Tworzenie wyrażenia za pomocą nawiasów
1. Utwórz wyrażenia w nawiasach z poniższych zdań i rozwiąż je.
Od liczby 16 odejmij sumę liczb 8 i 6.
Od liczby 34 odejmij sumę liczb 5 i 8.
Odejmij sumę liczb 13 i 5 od liczby 39.
Różnica między liczbami 16 i 3 dodaje się do liczby 36
Dodaj różnicę między 48 a 28 do 16.
2. Rozwiąż zadania, układając najpierw poprawne wyrażenia, a następnie rozwiązując je po kolei:
2.1. Tata przywiózł z lasu worek orzechów. Kola wyjął z torby 25 orzechów i zjadł je. Następnie Masza wyjęła z torby 18 orzechów. Mama również wyjęła z torby 15 orzechów, ale odłożyła 7 z powrotem. Ile orzechów zostało ostatecznie w worku, jeśli na początku było ich 78?
2.2. Majster naprawiał części. Na początku dnia pracy było ich 38. W pierwszej połowie dnia udało mu się naprawić 23 z nich. Po południu przynieśli mu tyle samo, co na samym początku dnia. W drugiej połowie naprawił kolejnych 35 części. Ile części mu zostało do naprawy?
3. Rozwiąż poprawnie przykłady, zachowując kolejność działań:
45: 5 + 12 * 2 -21:3
56 - 72: 9 + 48: 6 * 3
7 + 5 * 4 - 12: 4
18: 3 - 5 + 6 * 8
Rozwiązywanie wyrażeń za pomocą nawiasów
1. Rozwiąż przykłady, prawidłowo otwierając nawiasy:
1 + (4 + 8) = | 8 - (2 + 4) = | 3 + (6 - 5) = | 59 + 25 = |
82 + 14 = | 29 + 52 = | 18 + 47 = | 39 + 53 = |
37 + 53 = | 25 + 63 = | 87 + 17 = | 19 + 52 = |
2. Rozwiąż poprawnie przykłady, zachowując kolejność działań:
2.1. 36: 3 + 12 * (2 - 1) : 3
2.2. 39 - (81: 9 + 48: 6) * 2
2.3. (7 + 5) * 2 - 48: 4
2.4. 18: 3 + (5 * 6) : 2 - 4
3. Rozwiąż zadania, układając najpierw poprawne wyrażenia, a następnie rozwiązując je po kolei:
3.1. W magazynie znajdowało się 25 opakowań proszku do prania. Do jednego sklepu trafiło 12 paczek. Następnie tę samą kwotę przewieziono do drugiego sklepu. Następnie do magazynu przywieziono 3 razy więcej paczek niż wcześniej. Ile opakowań proszku znajduje się w magazynie?
3.2. W hotelu przebywało 75 turystów. Pierwszego dnia hotel opuściły 3 grupy po 12 osób, a przybyły 2 grupy po 15 osób. Drugiego dnia wyjechały kolejne 34 osoby. Ilu turystów pozostało w hotelu po 2 dniach?
3.3. Do pralni chemicznej przynieśli 2 torby ubrań, po 5 sztuk w każdej torbie. Następnie wzięli 8 rzeczy. Po południu przywieźli 18 kolejnych rzeczy do prania. I zabrali tylko 5 umytych przedmiotów. Ile rzeczy znajduje się w pralni chemicznej na koniec dnia, jeśli na początku dnia było 14 rzeczy?
FI ________________________________________________
21: 3 * 6 - (18 + 14) : 8 = | 63: (81: 9) + (8 * 7 - 2) : 6 = | 64:2: 4+ 9*7-9*1= |
37 *2 + 180: 9 – 36: 12 = | 52 * 10 – 60: 15 * 1 = | 72: 4 +58:2= |
5 *0: 25 + (72: 1 – 0) : 9 = | 21: (3 * 7) – (7* 0 + 1)*1 = | 6:6+0:8-8:8= |
91: 7 + 80: 5 – 5: 5 = | 64:4 - 3*5 +80:2= | (19*5 – 5) : 30 = |
19 + 17 * 3 – 46 = | (39+29) : 4 + 8*0= | (60-5) : 5 +80: 5= |
54 – 26 + 38: 2 = | 63: (7*3) *3= | (160-70) : 18 *1= |
200 – 80: 5 + 3 * 4 = | (29+25): (72:8)= | 72:25 + 3* 17= |
80: 16 + 660: 6 = | 3 * 290 – 800= | 950:50*1-0= |
(48: 3) : 16 * 0 = | 90-6*6+29= | 5* (48-43) +15:5*7= |
54: 9 *8 - 14: 7 * 4 = | 63: 7*4+70:7 * 5= | 24: 6*7 - 7*0= |
21: 7 * 8 + 32: 8 * 4 = | 27: 3* 5 + 26-18 *4= | 54: 6*7 - 0:1= |
45: 9 * 6 + 7 * 5 – 26 = | 28: 7 *9 + 6 * (54 – 47)= | 6*(9: 3) - 40:5 = |
21 * 1 - 56: 7 – 8 = | 9 * (64: 8) - 18:18 | 3 *(14: 2) - 63:9= |
4 * 8 + 42: 6 *5 = | 0*4+0:5 +8* (48: 8)= | 56:7 +7*6 - 5*1= |
31 * 3 - 17 – 80: 16 * 1 = | 57:19 *32 - 11 *7= | 72-96:8 +60:15 *13= |
36 + 42: 3 + 23 + 27 *0 = | 56:14 *19 - 72:18= | (86-78:13)* 4= |
650 – 50 * 4 + 900: 100 = | 630: 9 + 120 * 5 + 40= | 980 – (160 + 20) : 30= |
940 - (1680 – 1600) * 9 = | 29* 2+26 – 37:2= | 72:3 +280: (14*5)= |
300: (5 *60) * (78: 13) = | 63+ 100: 4 – 8*0= | 84:7+70:14 – 6:6= |
45: 15 – 180: 90 + 84: 7 = | 32+51 + 48:6 * 5= | 54:6 ?2 – 70:14= |
38: 2 – 48: 3 + 0 * 9 = | 30:6 * 8 – 6+3*2= | (95:19) *(68:2)= |
(300 - 8 * 7) * 10 = | 1:1 - 0*0 + 1*0 - 1*1= | (80: 4 – 60:30) *5 = |
2 * (120: 6 – 80: 20) = | 56:4+96:3- 0*7= | 20+ 20: 4 - 1*5= |
(18 + 14) : 8 – (7 *0 + 1) *1 = | (8*7-2):6 +63: (7*3)= | (50-5) : 5+21: (3*7)= |
19 + 17 * 3 – 60: 15 * 1 = | 80: 5 +3*5 +80:2= | 54: 9 *8-64:4 +16*0= |
72 * 10 - 64: 2: 4 = | 84 – 36 + 38:2 | 91:13+80:5 – 5:5 |
300 – 80: 5 + 6 * 4 = | 950:190 *1+14: 7*4= | (39+29) : 17 + 8*0= |
(120 - 30) : 18 * 1- 72: 25 = | 210:30*60-0:1= | 90-6*7+3* 17= |
240: 60 *7 – 7 * 0 = | 60:60+0:80-80:80= | 720: 40 +580:20= |
9 *7 – 9 *1 + 5 * 0: 25 = | 21: 7 * 6 +32: 4 *5= | 80:16 +66:6 -63:(81:9)= |
(19 * 5 – 5) : 30 + 70: 7 = | 15:5*7 + 63: 7 * 5= | 54: 6 * 7 - (72:1-0):9= |
3 *290 – 600 – 5 * (48 – 43) = | (300-89*7)*10 - 3?2= | (80: 4) +30*2+ 180: 9= |
30: 6 * 8 – 6 + 48: 3 + 0 *9 = | (95:19) *(68:34) - 60:30*5= | 27: 3*5 - 48:3= |
3* 290 – 800 + 950: 50 = | 80:16 +660:6*1-0= | 90-6*6+ 15:5*7= |
5*(48 - 43) + (48: 3) :16*0= | 280: (14*5) +630: 9*0= | 300: (50*6)* (78: 6)= |
Jeżeli w przykładach występuje znak zapytania (?), należy go zastąpić znakiem * - mnożenie.
1. ROZWIĄŻ WYRAŻENIA:
35: 5 + 36: 4 - 3
26 + 6 x 8 – 45:5 24: 6 + 18 – 2 x 6
9 x 6 – 3 x 6 + 19 – 27:3
2. ROZWIĄŻ WYRAŻENIA:
48: 8 + 32 – 54: 6 + 7 x 4
17 + 24: 3 x 4 – 27: 3 x 2 6 x 4: 3 + 54: 6: 3 x 6 + 2 x 9
100 – 6 x 2: 3 x 9 – 39 + 7 x 4
3. ROZWIĄŻ WYRAŻENIA:
100 – 27: 3 x 6 + 7 x 4
2 x 4 + 24: 3 + 18: 6 x 9 9 x 3 – 19 + 6 x 7 – 3 x 5
7 x 4 + 35: 7 x 5 – 16: 2: 4 x 3
4. ROZWIĄŻ WYRAŻENIA:
32: 8 x 6: 3 + 6 x 8 – 17
5 x 8 – 4 x 7 + 13 - 11 24: 6 + 18: 2 + 20 – 12 + 6 x 7
21:3 – 35:7 + 9x3 + 9x5
5. ROZWIĄŻ WYRAŻENIA:
42: 7 x 3 + 2 + 24: 3 – 7 + 9 x 3
6 x 6 + 30: 5: 2 x 7 - 19 90 - 7 x 5 – 24: 3 x 5
6 x 5 – 12: 2 x 3 + 49
6. ROZWIĄŻ WYRAŻENIA:
32: 8 x 7 + 54: 6: 3 x 5
50 – 45: 5 x 3 + 16: 2 x 5 8 x 6 + 23 – 24: 4 x 3 + 17
48: 6 x 4 + 6 x 9 – 26 + 13
7. ROZWIĄŻ WYRAŻENIA:
42: 6 + (19 + 6): 5 – 6 x 2
60 – (13 + 22): 5 – 6 x 4 + 25 (27 – 19) x 4 + 18: 3 + (8 + 27): 5 -17
(82 – 74): 2 x 7 + 7 x 4 - (63 – 27): 4
8. ROZWIĄŻ WYRAŻENIA:
90 – (40 – 24:3): 4 x 6 + 3 x 5
3 x 4 + 9 x 6 – (27 + 9): 4 x 5
(50 – 23): 3 + 8 x 5 – 6 x 5 + (26 + 16): 6
(5 x 6 – 3 x 4 + 48:6) + (82 – 78) x 7 – 13
54: 9 + (8 + 19) : 3 – 32: 4 – 21: 7 + (42 – 14) : 4 – (44 14) : 5
9. ROZWIĄŻ WYRAŻENIA:
9 x 6 – 6 x 4: (33 – 25) x 7
3 x (12 – 8): 2 + 6 x 9 - 33 (5 x 9 - 25): 4 x 8 – 4 x 7 + 13
9 x (2 x 3) – 48: 8 x 3 + 7 x 6 - 34
10. ROZWIĄŻ WYRAŻENIA:
(8 x 6 – 36:6): 6 x 3 + 5 x 9
7 x 6 + 9 x 4 – (2 x 7 + 54: 6 x 5) (76 – (27 + 9) + 8): 6 x 4
(7 x 4 + 33) – 3 x 6:2
11. ROZWIĄŻ WYRAŻENIA:
(37 + 7 x 4 – 17): 6 + 7 x 5 + 33 + 9 x 3 – (85 – 67): 2 x 5
5 x 7 + (18 + 14): 4 – (26 – 8): 3 x 2 – 28: 4 + 27: 3 – (17 + 31): 6
12. ROZWIĄŻ WYRAŻENIA:
(58 – 31): 3 – 2 + (58 – 16): 6 + 8 x 5 – (60 – 42): 3 + 9 x 2
(9 x 7 + 56: 7) – (2 x 6 – 4) x 3 + 54: 9
13. ROZWIĄŻ WYRAŻENIA:
(8 x 5 + 28:7) + 12:2 – 6 x 5 + (13 – 5) x 4 + 5 x 4
(7 x 8 – 14:7) + (7 x 4 + 12:6) – 10:5 + 63:9
Test „Kolejność działań arytmetycznych” (1 opcja)
1(1b)
2(1b)
3(1b)
4(3b)
5(2b)
6(2b)
7(1b)
8(1b)
9(3b)
10(3b)
11(3b)
12(3b)
110 – (60 +40): 10 x 8
a) 800 b) 8 c) 30
a) 3 4 6 5 2 1 4 5 6 3 2 1
3 4 6 5 1 2
5. W którym z wyrażeń występuje mnożenie ostatniej akcji?
a) 1001:13 x (318 +466):22
c) 10000 – (5 x 9+56 x 7) x2
6. W którym z wyrażeń następuje odejmowanie akcji w pierwszej kolejności?
a) 2025:5 – (524 – 24:6) x45
b) 5870 + (90-50 +30) x8 -90
c) 5400:60 x (3600:90 -90)x5
Wybierz poprawną odpowiedź:
9. 90 – (50- 40:5) x 2+ 30
a) 56 b) 92 c) 36
10. 100- (2x5+6 - 4x4)x2
a) 100 b) 200 c) 60
11. (10000+10000:100 +400) : 100 +100
a) 106 b) 205 c) 0
12. 150: (80 – 60:2) x 3
a) 9 b) 45 c) 1
Test „Kolejność działań arytmetycznych”
1(1b)
2(1b)
3(1b)
4(3b)
5(2b)
6(2b)
7(1b)
8(1b)
9(3b)
10(3b)
11(3b)
12(3b)
1. Którą czynność w wyrażeniu wykonasz jako pierwszą?
560 – (80+20): 10x7
a) dodawanie b) dzielenie c) odejmowanie
2. Jakie działanie w tym samym wyrażeniu wykonasz jako drugie?
a) odejmowanie b) dzielenie c) mnożenie
3. Wybierz poprawną odpowiedź na to wyrażenie:
a) 800 b) 490 c) 30
4. Wybierz właściwy układ działań:
a) 3 4 6 5 2 1 4 5 6 3 2 1
320: 8 x 7 + 9 x (240 – 60:15) c) 320: 8 x 7 + 9x (240 – 60:15)
3 4 6 5 2 1
b) 320: 8 x 7 + 9 x (240 – 60:15)
5. W którym z wyrażeń występuje ostatni podział akcji?
a) 1001:13 x (318 +466):22
b) 391x37:17x (2248:8 – 162)
c) 10000 – (5 x 9+56 x 7) x2
6. W którym z wyrażeń występuje pierwsze dodanie akcji?
a) 2025:5 – (524 + 24 x6) x45
b) 5870 + (90-50 +30) x8 -90
c) 5400:60 x (3600:90 -90)x5
7. Wybierz prawidłowe stwierdzenie: „W wyrażeniu bez nawiasów wykonywane są czynności:”
a) w kolejności b) x i: , następnie + i - c) + i -, następnie x i:
8. Wybierz prawidłowe stwierdzenie: „W wyrażeniu w nawiasach wykonywane są czynności:”
a) najpierw w nawiasach b)x i:, następnie + i - c) w kolejności pisemnej
Wybierz poprawną odpowiedź:
9. 120 – (50- 10:2) x 2+ 30
a) 56 b) 0 c) 60
10. 600- (2x5+8 - 4x4)x2
a) 596 b) 1192 c) 60
11. (20+20000:2000 +30) : 20 +200
a) 106 b) 203 c) 0
12. 160: (80 – 80:2) x 3
a) 120 b) 0 c) 1
A dzielenie liczb następuje poprzez działania drugiego etapu.
Kolejność działań przy znajdowaniu wartości wyrażeń określają następujące zasady:
1. Jeżeli w wyrażeniu nie ma nawiasów i zawiera ono czynności tylko jednego etapu, to wykonywane są one w kolejności od lewej do prawej.
2. Jeżeli wyrażenie zawiera działania pierwszego i drugiego etapu i nie ma w nim nawiasów, wówczas najpierw wykonywane są działania drugiego etapu, a następnie działania pierwszego etapu.
3. Jeżeli w wyrażeniu znajdują się nawiasy, to najpierw wykonaj czynności w nawiasach (uwzględniając zasady 1 i 2).
Przykład 1. Znajdźmy wartość wyrażenia
a) x + 20 = 37;
b) y + 37 = 20;
c) a - 37 = 20;
d) 20 - m = 37;
e) 37 - s = 20;
e) 20 + k = 0.
636. Jakie liczby naturalne, odbierając, można otrzymać 12? Ile par takich liczb? Odpowiedz na te same pytania dotyczące mnożenia i dzielenia.
637. Podano trzy liczby: pierwsza to liczba trzycyfrowa, druga to iloraz liczby sześciocyfrowej podzielonej przez dziesięć, a trzecia to 5921. Czy można wskazać największą i najmniejszą z tych liczb?
638. Uprość wyrażenie:
a) 2a + 612 + 1a + 324;
b) 12у + 29у + 781 + 219;
639. Rozwiąż równanie:
a) 8x - 7x + 10 = 12;
b) 13 lat + 15 lat - 24 = 60;
c) Z - 2z + 15 = 32;
d) 6t + 5t - 33 = 0;
e) (x + 59): 42 = 86;
e) 528: k - 24 = 64;
g) p: 38 - 76 = 38;
h) 43m- 215 = 473;
i) 89n + 68 = 9057;
j) 5905 - 21 v = 316;
k) 34s - 68 = 68;
m) 54b - 28 = 26.
640. Gospodarstwo hodowlane zapewnia przyrost masy ciała o 750 g na zwierzę dziennie. Jaki zysk uzyskuje kompleks w ciągu 30 dni dla 800 zwierząt?
641. W dwóch dużych i pięciu małych puszkach znajduje się 130 litrów mleka. Ile mleka zmieści się w małej puszce, jeśli jej pojemność jest czterokrotnie mniejsza niż pojemność większej?
642. Pies zauważył swojego właściciela w odległości 450 m od niego i pobiegł w jego stronę z prędkością 15 m/s. Jaka będzie odległość właściciela od psa w ciągu 4 s; po 10 s; w t?
643. Rozwiąż zadanie korzystając z równania:
1) Michaił ma 2 razy więcej orzechów niż Mikołaj, a Petya 3 razy więcej niż Mikołaj. Ile orzechów ma każda osoba, jeśli każdy ma 72 orzechy?
2) Trzy dziewczyny zebrały na brzegu 35 muszli. Galia znalazła 4 razy więcej niż Masza, a Lena 2 razy więcej niż Masza. Ile muszli znalazła każda dziewczyna?
644. Napisz program obliczający wyrażenie
8217 + 2138 (6906 - 6841) : 5 - 7064.
Zapisz ten program w formie diagramu. Znajdź znaczenie wyrażenia.
645. Napisz wyrażenie, korzystając z następującego programu obliczeniowego:
1. Pomnóż 271 przez 49.
2. Podziel 1001 przez 13.
3. Pomnóż wynik polecenia 2 przez 24.
4. Dodaj wyniki poleceń 1 i 3.
Znajdź znaczenie tego wyrażenia.
646. Zapisz wyrażenie zgodnie ze schematem (ryc. 60). Napisz program, który go obliczy i znajdzie jego wartość.
647. Rozwiąż równanie:
a) Zx + bx + 96 = 1568;
b) 357z – 1492 – 1843 – 11 469;
c) 2 lata + 7 lat + 78 = 1581;
d) 256 m – 147 m – 1871 – 63 747;
e) 88 880: 110 + x = 809;
f) 6871 + p: 121 = 7000;
g) 3810 + 1206: y = 3877;
h) k + 12 705: 121 = 105.
648. Znajdź iloraz:
a) 1989680:187; c) 9 018 009:1001;
b) 572 163: 709; d) 533 368 000: 83 600.
649. Statek motorowy płynął po jeziorze przez 3 godziny z prędkością 23 km/h, a następnie po rzece przez 4 godziny. Ile kilometrów przepłynął statek w ciągu tych 7 godzin, jeśli płynął po rzece 3 km/h szybciej niż po jeziorze?
650. Teraz odległość między psem a kotem wynosi 30 m. Po ilu sekundach pies dogoni kota, jeśli prędkość psa wynosi 10 m/s, a kota 7 m/s?
651. Znajdź w tabeli (ryc. 61) wszystkie liczby w kolejności od 2 do 50. Warto wykonać to ćwiczenie kilka razy; Możesz konkurować z przyjacielem: kto szybciej znajdzie wszystkie liczby?
N.Ya. VILENKIN, V. I. ZHOKHOV, A. S. CHESNOKOV, S. I. SHVARTSBURD, Matematyka klasa 5, Podręcznik dla instytucji kształcenia ogólnego
Scenariusze lekcji matematyki dla klasy 5 do pobrania, podręczniki i książki za darmo, opracowanie lekcji matematyki online
Treść lekcji notatki z lekcji ramka wspomagająca prezentację lekcji metody przyspieszania technologie interaktywne Ćwiczyć zadania i ćwiczenia autotest warsztaty, szkolenia, case'y, zadania prace domowe dyskusja pytania retoryczne pytania uczniów Ilustracje pliki audio, wideo i multimedia fotografie, obrazy, grafiki, tabele, diagramy, humor, anegdoty, dowcipy, komiksy, przypowieści, powiedzenia, krzyżówki, cytaty Dodatki streszczenia artykuły sztuczki dla ciekawskich szopki podręczniki podstawowy i dodatkowy słownik terminów inne Udoskonalanie podręczników i lekcjipoprawianie błędów w podręczniku aktualizacja fragmentu podręcznika, elementy innowacji na lekcji, wymiana przestarzałej wiedzy na nową Tylko dla nauczycieli doskonałe lekcje plan kalendarza na rok, zalecenia metodyczne, program dyskusji Zintegrowane Lekcje- 1+2*3/4-5=?
- 1*3/(2+4)?
- 1+2*(3-1*5)=?
- Jeśli w przykładzie nie ma nawiasów i są operacje - tylko dodawanie i odejmowanie lub tylko mnożenie i dzielenie - w tym przypadku wszystkie czynności są wykonywane w kolejności od lewej do prawej.
- Jeśli przykład zawiera operacje mieszane - dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie, to najpierw wykonujemy operacje mnożenia i dzielenia, a następnie tylko dodawanie lub odejmowanie.
- Jeśli przykład zawiera nawiasy, w pierwszej kolejności wykonywane są akcje w nawiasach.
Jeśli porównujemy funkcje dodawania i odejmowania z mnożeniem i dzieleniem, to mnożenie i dzielenie zawsze są obliczane w pierwszej kolejności.
W tym przykładzie dwie funkcje, takie jak dodawanie i odejmowanie oraz mnożenie i dzielenie, są sobie równoważne. Kolejność wykonania ustala się w kolejności od lewej do prawej.
Należy pamiętać, że w przykładzie działania podane w nawiasach mają szczególny priorytet. Zatem nawet jeśli poza nawiasami jest mnożenie, a w nawiasie dodawanie, należy najpierw dodać, a potem pomnożyć.
Aby zrozumieć ten temat, możesz rozważyć wszystkie przypadki jeden po drugim.
Weźmy od razu pod uwagę, że nasze wyrażenia nie mają nawiasów.
Jeśli więc w przykładzie pierwszą akcją jest mnożenie, a drugą dzielenie, to najpierw wykonujemy mnożenie.
Jeśli w przykładzie pierwszą czynnością jest dzielenie, a drugą mnożenie, to najpierw wykonujemy dzielenie.
W takich przykładach akcje są wykonywane w kolejności od lewej do prawej, niezależnie od użytych liczb.
Jeśli w przykładach oprócz mnożenia i dzielenia występuje dodawanie i odejmowanie, wówczas najpierw wykonywane jest mnożenie i dzielenie, a następnie dodawanie i odejmowanie.
W przypadku dodawania i odejmowania również nie ma znaczenia, która z tych czynności zostanie wykonana jako pierwsza, kolejność obowiązuje od lewej do prawej.
Rozważmy różne opcje:
W tym przykładzie pierwszą czynnością, którą należy wykonać, jest mnożenie, a następnie dodawanie.
W takim przypadku najpierw mnożysz wartości, następnie dzielisz, a dopiero potem dodajesz.
W takim przypadku musisz najpierw wykonać wszystkie operacje w nawiasach, a następnie wykonać tylko mnożenie i dzielenie.
I tak trzeba pamiętać, że w każdym wzorze najpierw wykonywane są operacje takie jak mnożenie i dzielenie, a dopiero potem tylko odejmowanie i dodawanie.
Ponadto w przypadku liczb znajdujących się w nawiasach należy je policzyć w nawiasach, a dopiero potem wykonać różne manipulacje, pamiętając o sekwencji opisanej powyżej.
Pierwszymi operacjami będą: mnożenie i dzielenie.
Dopiero wtedy następuje dodawanie i odejmowanie.
Jeśli jednak znajduje się nawias, wówczas akcje w nim zawarte zostaną wykonane jako pierwsze. Nawet jeśli jest to dodawanie i odejmowanie.
Na przykład:
W tym przykładzie najpierw pomnożymy, potem 4 przez 5, a następnie dodamy 4 do 20. Otrzymamy 24.
Ale jeśli jest tak: (4+5)*4, to najpierw wykonujemy dodawanie, otrzymujemy 9. Następnie mnożymy 9 przez 4. Otrzymujemy 36.
Jeśli przykład zawiera wszystkie 4 operacje, najpierw następuje mnożenie i dzielenie, a następnie dodawanie i odejmowanie.
Lub w przykładzie 3 różnych działań, pierwszą będzie albo mnożenie (lub dzielenie), a następnie albo dodawanie (lub odejmowanie).
Gdy NIE MA NAWIASÓW.
Przykład: 4-2*5:10+8=11,
1 akcja 2*5 (10);
Akt 2 10:10 (1);
3 akcja 4-1 (3);
4 działanie 3+8 (11).
Wszystkie 4 operacje można podzielić na dwie główne grupy, w jednej - dodawanie i odejmowanie, w drugiej - mnożenie i dzielenie. Pierwszą będzie akcja, która jest pierwsza w przykładzie, czyli ta skrajnie lewa.
Przykład: 60-7+9=62, najpierw potrzebujesz 60-7, a potem wychodzi (53) +9;
Przykład: 5*8:2=20, najpierw potrzebujesz 5*8, a potem dzieje się (40):2.
Jeżeli w przykładzie SĄ NAWIASY, w pierwszej kolejności wykonywane są czynności w nawiasie (zgodnie z powyższymi zasadami), a następnie pozostałe wykonywane są w zwykły sposób.
Przykład: 2+(9-8)*10:2=7.
1 działanie 9-8 (1);
2. akcja 1*10 (10);
Akt 3 10:2 (5);
4 działanie 2+5 (7).
Zależy to od sposobu zapisania wyrażenia, spójrzmy na najprostsze wyrażenie liczbowe:
18 - 6:3 + 10x2 =
Najpierw wykonujemy operacje na dzieleniu i mnożeniu, następnie kolejno od lewej do prawej, na odejmowanie i dodawanie: 18-2+20 = 36
Jeśli jest to wyrażenie z nawiasami, to wykonaj działania w nawiasach, następnie mnożenie lub dzielenie, a na koniec dodawanie/odejmowanie, np.:
(18-6): 3 + 10 x 2 = 12:3 + 20 = 4+20=24
Wszystko się zgadza: najpierw wykonaj mnożenie i dzielenie, potem dodawanie i odejmowanie.
Jeśli w przykładzie nie ma nawiasów, to najpierw wykonywane jest mnożenie i dzielenie w kolejności, a następnie dodawanie i odejmowanie, w tej samej kolejności.
Jeśli przykład zawiera tylko mnożenie i dzielenie, wówczas czynności zostaną wykonane w określonej kolejności.
Jeśli przykład zawiera tylko dodawanie i odejmowanie, wówczas czynności również zostaną wykonane w określonej kolejności.
Przede wszystkim operacje w nawiasach wykonujemy według tych samych zasad, czyli najpierw mnożenie i dzielenie, a dopiero potem dodawanie i odejmowanie.
22-(11+3X2)+14=19
Kolejność wykonywania działań arytmetycznych jest ściśle określona, aby nie było rozbieżności podczas wykonywania tego samego rodzaju obliczeń przez różne osoby. W pierwszej kolejności wykonuje się mnożenie i dzielenie, następnie dodawanie i odejmowanie, jeśli czynności tej samej kolejności następują jedna po drugiej, to wykonuje się je w kolejności od lewej do prawej.
Jeśli podczas zapisywania wyrażenia matematycznego używasz nawiasów, to przede wszystkim powinieneś wykonać czynności wskazane w nawiasach. Nawiasy pomagają zmienić kolejność, gdy konieczne jest najpierw wykonanie dodawania lub odejmowania, a następnie mnożenia i dzielenia.
Dowolne nawiasy można rozwinąć i wtedy kolejność wykonywania znów będzie prawidłowa:
6*(45+15) = 6*45 +6*15
Lepiej od razu w przykładach:
W tym przypadku najpierw wykonujemy mnożenie, ponieważ jest ono na lewo od dzielenia. Następnie podział. Następnie dodawanie, ze względu na położenie bardziej po lewej stronie, a na końcu odejmowanie.
Najpierw wykonujemy obliczenia w nawiasach, następnie mnożenie i dzielenie.
Najpierw wykonujemy operacje w nawiasach: mnożenie, potem odejmowanie. Następnie następuje mnożenie poza nawiasami i dodawanie na końcu.
Mnożenie i dzielenie są na pierwszym miejscu. Jeżeli w przykładzie występują nawiasy, wówczas na początku rozważana jest akcja w nawiasach. Jakikolwiek by to nie był znak!
Tutaj musisz pamiętać o kilku podstawowych zasadach:
Przykładowo 5+8-5=8 (robimy wszystko po kolei – do 5 dodajemy 8, a potem odejmujemy 5)
Na przykład 5+8*3=29 (najpierw pomnóż 8 przez 3, a następnie dodaj 5)
Na przykład 3*(5+8)=39 (najpierw 5+8, a potem pomnóż przez 3)
A przy obliczaniu wartości wyrażeń działania są wykonywane w określonej kolejności, innymi słowy, musisz obserwować kolejność działań.
W tym artykule dowiemy się, które działania należy wykonać jako pierwsze, a które po nich. Zacznijmy od najprostszych przypadków, gdy wyrażenie zawiera tylko liczby lub zmienne połączone znakami plus, minus, mnożenia i dzielenia. Następnie wyjaśnimy, jaką kolejność działań należy zachować w wyrażeniach w nawiasach. Na koniec przyjrzyjmy się kolejności wykonywania czynności w wyrażeniach zawierających potęgi, pierwiastki i inne funkcje.
Nawigacja strony.
Najpierw mnożenie i dzielenie, potem dodawanie i odejmowanie
Szkoła podaje co następuje reguła określająca kolejność wykonywania akcji w wyrażeniach bez nawiasów:
- czynności wykonywane są w kolejności od lewej do prawej,
- Ponadto najpierw wykonywane jest mnożenie i dzielenie, a następnie dodawanie i odejmowanie.
Podana zasada jest postrzegana całkiem naturalnie. Wykonywanie czynności w kolejności od lewej do prawej wynika z faktu, że zwyczajowo prowadzimy zapisy od lewej do prawej. A fakt, że mnożenie i dzielenie są wykonywane przed dodawaniem i odejmowaniem, tłumaczy się znaczeniem, jakie niosą ze sobą te działania.
Przyjrzyjmy się kilku przykładom zastosowania tej zasady. Na przykład weźmiemy najprostsze wyrażenia liczbowe, aby nie rozpraszać się obliczeniami, ale skupić się szczególnie na kolejności działań.
Przykład.
Wykonaj kroki 7-3+6.
Rozwiązanie.
Oryginalne wyrażenie nie zawiera nawiasów ani mnożenia ani dzielenia. Dlatego wszystkie czynności powinniśmy wykonywać w kolejności od lewej do prawej, czyli najpierw od 7 odejmujemy 3, otrzymamy 4, po czym do otrzymanej różnicy 4 dodamy 6, otrzymamy 10.
W skrócie rozwiązanie można zapisać w następujący sposób: 7−3+6=4+6=10.
Odpowiedź:
7−3+6=10 .
Przykład.
Wskaż kolejność działań w wyrażeniu 6:2·8:3.
Rozwiązanie.
Aby odpowiedzieć na pytanie, przejdźmy do reguły wskazującej kolejność wykonywania akcji w wyrażeniach bez nawiasów. Oryginalne wyrażenie zawiera jedynie operacje mnożenia i dzielenia i zgodnie z regułą należy je wykonywać w kolejności od lewej do prawej.
Odpowiedź:
Najpierw Dzielimy 6 przez 2, mnożymy ten iloraz przez 8 i na koniec dzielimy wynik przez 3.
Przykład.
Oblicz wartość wyrażenia 17−5·6:3−2+4:2.
Rozwiązanie.
Najpierw ustalmy, w jakiej kolejności należy wykonać czynności z oryginalnego wyrażenia. Zawiera zarówno mnożenie, jak i dzielenie oraz dodawanie i odejmowanie. Najpierw od lewej do prawej musisz wykonać mnożenie i dzielenie. Więc mnożymy 5 przez 6, otrzymujemy 30, dzielimy tę liczbę przez 3, otrzymujemy 10. Teraz dzielimy 4 przez 2 i otrzymujemy 2. Podstawiamy znalezioną wartość 10 do pierwotnego wyrażenia zamiast 5·6:3 i zamiast 4:2 – wartość 2, mamy 17−5·6:3−2+4:2=17−10−2+2.
Powstałe wyrażenie nie zawiera już mnożenia i dzielenia, więc pozostaje wykonać pozostałe czynności w kolejności od lewej do prawej: 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7 .
Odpowiedź:
17−5·6:3−2+4:2=7.
Na początek, aby nie pomylić kolejności wykonywania czynności przy obliczaniu wartości wyrażenia, wygodnie jest umieścić liczby nad znakami akcji odpowiadającymi kolejności ich wykonywania. W poprzednim przykładzie wyglądałoby to tak: .
Podczas pracy z wyrażeniami literowymi należy zachować tę samą kolejność działań – najpierw mnożenie i dzielenie, następnie dodawanie i odejmowanie.
Działania pierwszego i drugiego etapu
W niektórych podręcznikach matematyki istnieje podział operacji arytmetycznych na operacje pierwszego i drugiego etapu. Rozwiążmy to.
Definicja.
Działania pierwszego etapu wywoływane jest dodawanie i odejmowanie oraz mnożenie i dzielenie działania drugiego etapu.
W tych warunkach reguła z poprzedniego akapitu, która określa kolejność wykonywania działań, zostanie zapisana w następujący sposób: jeśli wyrażenie nie zawiera nawiasów, to w kolejności od lewej do prawej działania drugiego etapu (mnożenie i dzielenie) są wykonywane w pierwszej kolejności, następnie czynności pierwszego etapu (dodawanie i odejmowanie).
Kolejność działań arytmetycznych w wyrażeniach w nawiasach
Wyrażenia często zawierają nawiasy wskazujące kolejność wykonywania czynności. W tym przypadku reguła określająca kolejność wykonywania akcji w wyrażeniach w nawiasach, formułuje się następująco: najpierw wykonuje się czynności w nawiasach, wykonuje się także mnożenie i dzielenie w kolejności od lewej do prawej, następnie dodawanie i odejmowanie.
Zatem wyrażenia w nawiasach są uważane za składniki pierwotnego wyrażenia i zachowują znaną nam już kolejność działań. Dla większej przejrzystości spójrzmy na rozwiązania przykładów.
Przykład.
Wykonaj poniższe kroki 5+(7−2·3)·(6−4):2.
Rozwiązanie.
Wyrażenie zawiera nawiasy, więc najpierw wykonajmy działania zawarte w wyrażeniach zawartych w tych nawiasach. Zacznijmy od wyrażenia 7−2·3. Należy w nim najpierw wykonać mnożenie, a dopiero potem odejmowanie, mamy 7−2·3=7−6=1. Przejdźmy do drugiego wyrażenia w nawiasach 6-4. Jest tu tylko jedna akcja - odejmowanie, wykonujemy ją 6-4 = 2.
Uzyskane wartości zastępujemy oryginalnym wyrażeniem: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2. W otrzymanym wyrażeniu najpierw wykonujemy mnożenie i dzielenie od lewej do prawej, a następnie odejmowanie i otrzymujemy 5+1·2:2=5+2:2=5+1=6. W tym momencie wszystkie działania są zakończone, trzymaliśmy się następującej kolejności ich realizacji: 5+(7−2·3)·(6−4):2.
Zapiszmy krótkie rozwiązanie: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2=5+1=6.
Odpowiedź:
5+(7−2·3)·(6−4):2=6.
Zdarza się, że wyrażenie zawiera nawiasy w nawiasach. Nie ma się czego bać, wystarczy konsekwentnie stosować podaną zasadę wykonywania działań w wyrażeniach w nawiasach. Pokażmy rozwiązanie przykładu.
Przykład.
Wykonaj działania zawarte w wyrażeniu 4+(3+1+4·(2+3)) .
Rozwiązanie.
Jest to wyrażenie w nawiasach, co oznacza, że wykonanie akcji musi rozpocząć się od wyrażenia w nawiasach, czyli od 3+1+4·(2+3) . To wyrażenie zawiera również nawiasy, dlatego najpierw należy wykonać w nich czynności. Zróbmy tak: 2+3=5. Podstawiając znalezioną wartość, otrzymujemy 3+1+4,5. W tym wyrażeniu najpierw wykonujemy mnożenie, potem dodawanie, mamy 3+1+4·5=3+1+20=24. Wartość początkowa po podstawieniu tej wartości przyjmuje postać 4+24 i pozostaje tylko dokończyć działania: 4+24=28.
Odpowiedź:
4+(3+1+4·(2+3))=28.
Ogólnie rzecz biorąc, jeśli wyrażenie zawiera nawiasy w nawiasach, często wygodnie jest wykonywać czynności, zaczynając od nawiasów wewnętrznych i przechodząc do nawiasów zewnętrznych.
Załóżmy na przykład, że musimy wykonać działania określone w wyrażeniu (4+(4+(4−6:2))−1)−1. Najpierw wykonujemy działania w nawiasach wewnętrznych, ponieważ 4−6:2=4−3=1, następnie pierwotne wyrażenie przyjmie postać (4+(4+1)−1)−1. Ponownie wykonujemy akcję w nawiasach wewnętrznych, ponieważ 4+1=5, dochodzimy do następującego wyrażenia (4+5−1)−1. Ponownie wykonujemy działania w nawiasach: 4+5−1=8 i dochodzimy do różnicy 8−1, która równa się 7.
Alfa oznacza liczbę rzeczywistą. Znak równości w powyższych wyrażeniach wskazuje, że jeśli do nieskończoności dodamy liczbę lub nieskończoność, nic się nie zmieni, a wynikiem będzie ta sama nieskończoność. Jeśli jako przykład weźmiemy nieskończony zbiór liczb naturalnych, wówczas rozważane przykłady można przedstawić w następującej postaci:
Aby jednoznacznie udowodnić, że mieli rację, matematycy wymyślili wiele różnych metod. Osobiście patrzę na te wszystkie metody jak szamani tańczący z tamburynami. W zasadzie wszystkie sprowadzają się do tego, że albo część pokoi jest pusta i wprowadzają się nowi goście, albo część gości jest wyrzucana na korytarz, aby zrobić miejsce dla gości (bardzo ludzkie). Swój pogląd na takie decyzje przedstawiłem w formie fantastycznej opowieści o Blondynce. Na czym opieram swoje rozumowanie? Przeniesienie nieskończonej liczby gości zajmuje nieskończoną ilość czasu. Po zwolnieniu pierwszego pokoju dla gościa, jeden z gości będzie zawsze przechodził korytarzem ze swojego pokoju do następnego, aż do końca czasu. Oczywiście czynnik czasu można w głupi sposób zignorować, ale będzie to ujęte w kategorii „żadne prawo nie jest pisane dla głupców”. Wszystko zależy od tego, co robimy: dopasowujemy rzeczywistość do teorii matematycznych lub odwrotnie.
Co to jest „niekończący się hotel”? Hotel nieskończony to hotel, w którym zawsze jest dowolna liczba wolnych łóżek, niezależnie od tego, ile pokoi jest zajętych. Jeśli wszystkie pokoje w niekończącym się korytarzu „dla gości” są zajęte, pojawia się kolejny niekończący się korytarz z pokojami „dla gości”. Takich korytarzy będzie nieskończona ilość. Co więcej, „nieskończony hotel” ma nieskończoną liczbę pięter w nieskończonej liczbie budynków na nieskończonej liczbie planet w nieskończonej liczbie wszechświatów stworzonych przez nieskończoną liczbę Bogów. Matematycy nie potrafią zdystansować się od banalnych problemów życia codziennego: zawsze jest tylko jeden Bóg-Allah-Budda, jest tylko jeden hotel, jest tylko jeden korytarz. Matematycy próbują więc żonglować numerami seryjnymi pokoi hotelowych, przekonując nas, że da się „wcisnąć niemożliwe”.
Zademonstruję Ci logikę mojego rozumowania na przykładzie nieskończonego zbioru liczb naturalnych. Najpierw musisz odpowiedzieć na bardzo proste pytanie: ile jest zbiorów liczb naturalnych - jeden czy wiele? Na to pytanie nie ma poprawnej odpowiedzi, ponieważ sami wymyśliliśmy liczby; liczby nie istnieją w Naturze. Tak, Natura jest świetna w liczeniu, ale do tego używa innych, nieznanych nam narzędzi matematycznych. Powiem ci, co myśli Natura innym razem. Ponieważ wymyśliliśmy liczby, sami zdecydujemy, ile jest zbiorów liczb naturalnych. Rozważmy obie opcje, jak przystało na prawdziwych naukowców.
Opcja pierwsza. „Daj nam” jeden zbiór liczb naturalnych, który spokojnie leży na półce. Bierzemy ten zestaw z półki. I tyle, nie ma już innych liczb naturalnych na półce i nie ma gdzie ich zabrać. Nie możemy dodać jednego do tego zestawu, ponieważ już go mamy. A co jeśli naprawdę chcesz? Bez problemu. Możemy wziąć jeden z już zabranego zestawu i odłożyć go na półkę. Następnie możemy wziąć jeden z półki i dodać go do tego, co nam zostało. W rezultacie ponownie otrzymamy nieskończony zbiór liczb naturalnych. Wszystkie nasze manipulacje możesz zapisać w ten sposób:
Zapisałem te działania w notacji algebraicznej i w notacji teorii mnogości, wraz ze szczegółowym wyszczególnieniem elementów zbioru. Indeks dolny wskazuje, że mamy jeden i jedyny zbiór liczb naturalnych. Okazuje się, że zbiór liczb naturalnych pozostanie niezmieniony tylko wtedy, gdy odejmiemy od niego jeden i dodamy tę samą jednostkę.
Opcja druga. Na naszej półce mamy wiele różnych nieskończonych zbiorów liczb naturalnych. Podkreślam – INNE, choć praktycznie nie do odróżnienia. Weźmy jeden z tych zestawów. Następnie bierzemy jedną z innego zbioru liczb naturalnych i dodajemy ją do już pobranego zbioru. Możemy nawet dodać dwa zbiory liczb naturalnych. Oto co otrzymujemy:
Indeksy dolne „jeden” i „dwa” wskazują, że elementy te należały do różnych zestawów. Tak, jeśli dodasz jeden do nieskończonego zbioru, wynik również będzie nieskończony, ale nie będzie taki sam jak oryginalny zbiór. Jeśli do jednego zbioru nieskończonego dodasz kolejny nieskończony zbiór, wynikiem będzie nowy nieskończony zbiór składający się z elementów pierwszych dwóch zbiorów.
Zbiór liczb naturalnych służy do liczenia w taki sam sposób, w jaki linijka służy do pomiaru. Teraz wyobraź sobie, że dodałeś jeden centymetr do linijki. Będzie to inna linia, nie równa się oryginalnej.
Możesz zaakceptować lub nie zaakceptować moje rozumowanie – to Twoja prywatna sprawa. Jeśli jednak kiedykolwiek napotkasz problemy matematyczne, zastanów się, czy nie podążasz ścieżką fałszywego rozumowania, wydeptaną przez pokolenia matematyków. Przecież studiowanie matematyki przede wszystkim kształtuje w nas stabilny stereotyp myślenia, a dopiero potem zwiększa nasze zdolności umysłowe (lub odwrotnie, pozbawia nas swobodnego myślenia).
Niedziela, 4 sierpnia 2019
Kończyłem postscriptum do artykułu na temat i zobaczyłem ten wspaniały tekst na Wikipedii:
Czytamy: „...bogate podstawy teoretyczne matematyki Babilonu nie miały charakteru holistycznego i zostały zredukowane do zestawu odmiennych technik, pozbawionych wspólnego systemu i bazy dowodowej”.
Wow! Jak mądrzy jesteśmy i jak dobrze dostrzegamy wady innych. Czy trudno nam spojrzeć na współczesną matematykę w tym samym kontekście? Nieco parafrazując powyższy tekst, osobiście otrzymałem co następuje:
Bogate podstawy teoretyczne współczesnej matematyki nie mają charakteru holistycznego i sprowadzają się do zestawu odrębnych działów, pozbawionych wspólnego systemu i bazy dowodowej.
Nie będę daleko szukać potwierdzenia moich słów – ma ona język i konwencje odmienne od języka i konwencji wielu innych działów matematyki. Te same nazwy w różnych gałęziach matematyki mogą mieć różne znaczenia. Najbardziej oczywistym błędom współczesnej matematyki chcę poświęcić całą serię publikacji. Do zobaczenia wkrótce.
Sobota, 3 sierpnia 2019 r
Jak podzielić zbiór na podzbiory? W tym celu należy wprowadzić nową jednostkę miary występującą w niektórych elementach wybranego zestawu. Spójrzmy na przykład.
Obyśmy mieli mnóstwo A składający się z czterech osób. Zbiór ten tworzony jest na bazie „ludzi”. Elementy tego zbioru oznaczmy literą A, indeks dolny z liczbą będzie wskazywał numer seryjny każdej osoby w tym zestawie. Wprowadźmy nową jednostkę miary „płeć” i oznaczmy ją literą B. Ponieważ cechy płciowe są nieodłączne dla wszystkich ludzi, mnożymy każdy element zestawu A na podstawie płci B. Zauważ, że nasz zbiór „ludzi” stał się teraz zbiorem „ludzi o cechach płciowych”. Następnie możemy podzielić cechy płciowe na męskie bm i damskie bw cechy płciowe. Teraz możemy zastosować filtr matematyczny: wybieramy jedną z tych cech płciowych, nieważne która – męską czy żeńską. Jeśli dana osoba go ma, to mnożymy go przez jeden, jeśli nie ma takiego znaku, mnożymy go przez zero. A potem używamy zwykłej matematyki szkolnej. Zobacz, co się stało.
Po mnożeniu, redukcji i przegrupowaniu otrzymaliśmy dwa podzbiory: podzbiór mężczyzn Bm i podzbiór kobiet Bw. Matematycy rozumują mniej więcej w ten sam sposób, stosując teorię mnogości w praktyce. Ale nie mówią nam szczegółów, ale dają nam ostateczny wynik – „wiele ludzi składa się z podzbioru mężczyzn i podzbioru kobiet”. Naturalnie może pojawić się pytanie: jak poprawnie zastosowano matematykę w opisanych powyżej przekształceniach? Ośmielę się zapewnić, że w zasadzie przekształcenia zostały wykonane poprawnie, wystarczy znać matematyczne podstawy arytmetyki, algebry Boole'a i innych działów matematyki. Co to jest? Kiedy indziej o tym opowiem.
Jeśli chodzi o nadzbiory, możesz połączyć dwa zbiory w jeden nadzbiór, wybierając jednostkę miary występującą w elementach tych dwóch zbiorów.
Jak widać, jednostki miary i zwykła matematyka sprawiają, że teoria mnogości jest reliktem przeszłości. Oznaką tego, że z teorią mnogości nie jest dobrze, jest to, że matematycy opracowali własny język i notację dla teorii mnogości. Matematycy postępowali jak kiedyś szamani. Tylko szamani wiedzą, jak „poprawnie” zastosować swoją „wiedzę”. Uczą nas tej „wiedzy”.
Podsumowując, chcę pokazać, jak matematycy manipulują liczbami.
poniedziałek, 7 stycznia 2019 r
W V wieku p.n.e. starożytny grecki filozof Zenon z Elei sformułował swoje słynne aporie, z których najsłynniejszą jest aporia „Achilles i żółw”. Oto jak to brzmi:
Załóżmy, że Achilles biegnie dziesięć razy szybciej niż żółw i jest o tysiąc kroków za nim. W czasie, jaki potrzebuje Achilles na pokonanie tej odległości, żółw wykona sto kroków w tym samym kierunku. Kiedy Achilles przebiegnie sto kroków, żółw czołga się przez kolejne dziesięć kroków i tak dalej. Proces ten będzie trwał w nieskończoność, Achilles nigdy nie dogoni żółwia.
To rozumowanie stało się logicznym szokiem dla wszystkich kolejnych pokoleń. Arystoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Wszyscy oni w ten czy inny sposób rozważali aporię Zenona. Wstrząs był tak silny, że „ ... dyskusje trwają do dziś, w środowisku naukowym nie udało się jeszcze dojść do wspólnej opinii co do istoty paradoksów ... w badaniu tego zagadnienia zaangażowano analizę matematyczną, teorię mnogości, nowe podejścia fizyczne i filozoficzne ; żaden z nich nie stał się ogólnie przyjętym rozwiązaniem problemu...„[Wikipedia, „Aporia Zenona”. Każdy rozumie, że daje się oszukać, ale nikt nie rozumie, na czym to oszustwo polega.
Z matematycznego punktu widzenia Zenon w swoich aporiach wyraźnie pokazał przejście od ilości do. To przejście oznacza zastosowanie, a nie trwałe. O ile rozumiem, aparat matematyczny do stosowania zmiennych jednostek miary albo nie został jeszcze opracowany, albo nie został zastosowany do aporii Zenona. Stosowanie naszej zwykłej logiki prowadzi nas w pułapkę. My, ze względu na bezwładność myślenia, do wartości odwrotności stosujemy stałe jednostki czasu. Z fizycznego punktu widzenia wygląda to na spowolnienie czasu, aż do całkowitego zatrzymania się w momencie, gdy Achilles dogoni żółwia. Jeśli czas się zatrzyma, Achilles nie będzie już w stanie przegonić żółwia.
Jeśli odwrócimy naszą zwykłą logikę, wszystko ułoży się na swoim miejscu. Achilles biegnie ze stałą prędkością. Każdy kolejny odcinek jego ścieżki jest dziesięć razy krótszy od poprzedniego. W związku z tym czas poświęcony na jego pokonanie jest dziesięć razy krótszy niż poprzedni. Jeśli zastosujemy w tej sytuacji koncepcję „nieskończoności”, wówczas słuszne będzie stwierdzenie: „Achilles nieskończenie szybko dogoni żółwia”.
Jak uniknąć tej logicznej pułapki? Pozostań w stałych jednostkach czasu i nie przełączaj się na jednostki odwrotne. W języku Zenona wygląda to tak:
W czasie, jaki zajmie Achillesowi przebiegnięcie tysiąca kroków, żółw wykona sto kroków w tym samym kierunku. W następnym odstępie czasowym, równym pierwszemu, Achilles przebiegnie kolejne tysiąc kroków, a żółw przeczołga się sto kroków. Teraz Achilles jest osiemset kroków przed żółwiem.
Podejście to adekwatnie opisuje rzeczywistość, bez żadnych logicznych paradoksów. Ale to nie jest pełne rozwiązanie problemu. Stwierdzenie Einsteina o nieodpartej prędkości światła jest bardzo podobne do aporii Zenona „Achilles i żółw”. Musimy jeszcze przestudiować, przemyśleć i rozwiązać ten problem. A rozwiązania należy szukać nie w nieskończenie dużych liczbach, ale w jednostkach miary.
Kolejna interesująca aporia Zenona opowiada o lecącej strzałce:
Lecąca strzała jest nieruchoma, ponieważ w każdej chwili jest w spoczynku, a ponieważ jest w spoczynku w każdej chwili, jest zawsze w spoczynku.
W tej aporii paradoks logiczny zostaje przezwyciężony w bardzo prosty sposób - wystarczy wyjaśnić, że w każdym momencie lecąca strzała znajduje się w spoczynku w różnych punktach przestrzeni, co w rzeczywistości jest ruchem. Należy tutaj zwrócić uwagę na jeszcze jedną kwestię. Na podstawie jednego zdjęcia samochodu na drodze nie da się określić ani faktu jego ruchu, ani odległości do niego. Aby ustalić, czy samochód się porusza, potrzebne są dwa zdjęcia wykonane z tego samego punktu w różnych momentach w czasie, ale nie można określić odległości od nich. Aby określić odległość do samochodu, potrzebujesz dwóch zdjęć zrobionych z różnych punktów przestrzeni w tym samym momencie, ale na ich podstawie nie można określić faktu ruchu (oczywiście nadal potrzebujesz dodatkowych danych do obliczeń, trygonometria ci pomoże ). To na co chcę zwrócić szczególną uwagę to fakt, że dwa punkty w czasie i dwa punkty w przestrzeni to różne rzeczy, których nie należy mylić, gdyż dają odmienne możliwości badawcze.
środa, 4 lipca 2018 r
Już wam to mówiłem, za pomocą czego szamani próbują uporządkować „” rzeczywistość. Jak oni to robią? Jak właściwie przebiega tworzenie zestawu?
Przyjrzyjmy się bliżej definicji zbioru: „zbiór różnych elementów, pojmowanych jako jedna całość”. Teraz poczuj różnicę między dwoma wyrażeniami: „wyobrażalny jako całość” i „wyobrażalny jako całość”. Pierwsza fraza to wynik końcowy, zestaw. Drugie zdanie jest wstępnym przygotowaniem do formowania się rzeszy. Na tym etapie rzeczywistość zostaje podzielona na poszczególne elementy („całość”), z których następnie utworzy się wielość („jedna całość”). Jednocześnie dokładnie monitoruje się czynnik umożliwiający połączenie „całości” w „jedną całość”, w przeciwnym razie szamanom nie uda się. Przecież szamani z góry dokładnie wiedzą, jaki zestaw chcą nam pokazać.
Pokażę ci ten proces na przykładzie. Wybieramy „czerwoną bryłę w pryszczu” - to jest nasza „całość”. Jednocześnie widzimy, że te rzeczy są z łukiem i są bez łuku. Następnie wybieramy część „całości” i tworzymy zestaw „z kokardką”. W ten sposób szamani zdobywają pożywienie, łącząc swoją teorię mnogości z rzeczywistością.
Teraz zróbmy małą sztuczkę. Weźmy „bryłę z pryszczem z kokardą” i połączmy te „całości” według koloru, zaznaczając elementy czerwone. Mamy dużo „czerwonego”. Teraz ostatnie pytanie: czy powstałe zestawy „z kokardką” i „czerwonym” to ten sam zestaw, czy dwa różne zestawy? Tylko szamani znają odpowiedź. Dokładniej, oni sami nic nie wiedzą, ale jak mówią, tak będzie.
Ten prosty przykład pokazuje, że teoria mnogości jest całkowicie bezużyteczna, jeśli chodzi o rzeczywistość. Jaki jest sekret? Uformowaliśmy komplet „czerwonej bryły z pryszczem i kokardką”. Formacja odbywała się w czterech różnych jednostkach miary: kolor (czerwony), wytrzymałość (solidny), szorstkość (pryszcz), dekoracja (z kokardką). Tylko zbiór jednostek miary pozwala nam adekwatnie opisać obiekty rzeczywiste w języku matematyki. Tak to wygląda.
Litera „a” z różnymi indeksami oznacza różne jednostki miary. W nawiasach zaznaczono jednostki miary, według których na etapie wstępnym wyróżnia się „całość”. Jednostka miary, według której tworzony jest zestaw, jest wyjmowana z nawiasów. Ostatnia linia pokazuje wynik końcowy - element zestawu. Jak widać, jeśli do utworzenia zbioru użyjemy jednostek miary, to wynik nie zależy od kolejności naszych działań. I to jest matematyka, a nie taniec szamanów z tamburynami. Szamani mogą „intuicyjnie” dojść do tego samego wniosku, twierdząc, że jest to „oczywiste”, ponieważ jednostki miary nie są częścią ich „naukowego” arsenału.
Stosując jednostki miary, bardzo łatwo jest podzielić jeden zbiór lub połączyć kilka zbiorów w jeden nadzbiór. Przyjrzyjmy się bliżej algebrze tego procesu.
Sobota, 30 czerwca 2018 r
Jeśli matematycy nie potrafią zredukować jakiegoś pojęcia do innych pojęć, to nie rozumieją nic z matematyki. Odpowiadam: czym różnią się elementy jednego zbioru od elementów innego zbioru? Odpowiedź jest bardzo prosta: liczby i jednostki miary.
Dziś wszystko, czego nie bierzemy, należy do jakiegoś zbioru (jak zapewniają nas matematycy). Swoją drogą, czy widziałeś w lustrze na czole listę tych zestawów, do których należysz? A takiej listy nie widziałem. Powiem więcej – tak naprawdę żadna rzecz nie ma metki z listą zestawów, do których ta rzecz należy. Zestawy są wynalazkiem szamanów. Jak oni to robią? Zajrzyjmy nieco głębiej w historię i zobaczmy, jak wyglądały elementy zbioru, zanim szamani-matematycy zabrali je do swoich zbiorów.
Dawno temu, kiedy nikt jeszcze nie słyszał o matematyce, a pierścienie posiadały tylko drzewa i Saturn, po polach fizycznych przemierzały ogromne stada dzikich elementów zbiorów (w końcu szamani nie wymyślili jeszcze pól matematycznych). Wyglądały mniej więcej tak.
Tak, nie zdziwcie się, z punktu widzenia matematyki wszystkie elementy zbiorów są najbardziej podobne do jeżowców - z jednego punktu, jak igły, jednostki miary wystają we wszystkich kierunkach. Tym, którzy przypominają, że dowolną jednostkę miary można przedstawić geometrycznie jako odcinek o dowolnej długości, a liczbę jako punkt. Geometrycznie dowolną wielkość można przedstawić jako wiązkę segmentów wystających z jednego punktu w różnych kierunkach. Ten punkt jest punktem zerowym. Nie będę rysować tego dzieła sztuki geometrycznej (bez inspiracji), ale łatwo to sobie wyobrazić.
Jakie jednostki miary wchodzą w skład zbioru? Wszelkiego rodzaju rzeczy opisujące dany element z różnych punktów widzenia. Są to starożytne jednostki miary, którymi posługiwali się nasi przodkowie, a o których wszyscy już dawno zapomnieli. Są to nowoczesne jednostki miary, których używamy obecnie. To także nieznane nam jednostki miary, które wymyślą nasi potomkowie i którymi będą opisywać rzeczywistość.
Uporządkowaliśmy geometrię - proponowany model elementów zestawu posiada czytelne odwzorowanie geometryczne. A co z fizyką? Jednostki miary stanowią bezpośrednie połączenie matematyki i fizyki. Jeśli szamani nie uznają jednostek miar za pełnoprawny element teorii matematycznych, to jest to ich problem. Osobiście nie wyobrażam sobie prawdziwej nauki matematyki bez jednostek miar. Dlatego na samym początku opowieści o teorii mnogości mówiłem o niej jako o epoce kamienia.
Przejdźmy jednak do najciekawszej rzeczy - algebry elementów zbiorów. Algebraicznie każdy element zbioru jest iloczynem (wynikiem mnożenia) różnych wielkości.Wygląda to tak.
Celowo nie zastosowałem konwencji teorii mnogości, gdyż rozpatrujemy element zbioru w jego naturalnym środowisku przed pojawieniem się teorii mnogości. Każda para liter w nawiasie oznacza odrębną ilość, składającą się z liczby oznaczonej literą „ N" i jednostka miary oznaczona literą " A". Indeksy przy literach wskazują, że liczby i jednostki miary są różne. Jeden element zbioru może składać się z nieskończonej liczby wielkości (na ile my i nasi potomkowie mamy dość wyobraźni). Każdy nawias jest geometrycznie przedstawiony jako oddzielny segment.W przykładzie z jeżowcem jeden nawias to jedna igła.
W jaki sposób szamani tworzą zestawy z różnych elementów? W rzeczywistości według jednostek miary lub liczb. Nie rozumiejąc nic z matematyki, biorą różne jeżowce i dokładnie je badają w poszukiwaniu tej pojedynczej igły, wzdłuż której tworzą zestaw. Jeśli jest taka igła, to ten element należy do zestawu, jeśli nie ma takiej igły, to ten element nie jest z tego zestawu. Szamani opowiadają nam bajki o procesach myślowych i o całości.
Jak można się domyślić, ten sam element może należeć do bardzo różnych zbiorów. Następnie pokażę ci, jak powstają zbiory, podzbiory i inne szamańskie bzdury. Jak widać „w zestawie nie mogą być dwa identyczne elementy”, ale jeśli w zestawie znajdują się identyczne elementy, taki zbiór nazywa się „multizbiorem”. Rozsądne istoty nigdy nie zrozumieją tak absurdalnej logiki. To jest poziom gadających papug i tresowanych małp, które nie mają inteligencji od słowa „całkowicie”. Matematycy zachowują się jak zwykli trenerzy, wmawiając nam swoje absurdalne pomysły.
Dawno, dawno temu inżynierowie, którzy zbudowali most, pływali łodzią pod mostem podczas testowania mostu. Jeśli most się zawali, przeciętny inżynier zginął pod gruzami swojego dzieła. Jeśli most wytrzymał obciążenie, utalentowany inżynier zbudował inne mosty.
Bez względu na to, jak matematycy ukrywają się za zwrotem „pamiętaj, jestem w domu” lub raczej „matematyka bada pojęcia abstrakcyjne”, istnieje jedna pępowina, która nierozerwalnie łączy ich z rzeczywistością. Ta pępowina to pieniądze. Zastosujmy matematyczną teorię mnogości do samych matematyków.
Bardzo dobrze uczyliśmy się matematyki, a teraz siedzimy przy kasie i wypłacamy pensje. Tak więc matematyk przychodzi do nas po swoje pieniądze. Odliczamy mu całą kwotę i układamy ją na naszym stole w różnych stosach, do których wkładamy banknoty o tym samym nominale. Następnie bierzemy po jednym rachunku z każdego stosu i dajemy matematykowi jego „matematyczny zestaw wynagrodzeń”. Wyjaśnijmy matematykowi, że resztę rachunków otrzyma dopiero wtedy, gdy udowodni, że zbiór bez identycznych elementów nie jest równy zbiorowi z identycznymi elementami. Tutaj zaczyna się zabawa.
Przede wszystkim sprawdzi się logika posłów: „Można to zastosować do innych, ale nie do mnie!” Wtedy zaczną nas uspokajać, że banknoty o tym samym nominale mają różne numery banknotów, a co za tym idzie, nie można ich uważać za te same elementy. OK, policzmy pensje w monetach - na monetach nie ma cyfr. Tutaj matematyk zacznie gorączkowo przypominać sobie fizykę: różne monety mają różną ilość brudu, struktura kryształu i układ atomów jest dla każdej monety unikalna...
I teraz mam najciekawsze pytanie: gdzie jest granica, za którą elementy multizbioru zamieniają się w elementy zbioru i odwrotnie? Taka linia nie istnieje – o wszystkim decydują szamani, nauka nawet nie jest bliska kłamstwa.
Popatrz tutaj. Wybieramy stadiony piłkarskie o tej samej powierzchni boiska. Pola pól są takie same - co oznacza, że mamy multizbiór. Ale jeśli spojrzymy na nazwy tych samych stadionów, otrzymamy wiele, ponieważ nazwy są różne. Jak widać, ten sam zbiór elementów jest jednocześnie zbiorem i multizbiorem. Który jest poprawny? I tu matematyk-szaman-sostrzysta wyciąga z rękawa asa atutowego i zaczyna nam opowiadać albo o zestawie, albo o wielokrotności. W każdym razie przekona nas, że ma rację.
Aby zrozumieć, jak współcześni szamani operują teorią mnogości, wiążąc ją z rzeczywistością, wystarczy odpowiedzieć na jedno pytanie: czym różnią się elementy jednego zbioru od elementów innego zbioru? Pokażę ci, bez żadnego „wyobrażalnego jako pojedyncza całość” lub „niewyobrażalnego jako pojedyncza całość”.
