir nuqtada u nolga teng. Bazalar uchun u E ga to'g'ri keladi. Shuning uchun sirt bo'ylab umumiy oqim tengdir Sirt ichida a zaryadi mavjud. Gauss teoremasiga ko'ra, shart

qaysidan

Bizning natijamiz silindrning uzunligiga bog'liq emas. Bu shuni anglatadiki, tekislikdan har qanday masofada maydon kuchi kattaligi bo'yicha bir xil bo'ladi. Kuchlanish chiziqlarining turi shaklda ko'rsatilgan. 14.2. Salbiy zaryadlangan tekislik uchun natija bir xil bo'ladi, faqat E vektorining yo'nalishi va kuchlanish chiziqlari teskari tomonga o'zgaradi.

Agar biz cheklangan o'lchamdagi tekislikni, masalan, zaryadlangan yupqa plastinkani olsak, yuqorida olingan natija faqat plastinkaning chetidan masofasi plastinkaning o'zidan sezilarli darajada oshib ketadigan nuqtalar uchun amal qiladi (14.3-rasmda). bu nuqtalarning maydoni nuqtali egri chiziq bilan o'ralgan).

Samolyotdan uzoqlashganda yoki uning chekkalariga yaqinlashganda, maydon cheksiz zaryadlangan tekislik maydonidan tobora ko'proq farqlanadi.

Katta masofalardagi maydonning tabiatini tasavvur qilish oson, agar plastinkaning o'lchamlaridan ancha katta masofalarda u tomonidan yaratilgan maydonni nuqta zaryadining maydoni deb hisoblash mumkinligini hisobga olsak.

1. Bir xil zaryadlangan cheksiz tekislikning maydoni. cheksiz tekislik(126-rasm) konstanta bilan zaryadlangan sirt zichligi +s(s = d Q/ d S- maydon birligi uchun to'lov). Kesish chiziqlari ko'rib chiqilayotgan tekislikka perpendikulyar va undan ikkala yo'nalishda ham yo'naltirilgan. Tsilindrni aqliy ravishda yopiq sirt sifatida quramiz, uning asoslari zaryadlangan tekislikka parallel va o'qi unga perpendikulyar. Tsilindrning generatorlari kuchlanish chiziqlariga parallel bo'lganligi sababli (cosa = 0), u holda silindrning yon yuzasi bo'ylab kuchlanish vektorining oqimi nol, va tsilindrdan o'tadigan umumiy oqim uning asoslari bo'ylab oqimlarning yig'indisiga teng (poydevorlarning maydonlari poydevor uchun tengdir) E n bilan mos keladi E), ya'ni 2 ga teng ES. Tuzilgan silindrsimon yuzaning ichiga o'ralgan zaryad s ga teng S. Gauss teoremasiga (81.2) muvofiq, 2 ES= s S/ e 0 , qayerda

(82.1) formuladan kelib chiqadiki E silindr uzunligiga bog'liq emas, ya'ni har qanday masofada maydon kuchi mutlaq qiymatda bir xil bo'ladi, boshqacha aytganda, bir xil zaryadlangan tekislikning maydoni. bir hil.

2. Ikki cheksiz parallel qarama-qarshi zaryadlangan tekislikning maydoni(127-rasm). Samolyotlar sirt zichligi + s va –s bo'lgan bir xil qarama-qarshi zaryadlar bilan zaryadlangan bo'lsin. Biz bunday tekisliklar maydonini har bir tekislik tomonidan yaratilgan maydonlarning superpozitsiyasi sifatida topamiz. Rasmda yuqori o'qlar musbat zaryadlangan tekislikdan maydonga, pastki o'qlar salbiy tekislikdan maydonga to'g'ri keladi. Samolyotlarning chap va o'ng tomonida maydonlar chiqariladi (kuchlanish chiziqlari bir-biriga yo'naltiriladi), shuning uchun bu erda maydon kuchi E=0. Samolyotlar orasidagi hududda E= E + + E – (E+ va E- formula (82.1) bo'yicha aniqlanadi), shuning uchun hosil bo'lgan kuchlanish

(82.2)

Shunday qilib, tekisliklar orasidagi mintaqada hosil bo'lgan maydon kuchi (82.2) formula bilan tavsiflanadi va tekisliklar bilan chegaralangan hajmdan tashqarida u nolga teng.

3. Bir tekis zaryadlangan sferik yuzaning maydoni. sferik sirt radius bilan R umumiy to'lov Q sirt zichligi +s bilan bir xilda zaryadlangan. Zaryadning sirt ustida bir xil taqsimlanishi tufayli u tomonidan yaratilgan maydon sferik simmetriyaga ega. Shuning uchun kuchlanish chiziqlari radial yo'naltiriladi (128-rasm). Keling, aqliy ravishda radiusli sharni quraylik r, zaryadlangan shar bilan umumiy markazga ega bo'lish. Agar r>R,ro barcha zaryad sirt ichiga kiradi Q, Bu ko'rib chiqilayotgan maydonni yaratadi va Gauss teoremasi bo'yicha (81.2), , qayerda

(82.3)

Da r>R maydon masofa bilan kamayadi r nuqta zaryadi bilan bir xil qonunga muvofiq. qaramlik grafigi E dan r shaklda ko'rsatilgan. 129. Agar r" , keyin yopiq sirt ichida zaryadlar mavjud emas, shuning uchun bir xil zaryadlangan sferik sirt ichida elektrostatik maydon yo'q ( E=0).