Ta'rif
Bir nuqtadan chiqadigan ikkita nur o'rtasida joylashgan tekislikning barcha nuqtalaridan iborat geometrik figura deyiladi. tekis burchak.
Ta'rif
Ikki orasidagi burchak kesishgan Streyt- bu chiziqlar kesishmasidagi eng kichik tekislik burchagi qiymati. Agar ikkita chiziq parallel bo'lsa, ular orasidagi burchak nolga teng deb hisoblanadi.
Ikki kesishuvchi chiziq orasidagi burchak (agar tekislik burchaklari radyanlarda o'lchangan bo'lsa) noldan $\dfrac(\pi)(2)$ gacha bo'lgan qiymatlarni olishi mumkin.
Ta'rif
Ikki kesishuvchi chiziq orasidagi burchak kesishuvchi chiziqlarga parallel bo'lgan ikkita kesishgan chiziq orasidagi burchakka teng miqdor. $a$ va $b$ chiziqlar orasidagi burchak $\angle (a, b)$ bilan belgilanadi.
Kiritilgan ta'rifning to'g'riligi quyidagi teoremadan kelib chiqadi.
Tomonlari parallel bo'lgan tekis burchaklar haqidagi teorema
Mos ravishda parallel va bir xil yo'naltirilgan tomonlari bo'lgan ikkita qavariq tekislik burchaklarining kattaliklari teng.
Isbot
Agar burchaklar to'g'ri bo'lsa, ikkalasi ham $\pi$ ga teng. Agar ular ochilmagan bo'lsa, $ON=O_1ON_1$ va $OM=O_1M_1$ $\angle AOB$ va $\angle A_1O_1B_1$ burchaklarining mos keladigan tomonlariga teng segmentlarni chizamiz.
$O_1N_1NO$ to'rtburchak parallelogrammdir, chunki uning qarama-qarshi tomonlari $ON$ va $O_1N_1$ teng va parallel. Xuddi shunday, $O_1M_1MO$ to'rtburchak parallelogrammdir. Demak, $NN_1 = OO_1 = MM_1$ va $NN_1 \parallel OO_1 \parallel MM_1$, shuning uchun tranzitivlik bo'yicha $NN_1=MM_1$ va $NN_1 \parallel MM_1$. $N_1M_1MN$ to'rtburchak parallelogrammdir, chunki uning qarama-qarshi tomonlari teng va parallel. Bu $NM$ va $N_1M_1$ segmentlari teng ekanligini anglatadi. Uchburchaklar tengligining uchinchi mezoniga ko'ra $ONM$ va $O_1N_1M_1$ uchburchaklar tengdir, ya'ni mos burchaklar $\angle NOM$ va $\angle N_1O_1M_1$ tengdir.
Men qisqacha gapiraman. Ikki to'g'ri chiziq orasidagi burchak ularning yo'nalish vektorlari orasidagi burchakka teng. Shunday qilib, a = (x 1 ; y 1 ; z 1) va b = (x 2 ; y 2; z 2) yo'nalish vektorlarining koordinatalarini topishga muvaffaq bo'lsangiz, burchakni topishingiz mumkin. Aniqrog'i, formula bo'yicha burchakning kosinusu:
Keling, ushbu formulaning aniq misollar yordamida qanday ishlashini ko'rib chiqaylik:
Vazifa. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 kubida E va F nuqtalari belgilangan - mos ravishda A 1 B 1 va B 1 C 1 qirralarning o'rta nuqtalari. AE va BF chiziqlar orasidagi burchakni toping.
Kubning qirrasi ko'rsatilmaganligi sababli, AB = 1 ni o'rnatamiz. Standart koordinatalar tizimini kiritamiz: koordinatalar koordinatalari A nuqtada, x, y, z o'qlari mos ravishda AB, AD va AA 1 bo'ylab yo'naltirilgan. Birlik segmenti AB = 1 ga teng. Endi chiziqlarimiz uchun yo'nalish vektorlarining koordinatalarini topamiz.
AE vektorining koordinatalarini topamiz. Buning uchun bizga A = (0; 0; 0) va E = (0,5; 0; 1) nuqtalari kerak. E nuqta A 1 B 1 segmentining o'rtasi bo'lgani uchun uning koordinatalari uchlari koordinatalarining o'rtacha arifmetik qiymatiga teng. E'tibor bering, AE vektorining kelib chiqishi koordinatalarning kelib chiqishi bilan mos keladi, shuning uchun AE = (0,5; 0; 1).
Endi BF vektorini ko'rib chiqamiz. Xuddi shunday, biz B = (1; 0; 0) va F = (1; 0,5; 1) nuqtalarini tahlil qilamiz, chunki F - B 1 C 1 segmentining o'rtasi. Bizda ... bor:
BF = (1 - 1; 0,5 - 0; 1 - 0) = (0; 0,5; 1).
Shunday qilib, yo'nalish vektorlari tayyor. To'g'ri chiziqlar orasidagi burchakning kosinusu yo'nalish vektorlari orasidagi burchakning kosinusidir, shuning uchun bizda:
Vazifa. Muntazam uchburchak prizmasida ABCA 1 B 1 C 1, barcha qirralari 1 ga teng, D va E nuqtalari belgilangan - mos ravishda A 1 B 1 va B 1 C 1 qirralarning o'rta nuqtalari. AD va BE chiziqlar orasidagi burchakni toping.
Standart koordinatalar sistemasini kiritamiz: koordinatalar koordinatalarining boshi A nuqtada, x o'qi AB bo'ylab, z - AA 1 bo'ylab yo'naltirilgan. Y o'qini OXY tekisligi ABC tekisligi bilan mos keladigan tarzda yo'naltiramiz. Birlik segmenti AB = 1 ga teng. Kerakli chiziqlar uchun yo'nalish vektorlarining koordinatalarini topamiz.
Avval AD vektorining koordinatalarini topamiz. Nuqtalarni ko'rib chiqing: A = (0; 0; 0) va D = (0,5; 0; 1), chunki D - A 1 B 1 segmentining o'rtasi. AD vektorining boshlanishi koordinatalarning kelib chiqishiga to'g'ri kelganligi sababli AD = (0,5; 0; 1) ni olamiz.
Endi BE vektorining koordinatalarini topamiz. B nuqtasi = (1; 0; 0) hisoblash oson. E nuqtasi bilan - C 1 B 1 segmentining o'rtasi - bu biroz murakkabroq. Bizda ... bor:
Burchakning kosinusini topish qoladi:
Vazifa. Muntazam olti burchakli ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 prizmasida barcha qirralari 1 ga teng, K va L nuqtalari belgilangan - mos ravishda A 1 B 1 va B 1 C 1 qirralarning o'rta nuqtalari. . AK va BL chiziqlar orasidagi burchakni toping.
Prizma uchun standart koordinatalar tizimini kiritamiz: koordinatalar boshini pastki asosning markaziga joylashtiramiz, x o'qi FC bo'ylab yo'naltiriladi, y o'qi AB va DE segmentlarining o'rta nuqtalari orqali yo'naltiriladi va z. o'qi vertikal yuqoriga yo'naltirilgan. Birlik segmenti yana AB = 1 ga teng. Bizni qiziqtirgan nuqtalarning koordinatalarini yozamiz:
K va L nuqtalar mos ravishda A 1 B 1 va B 1 C 1 segmentlarining o'rta nuqtalari, shuning uchun ularning koordinatalari o'rtacha arifmetik orqali topiladi. Nuqtalarni bilib, biz AK va BL yo'nalish vektorlarining koordinatalarini topamiz:
Endi burchakning kosinusini topamiz:
Vazifa. Barcha qirralari 1 ga teng bo'lgan muntazam to'rtburchaklar piramida SABCDda E va F nuqtalari belgilangan - mos ravishda SB va SC tomonlarning o'rta nuqtalari. AE va BF chiziqlar orasidagi burchakni toping.
Standart koordinatalar sistemasini kiritamiz: bosh A nuqtada, x va y o‘qlari mos ravishda AB va AD bo‘ylab, z o‘qi esa vertikal yuqoriga yo‘naltirilgan. Birlik segmenti AB = 1 ga teng.
E va F nuqtalar mos ravishda SB va SC segmentlarining o'rta nuqtalari, shuning uchun ularning koordinatalari uchlarning o'rtacha arifmetik qiymati sifatida topiladi. Bizni qiziqtirgan nuqtalarning koordinatalarini yozamiz:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)
Nuqtalarni bilib, biz AE va BF yo'nalish vektorlarining koordinatalarini topamiz:
AE vektorning koordinatalari E nuqtaning koordinatalari bilan mos keladi, chunki A nuqta koordinatasidir. Burchakning kosinusini topish qoladi:
Dekart koordinata sistemasidagi tekislikdagi ikkita l va m to‘g‘ri chiziq umumiy tenglamalar bilan berilgan bo‘lsin: l: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, m: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0.
Bu chiziqlarga normal vektorlar: = (A 1 , B 1) – l qatorga,
= (A 2 , B 2) – m qatorga.
l va m chiziqlar orasidagi burchak j bo‘lsin.
Tomonlari o'zaro perpendikulyar bo'lgan burchaklar teng yoki qo'shilishi p ga teng bo'lgani uchun 
, ya'ni cos j =.
Shunday qilib, biz quyidagi teoremani isbotladik.
Teorema. j tekislikdagi ikkita chiziq orasidagi burchak bo'lsin va bu chiziqlar Dekart koordinata tizimida A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 va A 2 x + B 2 y + C 2 umumiy tenglamalari bilan aniqlansin. = 0. U holda cos j = 
.
Mashqlar.
1) To'g'ri chiziqlar orasidagi burchakni hisoblash formulasini chiqaring, agar:
(1) ikkala satr ham parametrik tarzda belgilanadi; (2) ikkala chiziq ham kanonik tenglamalar bilan berilgan; (3) bir qator parametrik, ikkinchi qator umumiy tenglama bilan belgilanadi; (4) ikkala chiziq qiyalikli tenglama bilan berilgan.
2) Tekislikdagi ikkita toʻgʻri chiziq orasidagi burchak j boʻlsin va bu toʻgʻri chiziqlar Dekart koordinata sistemasida y = k 1 x + b 1 va y =k 2 x + b 2 tenglamalar orqali aniqlansin.
Keyin tan j =.
3) Dekart koordinata tizimidagi umumiy tenglamalar bilan berilgan ikkita to‘g‘ri chiziqning nisbiy o‘rnini o‘rganing va jadvalni to‘ldiring:
Tekislikdagi nuqtadan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa.
Dekart koordinata sistemasidagi tekislikdagi l to'g'ri chiziq Ax + By + C = 0 umumiy tenglama bilan berilgan bo'lsin. M(x 0 , y 0) nuqtadan l to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa topilsin.
M nuqtadan l to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa HM perpendikulyar uzunligi (H O l, HM ^ l).
l chiziqning vektori va normal vektori kollinear, shuning uchun | | = | | | | va | | = .
H nuqtaning koordinatalari (x,y) bo'lsin.
H nuqta l to'g'riga tegishli bo'lganligi sababli, Ax + By + C = 0 (*).
Vektorlarning koordinatalari va: = (x 0 - x, y 0 - y), = (A, B).
| | = 
= 
= 
(C = -Ax - tomonidan, qarang (*))
Teorema. l to'g'ri chiziq Dekart koordinata tizimida Ax + By + C = 0 umumiy tenglama bilan aniqlansin. Keyin M(x 0 , y 0) nuqtadan bu to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa quyidagi formula bilan hisoblanadi: r ( M; l) = .
Mashqlar.
1) Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofani hisoblash formulasini chiqaring, agar: (1) chiziq parametrik berilgan bo'lsa; (2) kanonik tenglamalarga chiziq berilgan; (3) to'g'ri chiziq burchak koeffitsientli tenglama bilan berilgan.
2) Markazi Q(-2,4) nuqtada bo‘lgan 3x – y = 0 to‘g‘riga teguvchi aylana tenglamasini yozing.
3) 2x + y - 1 = 0 va x + y + 1 = 0 chiziqlar kesishmasidan hosil bo'lgan burchaklarni yarmiga bo'linadigan chiziqlar tenglamalarini yozing.
§ 27. Fazodagi tekislikning analitik ta'rifi
Ta'rif. Samolyotning normal vektori har qanday vakili berilgan tekislikka perpendikulyar bo'lgan nolga teng bo'lmagan vektorni chaqiramiz.
Izoh. Ko'rinib turibdiki, agar vektorning kamida bitta vakili tekislikka perpendikulyar bo'lsa, u holda vektorning barcha boshqa vakillari ushbu tekislikka perpendikulyar bo'ladi.
Fazoda Dekart koordinata tizimi berilgan bo'lsin.
Bir tekislik berilgan bo'lsin, = (A, B, C) - bu tekislikning normal vektori, M nuqta (x 0 , y 0 , z 0) a tekislikka tegishli.
a tekislikning istalgan N(x, y, z) nuqtasi uchun va vektorlari ortogonal, ya’ni ularning skalyar ko‘paytmasi nolga teng: = 0. Oxirgi tenglikni koordinatalarda yozamiz: A(x - x 0). ) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0.
-Ax 0 - By 0 - Cz 0 = D, keyin Ax + By + Cz + D = 0 bo'lsin.
Ax + By + Cz + D = 0 bo'ladigan K (x, y) nuqtani olaylik. D = -Ax 0 - By 0 - Cz 0 bo'lgani uchun, u holda A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0. Yo'naltirilgan segmentning koordinatalari = (x - x 0, y - y 0, z - z 0, z - z 0) bo'lgani uchun, oxirgi tenglik ^ ni bildiradi va shuning uchun K O a.
Shunday qilib, biz quyidagi teoremani isbotladik:
Teorema. Dekart koordinata tizimidagi fazodagi har qanday tekislikni Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) ko'rinishdagi tenglama bilan aniqlash mumkin, bu erda (A, B, C) bu tekislikka normal vektorning koordinatalari.
Buning aksi ham haqiqatdir.
Teorema. Dekart koordinata tizimidagi Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) ko'rinishdagi har qanday tenglama ma'lum bir tekislikni belgilaydi va (A, B, C) normal koordinatalardir. bu tekislikka vektor.
Isbot.
M (x 0 , y 0 , z 0) nuqtani oling, Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = 0 va vektor = (A, B, C) ( ≠ q).
M nuqtadan vektorga perpendikulyar tekislik (va faqat bitta) o'tadi. Oldingi teoremaga ko'ra, bu tekislik Ax + By + Cz + D = 0 tenglama bilan berilgan.
Ta'rif. Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) ko'rinishdagi tenglama deyiladi. umumiy tekislik tenglamasi.
Misol.
M (0,2,4), N (1,-1,0) va K (-1,0,5) nuqtalardan o`tuvchi tekislik tenglamasini yozamiz.
1. Oddiy vektorning tekislikka (MNK) koordinatalarini toping. ´ vektor mahsuloti kollinear bo'lmagan vektorlarga ortogonal bo'lgani uchun va vektor kollinear ´ bo'ladi.
= (1, -3, -4), = (-1, -2, 1);
´ = 
,
´ = (-11, 3, -5).
Demak, normal vektor sifatida = (-11, 3, -5) vektorni olamiz.
2. Endi birinchi teorema natijalaridan foydalanamiz:
bu tekislikning tenglamasi A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0, bu erda (A, B, C) normal vektorning koordinatalari, (x 0 , y 0 , z 0) – tekislikda yotgan nuqtaning koordinatalari (masalan, M nuqta).
11(x - 0) + 3(y - 2) - 5(z - 4) = 0
11x + 3y – 5z + 14 = 0
Javob: -11x + 3y - 5z + 14 = 0.
Mashqlar.
1) Agar tekislikning tenglamasini yozing
(1) tekislik 3x + y + z = 0 tekislikka parallel M (-2,3,0) nuqtadan o'tadi;
(2) tekislik (Ox) o'qni o'z ichiga oladi va x + 2y - 5z + 7 = 0 tekislikka perpendikulyar.
2) Berilgan uchta nuqtadan o‘tuvchi tekislik tenglamasini yozing.
§ 28. Yarim bo'shliqning analitik ta'rifi*
Izoh*. Samolyot tuzatsin. ostida yarim bo'shliq berilgan tekislikning bir tomonida yotgan nuqtalar to'plamini tushunamiz, ya'ni ikkita nuqta bir xil yarim fazoda yotadi, agar ularni tutashtiruvchi segment berilgan tekislikni kesib o'tmasa. Bu samolyot deyiladi bu yarim fazoning chegarasi. Bu tekislik va yarim fazoning birlashuvi deyiladi yopiq yarim bo'shliq.
Dekart koordinata tizimi fazoda o'rnatilgan bo'lsin.
Teorema. a tekislik Ax + By + Cz + D = 0 umumiy tenglama bilan berilgan bo'lsin. U holda a tekislik fazoni ajratadigan ikkita yarim fazodan biri Ax + By + Cz + D > 0 tengsizligi bilan berilgan. , va ikkinchi yarim bo'shliq Ax + By + Cz + D tengsizlik bilan berilgan< 0.
Isbot.
Bu tekislikda yotgan M (x 0, y 0, z 0) nuqtadan a tekislikka = (A, B, C) normal vektorni chizamiz: = , M O a, MN ^ a. Samolyot fazoni ikkita yarim fazoga ajratadi: b 1 va b 2. N nuqta ana shu yarim fazolardan biriga tegishli ekanligi aniq. Umumiylikni yo'qotmasdan, N O b 1 deb faraz qilamiz.
b 1 yarim fazo Ax + By + Cz + D > 0 tengsizlik bilan aniqlanganligini isbotlaylik.
1) b 1 yarim fazoda K(x,y,z) nuqtani oling. Burchak Ð NMK - o'tkir vektorlar orasidagi burchak, shuning uchun bu vektorlarning skalyar ko'paytmasi musbat: > 0. Bu tengsizlikni koordinatalarda yozamiz: A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) > 0, ya'ni Ax + By + Cy - Ax 0 - By 0 - C z 0 > 0.
M O b 1 ekan, u holda Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0, demak -Ax 0 - By 0 - C z 0 = D. Shuning uchun oxirgi tengsizlikni quyidagicha yozish mumkin: Ax + By + Cz + D > 0.
2) Ax + By + Cz + D > 0 bo'ladigan L(x,y) nuqtani oling.
D ni (-Ax 0 - By 0 - C z 0) bilan almashtirib, tengsizlikni qayta yozamiz (chunki M O b 1, keyin Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0): A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) > 0.
Koordinatalari (x - x 0,y - y 0, z - z 0) vektor vektor, shuning uchun A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) ifoda vektorlarning skalyar mahsuloti sifatida tushunish mumkin va. vektorlarning skalyar ko'paytmasi va musbat bo'lgani uchun ular orasidagi burchak o'tkir va nuqta L O b 1 .
Xuddi shunday, b 2 yarim fazo Ax + By + Cz + D tengsizligi bilan berilganligini isbotlashimiz mumkin.< 0.
Eslatmalar.
1) Yuqorida keltirilgan isbot a tekislikdagi M nuqtani tanlashga bog'liq emasligi aniq.
2) Bir xil yarim bo'shliqni turli xil tengsizliklar bilan aniqlash mumkinligi aniq.
Buning aksi ham haqiqatdir.
Teorema. Ax + By + Cz + D > 0 (yoki Ax + By + Cz + D) ko'rinishdagi har qanday chiziqli tengsizlik< 0) (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) задает в пространстве в декартовой системе координат полупространство с границей Ax + By + Cz + D = 0.
Isbot.
Kosmosdagi Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) tenglamasi ma'lum bir tekislikni belgilaydi a (§ ... ga qarang). Oldingi teoremada isbotlanganidek, tekislik fazoni ajratadigan ikkita yarim fazodan biri Ax Axe + By + Cz + D > 0 tengsizligi bilan berilgan.
Eslatmalar.
1) Ko'rinib turibdiki, yopiq yarim fazoni qat'iy bo'lmagan chiziqli tengsizlik bilan aniqlash mumkin va Dekart koordinata tizimidagi har qanday qat'iy bo'lmagan chiziqli tengsizlik yopiq yarim fazoni belgilaydi.
2) Har qanday qavariq ko'pburchakni yopiq yarim bo'shliqlarning kesishishi (ularning chegaralari ko'pburchak yuzlarini o'z ichiga olgan tekisliklar), ya'ni analitik jihatdan - chiziqli qat'iy bo'lmagan tengsizliklar tizimi bilan aniqlanishi mumkin.
Mashqlar.
1) Ixtiyoriy afin koordinatalar tizimi uchun berilgan ikkita teoremani isbotlang.
2) Har qanday qat'iy bo'lmagan chiziqli tengsizliklar tizimi aniqlaydigan buning aksi to'g'rimi qavariq ko'pburchak?
Mashq qilish.1) Dekart koordinata sistemasidagi umumiy tenglamalar bilan aniqlangan ikkita tekislikning nisbiy o‘rnini o‘rganing va jadvalni to‘ldiring.
Burchak fazodagi to'g'ri chiziqlar orasidagi ma'lumotlarga parallel ravishda ixtiyoriy nuqta orqali o'tkazilgan ikkita to'g'ri chiziqdan hosil bo'lgan qo'shni burchaklarning har qandayini chaqiramiz.
Bo'shliqda ikkita qator berilgan bo'lsin:
Shubhasiz, to'g'ri chiziqlar orasidagi burchak ph ni ularning yo'nalish vektorlari orasidagi burchak va . dan boshlab, u holda vektorlar orasidagi burchakning kosinus formulasidan foydalanamiz
Ikki to'g'ri chiziqning parallellik va perpendikulyarlik shartlari ularning yo'nalish vektorlarining parallellik va perpendikulyarlik shartlariga ekvivalentdir va:
Ikkita tekis parallel agar va faqat ularning tegishli koeffitsientlari proportsional bo'lsa, ya'ni. l 1 parallel l 2 agar va faqat parallel bo'lsa 
.
Ikkita tekis perpendikulyar agar va faqat tegishli koeffitsientlar ko'paytmalari yig'indisi nolga teng bo'lsa: .
U chiziq va tekislik orasidagi maqsad
To'g'ri bo'lsin d- th tekislikka perpendikulyar emas;
d′− chiziq proyeksiyasi d th tekisligiga;
To'g'ri chiziqlar orasidagi eng kichik burchak d Va d— qoʻngʻiroq qilamiz to'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchak.
Uni ph=( deb belgilaymiz. d,θ)
Agar d⊥th, keyin ( d,th)=p/2
Oi→j→k→− to‘rtburchak koordinatalar sistemasi.
Tekislik tenglamasi:
θ: Ax+tomonidan+Cz+D=0
To'g'ri chiziq nuqta va yo'nalish vektori bilan aniqlangan deb faraz qilamiz: d[M 0,p→]
Vektor n→(A,B,C)⊥θ
Keyin vektorlar orasidagi burchakni aniqlash qoladi n→ va p→, uni g=( deb belgilaymiz. n→,p→).
Agar burchak g bo'lsa<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .
Agar burchak g>p/2 bo'lsa, kerakli burchak ph=g−p/2 bo'ladi.
sinph=sin(2p−g)=cosy
sinph=sin(g−2p)=−cosy
Keyin, to'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchak formula yordamida hisoblash mumkin:
sinph=∣coscog∣=∣ ∣ Ap 1+Bp 2+Cp 3∣ ∣ √A 2+B 2+C 2√p 21+p 22+p 23
Savol 29. Kvadrat shakl haqida tushuncha. Kvadrat shakllarning belgi aniqligi.
Kvadrat shakl j (x 1, x 2, …, x n) n haqiqiy o‘zgaruvchilar x 1, x 2, …, x n shaklning yig'indisi deyiladi 
, (1)
Qayerda a ij - koeffitsientlar deb ataladigan ba'zi raqamlar. Umumiylikni yo'qotmasdan, biz buni taxmin qilishimiz mumkin a ij = a ji.
Kvadrat shakl deyiladi yaroqli, Agar a ij
Î GR. Kvadrat shakl matritsasi koeffitsientlaridan tuzilgan matritsa deyiladi. Kvadrat shakl (1) yagona simmetrik matritsaga mos keladi 
Anavi A T = A. Demak, kvadratik shakl (1) j matritsa shaklida yozilishi mumkin ( X) = x T Ah, Qayerda x T = (X 1 X 2 … x n). (2)
Va aksincha, har bir nosimmetrik matritsa (2) o'zgaruvchilarning yozuviga qadar noyob kvadratik shaklga mos keladi.
Kvadrat shakl darajasi uning matritsasi darajasi deyiladi. Kvadrat shakl deyiladi degenerativ bo'lmagan, agar uning matritsasi yagona bo'lmasa A. (esda tutingki, matritsa A uning determinanti bo'lmasa, degenerativ emas deb ataladi nolga teng). Aks holda, kvadratik shakl degenerativ hisoblanadi.
ijobiy aniqlik(yoki qat'iy ijobiy) agar
j ( X) > 0 , har kim uchun X = (X 1 , X 2 , …, x n), bundan mustasno X = (0, 0, …, 0).
Matritsa A musbat aniq kvadratik shakl j ( X) musbat aniqlovchi deb ham ataladi. Demak, musbat aniq kvadratik shakl yagona musbat aniq matrisaga mos keladi va aksincha.
Kvadrat shakl (1) deyiladi salbiy ta'riflangan(yoki qat'iy salbiy) agar
j ( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, x n), bundan mustasno X = (0, 0, …, 0).
Xuddi yuqoridagi kabi, manfiy aniq kvadrat shakldagi matritsa ham manfiy aniqlik deyiladi.
Binobarin, musbat (salbiy) aniq kvadratik shakl j ( X) minimal (maksimal) qiymatiga yetadi j ( X*) = 0 da X* = (0, 0, …, 0).
Shu esta tutilsinki katta qism kvadratik shakllar belgi-aniq emas, ya'ni ular na ijobiy, na salbiy. Bunday kvadratik shakllar nafaqat koordinatalar tizimining boshida, balki boshqa nuqtalarda ham yo'qoladi.
Qachon n> 2, kvadrat shakl belgisini tekshirish uchun maxsus mezonlar talab qilinadi. Keling, ularga qaraylik.
Katta voyaga etmaganlar kvadratik shakl kichiklar deb ataladi:
ya'ni bular 1, 2, ... darajali voyaga etmaganlar, n matritsalar A, yuqori chap burchakda joylashgan, ularning oxirgisi matritsaning determinantiga to'g'ri keladi A.
Ijobiy aniqlik mezoni (Silvester mezoni)
X) = x T Ah ijobiy aniq bo'lgan, matritsaning barcha asosiy kichiklari zarur va etarli A ijobiy edi, ya'ni: M 1 > 0, M 2 > 0, …, Mn > 0. Salbiy aniqlik mezoni Kvadrat shakl uchun j ( X) = x T Ah manfiy aniq bo'lgan bo'lsa, uning juft tartibli asosiy kichiklari musbat, toq tartibli - manfiy bo'lishi zarur va yetarli, ya'ni: M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)n
Oh-oh-oh-oh-oh ... yaxshi, bu qiyin, go'yo u o'ziga bir jumlani o'qiyotgandek =) Biroq, dam olish keyinchalik yordam beradi, ayniqsa bugun men tegishli aksessuarlarni sotib oldim. Shuning uchun, keling, birinchi bo'limga o'tamiz, umid qilamanki, maqolaning oxirigacha men quvnoq kayfiyatni saqlab qolaman.
Ikki chiziqning nisbiy holati
Tomoshabinlar xorda qo'shiq kuylaganda shunday bo'ladi. Ikki to'g'ri chiziq bo'lishi mumkin:
1) mos kelish;
2) parallel bo'lsin: ;
3) yoki bitta nuqtada kesishadi: .
Dummies uchun yordam : Iltimos, matematik kesishish belgisini eslang, u tez-tez paydo bo'ladi. Belgilanish, chiziqning nuqtadagi chiziq bilan kesishishini bildiradi.
Ikki chiziqning nisbiy holatini qanday aniqlash mumkin?
Birinchi holatdan boshlaylik:
Ikki chiziq mos keladi, agar ularning koeffitsientlari proportsional bo'lsa, ya'ni tenglik qanoatlantiriladigan "lambda" soni mavjud
To'g'ri chiziqlarni ko'rib chiqamiz va mos keladigan koeffitsientlardan uchta tenglama tuzamiz: . Har bir tenglamadan kelib chiqadiki, shuning uchun bu chiziqlar bir-biriga mos keladi.
Haqiqatan ham, agar tenglamaning barcha koeffitsientlari bo'lsa 
-1 ga ko'paytiring (belgilarni o'zgartiring) va tenglamaning barcha koeffitsientlarini 2 ga kamaytiring, siz bir xil tenglamani olasiz: .
Ikkinchi holat, chiziqlar parallel bo'lganda:
Ikki chiziq parallel bo'ladi, agar ularning o'zgaruvchilar koeffitsientlari proportsional bo'lsa: 
, Lekin.
Misol tariqasida ikkita to'g'ri chiziqni ko'rib chiqing. O'zgaruvchilar uchun mos keladigan koeffitsientlarning mutanosibligini tekshiramiz: 
Biroq, bu juda aniq.
Uchinchi holat, chiziqlar kesishganda:
Ikki chiziq kesishadi, agar ularning o'zgaruvchilar koeffitsientlari proportsional bo'lmasa, ya'ni "lambda" ning tengliklari qondiriladigan bunday qiymati YO'Q 
Shunday qilib, to'g'ri chiziqlar uchun biz tizim yaratamiz: 
Birinchi tenglamadan , ikkinchi tenglamadan esa: , degani kelib chiqadi tizim mos kelmaydi(echimlar yo'q). Shunday qilib, o'zgaruvchilarning koeffitsientlari proportsional emas.
Xulosa: chiziqlar kesishadi
Amaliy masalalarda siz hozirgina muhokama qilingan yechim sxemasidan foydalanishingiz mumkin. Aytgancha, bu biz sinfda ko'rib chiqqan vektorlarni kollinearlik uchun tekshirish algoritmini juda eslatadi. Vektorlarning chiziqli (in) bog'liqligi tushunchasi. Vektorlar asoslari. Ammo yanada madaniyatli qadoqlash mavjud:
1-misol
Chiziqlarning o'zaro joylashishini aniqlang: 
Yechim to'g'ri chiziqlarning yo'naltiruvchi vektorlarini o'rganishga asoslangan:
a) Tenglamalardan biz chiziqlarning yo'nalish vektorlarini topamiz: 
.
, ya'ni vektorlar kollinear emas va chiziqlar kesishadi.
Har holda, chorrahada belgilar bilan tosh qo'yaman:
Qolganlari toshdan sakrab o'tib, to'g'ridan-to'g'ri O'lmas Kashcheyga ergashadilar =)
b) chiziqlarning yo'nalish vektorlarini toping: 
Chiziqlar bir xil yo'nalish vektoriga ega, ya'ni ular parallel yoki mos keladi. Bu erda determinantni hisoblashning hojati yo'q.
Ko'rinib turibdiki, noma'lumlarning koeffitsientlari proportsionaldir va .
Keling, tenglik to'g'ri yoki yo'qligini bilib olaylik: 
Shunday qilib,
c) chiziqlarning yo'nalish vektorlarini toping: 
Ushbu vektorlarning koordinatalaridan tashkil topgan determinantni hisoblaymiz: 
, shuning uchun yo'nalish vektorlari kollineardir. Chiziqlar parallel yoki mos keladi.
"Lambda" proportsionallik koeffitsientini to'g'ridan-to'g'ri kollinear yo'nalish vektorlari nisbatidan ko'rish oson. Biroq, uni tenglamalarning koeffitsientlari orqali ham topish mumkin: 
.
Endi tenglik to'g'ri yoki yo'qligini bilib olaylik. Ikkala bepul shart ham nolga teng, shuning uchun:
Olingan qiymat bu tenglamani qanoatlantiradi (umuman har qanday raqam uni qanoatlantiradi).
Shunday qilib, chiziqlar bir-biriga mos keladi.
Javob:
Tez orada siz og'zaki muhokama qilingan muammoni bir necha soniya ichida hal qilishni o'rganasiz (yoki hatto allaqachon o'rgangansiz). Shu munosabat bilan, men mustaqil yechim uchun biror narsa taklif qilishning ma'nosini ko'rmayapman, geometrik poydevorga yana bir muhim g'isht qo'yish yaxshiroqdir:
Berilgan chiziqqa parallel chiziqni qanday qurish mumkin?
Buni bilmaslik uchun eng oddiy vazifa Qaroqchi bulbul qattiq jazolaydi.
2-misol
To'g'ri chiziq tenglama bilan berilgan. Nuqtadan o‘tuvchi parallel chiziq tenglamasini yozing.
Yechim: Noma'lum qatorni harf bilan belgilaymiz. Vaziyat u haqida nima deydi? To'g'ri chiziq nuqtadan o'tadi. Va agar chiziqlar parallel bo'lsa, "tse" to'g'ri chiziqning yo'nalish vektori "de" to'g'ri chiziqni qurish uchun ham mos kelishi aniq.
Yo'nalish vektorini tenglamadan chiqaramiz:
Javob:
Misolning geometriyasi oddiy ko'rinadi: 
Analitik test quyidagi bosqichlardan iborat:
1) Biz chiziqlar bir xil yo'nalish vektoriga ega ekanligini tekshiramiz (agar chiziq tenglamasi to'g'ri soddalashtirilmagan bo'lsa, u holda vektorlar kollinear bo'ladi).
2) Nuqta natijaviy tenglamani qanoatlantirishini tekshiring.
Aksariyat hollarda analitik test og'zaki tarzda osonlik bilan amalga oshirilishi mumkin. Ikki tenglamani ko'rib chiqing va ko'pchiligingiz hech qanday chizmasiz chiziqlarning parallelligini tezda aniqlaydi.
Bugungi kunda mustaqil echimlar uchun misollar ijodiy bo'ladi. Chunki siz hali ham Baba Yaga bilan raqobatlashishingiz kerak bo'ladi va u, bilasizmi, har xil topishmoqlarni yaxshi ko'radi.
3-misol
Agar chiziqqa parallel nuqtadan o'tuvchi chiziq tenglamasini yozing
Uni hal qilishning oqilona va unchalik oqilona bo'lmagan usuli mavjud. Eng qisqa yo'l - dars oxirida.
Biz parallel chiziqlar bilan biroz ishladik va ularga keyinroq qaytamiz. Bir-biriga mos keladigan chiziqlar masalasi unchalik qiziq emas, shuning uchun maktab o'quv dasturidan sizga juda tanish bo'lgan muammoni ko'rib chiqaylik:
Ikki chiziqning kesishish nuqtasini qanday topish mumkin?
To'g'ri bo'lsa 
nuqtada kesishsa, u holda uning koordinatalari yechim hisoblanadi chiziqli tenglamalar tizimlari 
Chiziqlarning kesishish nuqtasini qanday topish mumkin? Tizimni hal qiling.
Mana ikkita noma'lumli ikkita chiziqli tenglamalar tizimining geometrik ma'nosi- bu tekislikdagi ikkita kesishuvchi (ko'pincha) chiziqlar.
4-misol
Chiziqlarning kesishish nuqtasini toping
Yechim: Yechishning ikkita usuli bor - grafik va analitik.
Grafik usul oddiygina berilgan chiziqlarni chizish va kesishish nuqtasini to'g'ridan-to'g'ri chizmadan topishdir: 
Mana bizning fikrimiz: . Tekshirish uchun siz uning koordinatalarini chiziqning har bir tenglamasiga almashtirishingiz kerak, ular u erda ham, u erda ham mos kelishi kerak. Boshqacha qilib aytganda, nuqtaning koordinatalari tizimning yechimidir. Asosan, biz grafik yechimni ko'rib chiqdik chiziqli tenglamalar tizimlari ikkita tenglama, ikkita noma'lum.
Grafik usul, albatta, yomon emas, lekin sezilarli kamchiliklar mavjud. Yo'q, gap ettinchi sinf o'quvchilari shunday qaror qabul qilishlarida emas, gap shundaki, to'g'ri va ANIQ chizma vaqt o'tadi. Bundan tashqari, ba'zi to'g'ri chiziqlarni qurish unchalik oson emas va kesishish nuqtasining o'zi daftar varag'idan tashqarida o'ttizinchi shohlikning bir joyida joylashgan bo'lishi mumkin.
Shuning uchun kesishish nuqtasini analitik usul yordamida izlash maqsadga muvofiqdir. Keling, tizimni hal qilaylik: 
Tizimni yechish uchun tenglamalarni muddat bo'yicha qo'shish usuli qo'llanildi. Tegishli ko'nikmalarni rivojlantirish uchun saboq oling Tenglamalar tizimini qanday yechish mumkin?
Javob:
Tekshirish ahamiyatsiz - kesishish nuqtasining koordinatalari tizimning har bir tenglamasini qondirishi kerak.
5-misol
Chiziqlar kesishsa, ularning kesishish nuqtasini toping.
Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir. Vazifani bir necha bosqichlarga bo'lish qulay. Vaziyatni tahlil qilish zarurligini ko'rsatadi:
1) To'g'ri chiziq tenglamasini yozing.
2) To‘g‘ri chiziq tenglamasini tuzing.
3) Chiziqlarning nisbiy holatini aniqlang.
4) Agar chiziqlar kesishsa, u holda kesishish nuqtasini toping.
Harakatlar algoritmini ishlab chiqish ko'pgina geometrik masalalar uchun xosdir va men bunga qayta-qayta e'tibor qarataman.
To'liq yechim va dars oxirida javob:
Darsning ikkinchi qismiga borgunimizcha bir juft poyabzal ham eskirgan emas:
Perpendikulyar chiziqlar. Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa.
To'g'ri chiziqlar orasidagi burchak
Oddiy va juda muhim vazifadan boshlaylik. Birinchi qismda biz bunga parallel ravishda qanday qilib to'g'ri chiziq qurishni bilib oldik va endi tovuq oyoqlaridagi kulba 90 gradusga aylanadi:
Berilgan chiziqqa perpendikulyar chiziqni qanday qurish mumkin?
6-misol
To'g'ri chiziq tenglama bilan berilgan. Nuqtadan o`tuvchi chiziqqa perpendikulyar tenglama yozing.
Yechim: Shart bo'yicha ma'lumki. Chiziqning yo'naltiruvchi vektorini topish yaxshi bo'lar edi. Chiziqlar perpendikulyar bo'lgani uchun hiyla oddiy:
Tenglamadan biz normal vektorni "olib tashlaymiz": , bu to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektori bo'ladi.
Nuqta va yo‘nalish vektori yordamida to‘g‘ri chiziq tenglamasini tuzamiz:
Javob: 
Keling, geometrik eskizni kengaytiramiz:
Hm... To'q sariq osmon, to'q sariq dengiz, to'q sariq tuya.
Yechimni analitik tekshirish:
1) Tenglamalardan yo'nalish vektorlarini chiqaramiz 
va yordami bilan vektorlarning skalyar mahsuloti chiziqlar chindan ham perpendikulyar degan xulosaga kelamiz:.
Aytgancha, siz oddiy vektorlardan foydalanishingiz mumkin, bu yanada osonroq.
2) Nuqta natijaviy tenglamani qanoatlantirishini tekshiring 
.
Test, yana, og'zaki bajarish oson.
7-misol
Agar tenglama ma'lum bo'lsa, perpendikulyar chiziqlarning kesishish nuqtasini toping 
va davr.
Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir. Muammo bir nechta harakatlarga ega, shuning uchun yechimni nuqta bo'yicha shakllantirish qulay.
Bizning qiziqarli sayohatimiz davom etadi:
Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa
Oldimizda daryoning tekis chizig'i bor va bizning vazifamiz unga eng qisqa yo'l bilan borishdir. Hech qanday to'siq yo'q va eng maqbul yo'nalish perpendikulyar bo'ylab harakatlanish bo'ladi. Ya'ni, nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa perpendikulyar segmentning uzunligidir.
Geometriyada masofa an'anaviy ravishda yunoncha "rho" harfi bilan belgilanadi, masalan: - "em" nuqtasidan "de" to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa.
Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa 
formula bilan ifodalanadi
8-misol
Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofani toping 
Yechim: faqat raqamlarni formulaga ehtiyotkorlik bilan almashtirish va hisob-kitoblarni bajarish kifoya:
Javob: 
Keling, rasm chizamiz: 
Nuqtadan chiziqgacha topilgan masofa aynan qizil segmentning uzunligiga teng. Agar siz katak qog'ozga 1 birlik o'lchovida chizilgan chizilgan bo'lsangiz. = 1 sm (2 hujayra), keyin masofani oddiy o'lchagich bilan o'lchash mumkin.
Xuddi shu rasmga asoslangan boshqa vazifani ko'rib chiqaylik:
Vazifa to'g'ri chiziqqa nisbatan nuqtaga simmetrik bo'lgan nuqtaning koordinatalarini topishdir 
. Men qadamlarni o'zingiz bajarishni taklif qilaman, lekin men oraliq natijalar bilan hal qilish algoritmini tasvirlab beraman:
1) Chiziqga perpendikulyar bo'lgan chiziqni toping.
2) Chiziqlarning kesishish nuqtasini toping: 
.
Ushbu darsda ikkala harakat ham batafsil muhokama qilinadi.
3) nuqta segmentning o'rta nuqtasidir. Biz o'rta va uchlaridan birining koordinatalarini bilamiz. tomonidan segmentning o'rta nuqtasining koordinatalari uchun formulalar topamiz.
Masofa ham 2,2 birlik ekanligini tekshirish yaxshi bo'lardi.
Bu erda hisob-kitoblarda qiyinchiliklar paydo bo'lishi mumkin, ammo mikrokalkulyator oddiy kasrlarni hisoblash imkonini beruvchi minorada katta yordam beradi. Men sizga ko'p marta maslahat berdim va yana tavsiya qilaman.
Ikki parallel chiziq orasidagi masofani qanday topish mumkin?
9-misol
Ikki parallel chiziq orasidagi masofani toping
Bu o'zingiz qaror qilishingiz uchun yana bir misol. Men sizga bir oz maslahat beraman: buni hal qilishning cheksiz ko'p usullari mavjud. Dars oxirida brifing, lekin o'zingiz uchun taxmin qilishga harakat qilganingiz ma'qul, menimcha, sizning zukkoligingiz yaxshi rivojlangan.
Ikki to'g'ri chiziq orasidagi burchak
Har bir burchak jambdir: 
Geometriyada ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchak KICHIK burchak sifatida qabul qilinadi, undan avtomatik ravishda uning to'g'ri bo'lishi mumkin emasligi kelib chiqadi. Rasmda qizil yoy bilan ko'rsatilgan burchak kesishgan chiziqlar orasidagi burchak hisoblanmaydi. Va uning "yashil" qo'shnisi yoki qarama-qarshi yo'naltirilgan"malina" burchagi.
Agar chiziqlar perpendikulyar bo'lsa, ular orasidagi burchak sifatida 4 ta burchakdan istalgan birini olish mumkin.
Burchaklar qanday farqlanadi? Orientatsiya. Birinchidan, burchakning "aylanishi" yo'nalishi juda muhimdir. Ikkinchidan, salbiy yo'naltirilgan burchak minus belgisi bilan yoziladi, masalan, agar .
Nega buni senga aytdim? Aftidan, biz odatiy burchak tushunchasi bilan erisha olamiz. Gap shundaki, biz burchaklarni topadigan formulalarda u osongina paydo bo'lishi mumkin salbiy natija, va bu sizni ajablantirmasligi kerak. Minus belgisi bo'lgan burchak bundan ham yomon emas va juda aniq geometrik ma'noga ega. Chizmada salbiy burchak uchun uning yo'nalishini o'q bilan (soat yo'nalishi bo'yicha) ko'rsatishni unutmang.
Ikki to'g'ri chiziq orasidagi burchakni qanday topish mumkin? Ikkita ishlaydigan formulalar mavjud:
10-misol
Chiziqlar orasidagi burchakni toping
Yechim Va Birinchi usul
dagi tenglamalar bilan berilgan ikkita to'g'ri chiziqni ko'rib chiqing umumiy ko'rinish:
To'g'ri bo'lsa perpendikulyar emas, Bu yo'naltirilgan Ularning orasidagi burchakni quyidagi formula yordamida hisoblash mumkin: 
Keling, maxrajga e'tibor qarataylik - bu aniq skalyar mahsulot to'g'ri chiziqlarning yo'naltiruvchi vektorlari:
Agar , u holda formulaning maxraji nolga aylanadi va vektorlar ortogonal, chiziqlar esa perpendikulyar bo'ladi. Shuning uchun formulada to'g'ri chiziqlarning perpendikulyar emasligi haqida shart qo'yilgan.
Yuqoridagilarga asoslanib, yechimni ikki bosqichda rasmiylashtirish qulay:
1) Chiziqlar yo‘nalish vektorlarining skalyar ko‘paytmasini hisoblaymiz:
, ya'ni chiziqlar perpendikulyar emas.
2) To'g'ri chiziqlar orasidagi burchakni formuladan foydalanib toping:
Teskari funktsiyadan foydalanib, burchakning o'zini topish oson. Bunday holda, biz arktangentning g'alatiligidan foydalanamiz (qarang. Elementar funksiyalarning grafiklari va xossalari):
Javob: 
Sizning javobingizda biz kalkulyator yordamida hisoblangan aniq qiymatni, shuningdek, taxminiy qiymatni (har ikkala daraja va radianda afzalroq) ko'rsatamiz.
Xo'sh, minus, minus, katta narsa yo'q. Mana geometrik tasvir: 
Burchakning salbiy yo'nalishga ega bo'lishi ajablanarli emas, chunki muammo bayonotida birinchi raqam to'g'ri chiziq bo'lib, burchakning "ochilishi" aynan shu bilan boshlangan.
Agar siz haqiqatan ham ijobiy burchakka ega bo'lishni istasangiz, siz chiziqlarni almashtirishingiz kerak, ya'ni ikkinchi tenglamadan koeffitsientlarni olishingiz kerak. 
, va birinchi tenglamadan koeffitsientlarni oling. Muxtasar qilib aytganda, siz to'g'ridan-to'g'ri boshlashingiz kerak 
.
