Działanie sił zewnętrznych na ciało stałe prowadzi do powstania naprężeń i odkształceń w punktach jego objętości. W tym przypadku stan naprężenia w danym punkcie, związek pomiędzy naprężeniami w różnych obszarach przechodzących przez ten punkt, są określone równaniami statyki i nie zależą od właściwości fizycznych materiału. Stan odkształcenia, związek pomiędzy przemieszczeniami i odkształceniami ustala się na podstawie rozważań geometrycznych lub kinematycznych i nie zależy również od właściwości materiału. Aby ustalić zależność pomiędzy naprężeniami i odkształceniami, należy wziąć pod uwagę rzeczywiste właściwości materiału i warunki obciążenia. Na podstawie danych eksperymentalnych opracowywane są modele matematyczne opisujące zależności pomiędzy naprężeniami i odkształceniami. Modele te muszą z odpowiednią dokładnością odzwierciedlać rzeczywiste właściwości materiałów i warunki obciążenia.
Najpopularniejszymi modelami materiałów konstrukcyjnych są sprężystość i plastyczność. Sprężystość to właściwość ciała polegająca na zmianie kształtu i rozmiaru pod wpływem zewnętrznych obciążeń oraz przywróceniu pierwotnej konfiguracji po usunięciu obciążenia. Matematycznie właściwość elastyczności wyraża się w ustaleniu relacji funkcjonalnej jeden do jednego pomiędzy składnikami tensora naprężenia i tensora odkształcenia. Właściwość sprężystości odzwierciedla nie tylko właściwości materiałów, ale także warunki obciążenia. W przypadku większości materiałów konstrukcyjnych właściwość sprężystości objawia się przy umiarkowanych wartościach sił zewnętrznych prowadzących do niewielkich odkształceń oraz przy małych prędkościach obciążenia, gdy straty energii na skutek działania temperatury są pomijalne. Materiał nazywa się liniowo elastycznym, jeśli składowe tensora naprężenia i tensora odkształcenia są powiązane zależnościami liniowymi.
Przy dużych obciążeniach, gdy w nadwoziu występują znaczne odkształcenia, materiał częściowo traci swoje właściwości sprężyste: po rozładowaniu jego pierwotne wymiary i kształt nie zostają całkowicie przywrócone, a po całkowitym usunięciu obciążeń zewnętrznych rejestrowane są odkształcenia szczątkowe. W tym przypadku związek pomiędzy naprężeniami i odkształceniami przestaje być jednoznaczny. Ta właściwość materialna nazywa się plastyczność. Odkształcenia szczątkowe powstałe podczas odkształcenia plastycznego nazywane są plastycznymi.
Wysoki poziom obciążenia może powodować zniszczenie, czyli podział ciała na części. Ciała stałe wykonane z różnych materiałów ulegają zniszczeniu przy różnym stopniu odkształcenia. Pęknięcie jest kruche przy małych odkształceniach i występuje z reguły bez zauważalnych odkształceń plastycznych. Takie zniszczenie jest typowe dla żeliwa, stali stopowych, betonu, szkła, ceramiki i niektórych innych materiałów konstrukcyjnych. Stale niskowęglowe, metale nieżelazne i tworzywa sztuczne charakteryzują się plastycznym typem zniszczenia w obecności znacznych odkształceń szczątkowych. Jednakże podział materiałów na kruche i plastyczne ze względu na charakter ich zniszczenia jest bardzo arbitralny i zwykle odnosi się do pewnych standardowych warunków pracy. Ten sam materiał może zachowywać się w zależności od warunków (temperatura, charakter obciążenia, technologia produkcji itp.) jako kruchy lub plastyczny. Na przykład materiały, które w normalnych temperaturach są plastyczne, w niskich temperaturach stają się kruche. Dlatego bardziej poprawne jest mówienie nie o materiałach kruchych i plastycznych, ale o kruchym lub plastycznym stanie materiału.
Niech materiał będzie liniowo elastyczny i izotropowy. Rozważmy objętość elementarną w warunkach jednoosiowego stanu naprężenia (rys. 1), tak aby tensor naprężenia miał postać
Przy takim obciążeniu wymiary zwiększają się w kierunku osi Oh, charakteryzuje się odkształceniem liniowym, które jest proporcjonalne do wielkości naprężenia
Ryc.1. Stan naprężenia jednoosiowego
Ta relacja jest zapisem matematycznym Prawo Hooke’a ustalenie proporcjonalnej zależności pomiędzy naprężeniem a odpowiadającym mu odkształceniem liniowym w jednoosiowym stanie naprężenia. Współczynnik proporcjonalności E nazywany jest podłużnym modułem sprężystości lub modułem Younga. Ma wymiar stresu.
Wraz ze wzrostem wielkości w kierunku działania; Pod tym samym naprężeniem zmniejszenie rozmiaru następuje w dwóch prostopadłych kierunkach (ryc. 1). Odpowiednie odkształcenia oznaczamy przez i , a odkształcenia te są ujemne, a dodatnie i są proporcjonalne do:
Przy jednoczesnym działaniu naprężeń wzdłuż trzech ortogonalnych osi, gdy nie występują naprężenia styczne, zasada superpozycji (superpozycji rozwiązań) obowiązuje dla materiału liniowo sprężystego:
Uwzględniając wzory (1 4) otrzymujemy
|
Naprężenia styczne powodują odkształcenia kątowe, a przy małych odkształceniach nie wpływają na zmianę wymiarów liniowych, a co za tym idzie na odkształcenia liniowe. Obowiązują zatem także w przypadku dowolnego stanu naprężenia i wyrażają tzw uogólnione prawo Hooke’a.
Odkształcenie kątowe jest spowodowane naprężeniem stycznym, a odkształcenie i odpowiednio naprężeniami i. Istnieją proporcjonalne zależności pomiędzy odpowiednimi naprężeniami stycznymi i odkształceniami kątowymi dla liniowo sprężystego ciała izotropowego
które wyrażają prawo nożyce Hooke'a. Nazywa się współczynnik proporcjonalności G moduł ścinający. Ważne jest, aby naprężenia normalne nie wpływały na odkształcenia kątowe, ponieważ w tym przypadku zmieniają się tylko wymiary liniowe segmentów, a nie kąty między nimi (ryc. 1).
Istnieje również liniowa zależność pomiędzy naprężeniem średnim (2,18), proporcjonalnym do pierwszego niezmiennika tensora naprężenia, a odkształceniem objętościowym (2,32), pokrywającym się z pierwszym niezmiennikiem tensora odkształcenia:
Ryc.2. Płaskie odkształcenie ścinające
Odpowiedni współczynnik proporcjonalności DO zwany objętościowy moduł sprężystości.
Wzory (1 7) uwzględniają właściwości sprężyste materiału MI, , G I DO, określenie jego właściwości sprężystych. Jednakże cechy te nie są niezależne. W przypadku materiału izotropowego istnieją dwie niezależne charakterystyki sprężystości, które zwykle wybiera się jako moduł sprężystości mi i współczynnik Poissona. Aby wyrazić moduł ścinania G Poprzez mi I , Rozważmy płaskie odkształcenie ścinające pod wpływem naprężeń stycznych (rys. 2). Aby uprościć obliczenia, używamy kwadratowego elementu z bokiem A. Obliczmy naprężenia główne , . Naprężenia te działają na obszary położone pod kątem do obszarów pierwotnych. Z ryc. 2 znajdziemy zależność pomiędzy odkształceniem liniowym w kierunku naprężenia i odkształceniem kątowym . Główna przekątna rombu, charakteryzująca odkształcenie, jest równa
Do małych odkształceń
Biorąc pod uwagę te relacje
Przed odkształceniem ta przekątna miała rozmiar . Wtedy będziemy mieli
Z uogólnionego prawa Hooke’a (5) otrzymujemy
Porównanie otrzymanego wzoru z zapisem prawa Hooke'a dla przesunięcia (6) daje
W rezultacie otrzymujemy
Porównując to wyrażenie z prawem objętościowym Hooke’a (7), dochodzimy do wyniku
Właściwości mechaniczne MI, , G I DO można znaleźć po przetworzeniu danych eksperymentalnych z próbek testowych pod różnymi rodzajami obciążeń. Z fizycznego punktu widzenia wszystkie te cechy nie mogą być negatywne. Ponadto z ostatniego wyrażenia wynika, że współczynnik Poissona dla materiału izotropowego nie przekracza 1/2. W ten sposób otrzymujemy następujące ograniczenia stałych sprężystości materiału izotropowego:
Wartość graniczna prowadzi do wartości granicznej , co odpowiada materiałowi nieściśliwemu (at). Podsumowując, z zależności sprężystości (5) wyrażamy naprężenie w kategoriach odkształcenia. Zapiszmy pierwszą z relacji (5) w postaci
Korzystając z równości (9) będziemy mieli
Podobne zależności można wyprowadzić dla i . W rezultacie otrzymujemy
|
Tutaj używamy zależności (8) dla modułu ścinania. Poza tym oznaczenie
ENERGIA POTENCJALNA ODKSZTAŁCENIA SPRĘŻYSTEGO
Rozważmy najpierw objętość elementarną dV=dxdydz w warunkach naprężenia jednoosiowego (rys. 1). Napraw psychicznie witrynę x=0(ryc. 3). Na przeciwną powierzchnię działa siła .
Siła ta działa na przemieszczenie .
Gdy napięcie wzrasta od poziomu zerowego do wartości
odpowiednie odkształcenie wynikające z prawa Hooke'a również wzrasta od zera do tej wartości ,
a praca jest proporcjonalna do zacieniowanej figury na ryc. 4 kwadraty: 
. Jeśli zaniedbamy energię kinetyczną i straty związane ze zjawiskami termicznymi, elektromagnetycznymi i innymi, wówczas zgodnie z zasadą zachowania energii wykonana praca zamieni się w energia potencjalna, nagromadzone podczas odkształcenia: .
Wartość Ф= dU/dV zwany konkretna energia potencjalna odkształcenia, mający znaczenie energii potencjalnej zgromadzonej w jednostkowej objętości ciała. W przypadku jednoosiowego stanu naprężenia
Czynniki siłowe i odkształcenia występujące w drewnie są ze sobą ściśle powiązane. Zależność między obciążeniem a odkształceniem została po raz pierwszy sformułowana przez Roberta Hooke'a w 1678 roku. Kiedy belka jest rozciągana lub ściskana, prawo Hooke'a wyraża bezpośrednią proporcjonalność pomiędzy naprężeniem a odkształceniem względnym , Gdzie mi podłużny moduł sprężystości materiału lub moduł Younga, który ma wymiar [MPa]:
Czynnik proporcjonalności mi charakteryzuje odporność materiału drzewnego na odkształcenia wzdłużne. Wartość modułu sprężystości wyznacza się eksperymentalnie. Wartości mi dla różnych materiałów podano w tabeli 7.1.
Do materiałów jednorodnych i izotropowych mi– const, wówczas napięcie również ma wartość stałą.
Jak pokazano wcześniej, podczas rozciągania (ściskania) z zależności wyznaczane są naprężenia normalne
i odkształcenie względne - według wzoru (7.1). Podstawiając wartości wielkości ze wzorów (7.5) i (7.1) do wyrażenia prawa Hooke'a (7.4), otrzymujemy
stąd znajdujemy wydłużenie (skrócenie) uzyskane przez drewno.
Ogrom EA , stojący w mianowniku, nazywa się sztywność przekroju w napięciu (ściskaniu). Jeżeli belka składa się z kilku odcinków, to jej całkowite odkształcenie zostanie określone jako suma algebraiczna odkształceń poszczególnych I-x sekcje:
Aby określić odkształcenie belki w każdym jej przekroju, konstruuje się wykresy odkształceń podłużnych (wykres).
Tabela 7.2 – Wartości modułów sprężystości dla różnych materiałów
Koniec pracy -
Ten temat należy do działu:
mechanika stosowana
Białoruski Państwowy Uniwersytet Transportu.. Katedra Fizyki Technicznej i Mechaniki Teoretycznej..
Jeśli potrzebujesz dodatkowych materiałów na ten temat lub nie znalazłeś tego czego szukałeś, polecamy skorzystać z wyszukiwarki w naszej bazie dzieł:
Co zrobimy z otrzymanym materiałem:
Jeśli ten materiał był dla Ciebie przydatny, możesz zapisać go na swojej stronie w sieciach społecznościowych:
| Ćwierkać |
Prawo Hooke’a zwykle nazywane zależnościami liniowymi pomiędzy składnikami odkształcenia i składnikami naprężenia.
Weźmy elementarny prostopadłościan prostokątny o ścianach równoległych do osi współrzędnych, obciążony naprężeniami normalnymi σx, równomiernie rozłożone na dwóch przeciwległych ścianach (ryc. 1). W której σy = σ z = τ x y = τx z = τ yz = 0.
Do granicy proporcjonalności wydłużenie względne podaje wzór
Gdzie mi— moduł sprężystości przy rozciąganiu. Do stali mi = 2*10 5 MPa dlatego odkształcenia są bardzo małe i mierzone są w procentach lub 1 * 10 5 (w urządzeniach tensometrycznych mierzących odkształcenia).
Wydłużanie elementu w kierunku osi X towarzyszy jej zwężenie w kierunku poprzecznym, określone przez składowe odkształcenia
Gdzie μ - stała zwana stopniem sprężania bocznego lub współczynnikiem Poissona. Do stali μ zwykle przyjmuje się, że wynosi 0,25-0,3.
Jeżeli dany element jest obciążony jednocześnie naprężeniami normalnymi σx, σy, σ z, równomiernie rozłożone wzdłuż jego ścian, następnie dodawane są odkształcenia
Nakładając składowe odkształcenia wywołane każdym z trzech naprężeń, otrzymujemy zależności
Zależności te potwierdzają liczne eksperymenty. Stosowany metoda nakładkowa Lub superpozycje znalezienie całkowitych odkształceń i naprężeń wywołanych przez kilka sił jest uzasadnione, o ile odkształcenia i naprężenia są małe i liniowo zależne od przyłożonych sił. W takich przypadkach pomijamy niewielkie zmiany wymiarów zdeformowanego ciała oraz niewielkie przemieszczenia punktów przyłożenia sił zewnętrznych i opieramy swoje obliczenia na początkowych wymiarach i początkowym kształcie ciała.
Należy zaznaczyć, że niewielka wielkość przemieszczeń nie musi oznaczać, że zależności pomiędzy siłami a odkształceniami mają charakter liniowy. A więc na przykład w sile skompresowanej Q pręt obciążony dodatkowo siłą ścinającą R nawet przy niewielkim ugięciu δ pojawia się dodatkowy punkt M = Qδ, co czyni problem nieliniowym. W takich przypadkach całkowite ugięcia nie są liniowymi funkcjami sił i nie można ich uzyskać poprzez prostą superpozycję.
Ustalono eksperymentalnie, że jeśli naprężenia ścinające działają wzdłuż wszystkich powierzchni elementu, to odkształcenie odpowiedniego kąta zależy tylko od odpowiednich składowych naprężenia ścinającego.
Stały G nazywany modułem sprężystości przy ścinaniu lub modułem sprężystości przy ścinaniu.
Ogólny przypadek odkształcenia elementu pod wpływem działania na niego trzech normalnych i trzech stycznych składowych naprężenia można uzyskać za pomocą superpozycji: trzy odkształcenia od ścinania, określone zależnościami (5.2b), nakładają się na trzy odkształcenia liniowe określone wyrażeniami ( 5.2a). Równania (5.2a) i (5.2b) określają zależność pomiędzy składowymi odkształceń i naprężeń i nazywane są uogólnione prawo Hooke’a. Pokażemy teraz, że moduł ścinania G wyrażony jako moduł sprężystości przy rozciąganiu mi i współczynnik Poissona μ . Aby to zrobić, rozważ szczególny przypadek, kiedy σx = σ , σy = -σ I σ z = 0.
Wytnijmy element abcd płaszczyzny równoległe do osi z i nachylony pod kątem 45° do osi X I Na(ryc. 3). Jak wynika z warunków równowagi elementu 0 bс, normalny stres σ w na wszystkich stronach elementu abcd są równe zeru, a naprężenia ścinające są równe
Ten stan napięcia nazywa się czyste ścinanie. Z równań (5.2a) wynika, że
oznacza to, że przedłużenie elementu poziomego wynosi 0 C równe skróceniu elementu pionowego 0 B: εy = -εx.
Kąt między twarzami ok I pne zmian oraz odpowiednią wartość odkształcenia ścinającego γ można znaleźć w trójkącie 0 bс:
Wynika, że
Rozciąganie (kompresja) pręt powstaje w wyniku działania sił zewnętrznych skierowanych wzdłuż jego osi. Rozciąganie (ściskanie) charakteryzuje się: - wydłużeniem bezwzględnym (skróceniem) Δ l;
względne odkształcenie wzdłużne ε= Δ l/l
względne odkształcenie poprzeczne ε`= Δ A/ A= Δ B/ B
Z odkształceniami sprężystymi pomiędzy σ oraz ε istnieje zależność opisana prawem Hooke’a, ε=σ/E, gdzie E jest modułem sprężystości pierwszego rodzaju (modułem Younga), Pa. Fizyczne znaczenie modułu Younga: Moduł sprężystości jest liczbowo równy naprężeniu, przy którym bezwzględne wydłużenie pręta jest równe jego pierwotnej długości, tj. E= σ z ε=1.
14. Właściwości mechaniczne materiałów konstrukcyjnych. Schemat napięcia.
Właściwości mechaniczne materiałów obejmują wskaźniki siły wytrzymałość na rozciąganie σ in, granica plastyczności σ t i granica wytrzymałości σ -1; charakterystyka sztywności moduł sprężystości E i moduł ścinania G; charakterystyka odporności na naprężenia kontaktowe twardość powierzchni NV, HRC; wskaźniki elastyczności wydłużenie względne δ i względne skurczenie poprzeczne φ; siła uderzenia A.
Graficzne przedstawienie zależności pomiędzy siłą działającą F a wydłużeniem Δl zwany schemat rozciągania(kompresja) próbka Δl= F(F).
X 
punkty charakterystyczne i odcinki diagramu: 0-1
odcinek liniowej zależności pomiędzy naprężeniem normalnym a wydłużeniem względnym, który odzwierciedla prawo Hooke’a. Kropka
1
odpowiada granicy proporcjonalności σ pc =F pc /A 0, gdzie F pc jest obciążeniem odpowiadającym granicy proporcjonalności. Kropka
1`
odpowiada granicy sprężystości σ y, tj. najwyższe naprężenie, przy którym nadal nie występują odkształcenia szczątkowe w materiale. W punkt 2 diagramie materiał wchodzi w obszar plastyczności – zachodzi zjawisko płynności materiału . Sekcja 2-3 równolegle do osi x (obszar plastyczności). NA sekcja 3-4 obserwuje się wzmocnienie materiału. W punkt 4 następuje lokalne zwężenie próbki. Stosunek σ w =F w /A 0 nazywany jest wytrzymałością na rozciąganie. W punkt 5 próbka pęka pod niszczącym obciążeniem o wielkości F.
15. Naprężenia dopuszczalne. Obliczenia na podstawie naprężeń dopuszczalnych.
Nazywa się naprężenia, przy których próbka danego materiału ulega zniszczeniu lub przy których powstają znaczne odkształcenia plastyczne skrajny. Naprężenia te zależą od właściwości materiału i rodzaju odkształcenia. Nazywa się napięcie, którego wartość reguluje specyfikacja techniczna do przyjęcia. Dopuszczalne naprężenia ustala się, biorąc pod uwagę materiał konstrukcji i zmienność jej właściwości mechanicznych podczas pracy, stopień odpowiedzialności konstrukcji, dokładność obciążeń, żywotność konstrukcji, dokładność obliczeń statycznych i siła dynamiczna.
Dla tworzyw sztucznych naprężenia dopuszczalne [σ] dobiera się tak, aby w przypadku jakichkolwiek niedokładności obliczeń lub nieprzewidzianych warunków pracy nie doszło do odkształceń szczątkowych materiału, tj. [σ] = σ 0,2 /[n] t, gdzie [n] t jest współczynnikiem bezpieczeństwa w odniesieniu do σ t.
W przypadku materiałów kruchych dopuszczalne naprężenia przypisuje się na podstawie warunku, że materiał nie zapada się. W tym przypadku [σ] = σ in /[n] in. Zatem współczynnik bezpieczeństwa [n] ma złożoną strukturę i ma za zadanie zagwarantować wytrzymałość konstrukcji na wypadek wszelkich wypadków i niedokładności, które pojawią się podczas projektowania i eksploatacji konstrukcji.
Konstrukcja hamowni – urządzeń do wyznaczania sił – opiera się na fakcie, że odkształcenie sprężyste jest wprost proporcjonalne do siły wywołującej to odkształcenie. Przykładem tego jest dobrze znana stal sprężynowa.
Związek pomiędzy odkształceniami sprężystymi a siłami wewnętrznymi w materiale po raz pierwszy ustalił angielski naukowiec R. Hooke. Obecnie prawo Hooke'a jest sformułowane w następujący sposób: naprężenie mechaniczne w ciele odkształconym sprężyście jest wprost proporcjonalne do względnego odkształcenia tego ciała
Wartość charakteryzującą zależność naprężeń mechanicznych w materiale od jego rodzaju i warunków zewnętrznych nazywa się modułem sprężystości. Moduł sprężystości mierzy się naprężeniem mechanicznym, które musi powstać w materiale, gdy względne odkształcenie sprężyste jest równe jedności.
Należy zauważyć, że względne odkształcenie sprężyste jest zwykle wyrażane liczbą znacznie mniejszą niż jedność. Z rzadkimi wyjątkami prawie niemożliwe jest uzyskanie wartości równej jeden, ponieważ materiał ulega zniszczeniu na długo przed tym. Jednakże moduł sprężystości można wyznaczyć z doświadczenia jako stosunek i przy małej wartości, ponieważ we wzorze (11.5) jest to wartość stała.
Jednostką modułu sprężystości w SI jest 1 Pa. (Udowodnij to.)
Rozważmy jako przykład zastosowanie prawa Hooke'a do deformacji jednostronnego rozciągania lub ściskania. Wzór (11.5) dla tego przypadku przyjmuje postać
gdzie E oznacza moduł sprężystości dla tego typu odkształcenia; nazywa się to modułem Younga. Moduł Younga jest miarą naprężenia normalnego, jakie musi wystąpić w materiale
przy odkształceniu względnym równym jedności, czyli przy dwukrotnym zwiększeniu długości próbki, na podstawie doświadczeń przeprowadzonych w granicach odkształcenia sprężystego wyznacza się wartość liczbową modułu Younga, a w obliczeniach czerpie się z tabel.
Ponieważ z (11.6) otrzymujemy
Zatem bezwzględne odkształcenie podczas rozciągania lub ściskania wzdłużnego jest wprost proporcjonalne do siły i długości ciała działającej na ciało, odwrotnie proporcjonalne do pola przekroju poprzecznego ciała i zależy od rodzaju substancji.
Największe naprężenie w materiale, po zaniku którego przywracany jest kształt i objętość ciała, nazywa się granicą sprężystości. Wzory (11.5) i (11.7) obowiązują do momentu przekroczenia granicy sprężystości. Po osiągnięciu granicy sprężystości w ciele zachodzą odkształcenia plastyczne. W takim przypadku może nadejść moment, gdy pod tym samym obciążeniem odkształcenie zacznie rosnąć, a materiał się zapadnie. Obciążenie, przy którym w materiale występuje największe możliwe naprężenie mechaniczne, nazywa się niszczącym.
Budując maszyny i konstrukcje, zawsze tworzony jest margines bezpieczeństwa. Współczynnik bezpieczeństwa to wartość, która pokazuje, ile razy rzeczywiste obciążenie maksymalne w najbardziej obciążonym miejscu konstrukcji jest mniejsze od obciążenia niszczącego.
