Расчет на прочность при переменных напряжениях. Прочность при переменных напряжениях

На рубеже XIX-XX вв. в связи с созданием и вхождением в повседневный быт новых типов машин, установок и транспортных средств, работающих при нагрузках, циклически изменяющихся во времени, выяснилось, что существующие методы расчета не обеспечивали надежные результаты расчета таких конструкций. Впервые с подобным явлением столкнулись па железнодорожном транспорте, когда случился ряд катастроф, связанных с изломом осей вагонов и паровозов.

В дальнейшем выяснилось, что причиной разрушения явились переменные напряжения, которые возникали при движении железнодорожного состава по причине вращения оси вагона вместе с колесами. Однако первоначально было высказано предположение о том, что в процессе длительной эксплуатации металл изменяет свою кристаллическую структуру - устает. Данное предположение не подтвердилось, однако название «расчеты па усталость» сохранилось в инженерной практике.

По результатам дальнейших исследований было установлено, что усталостное разрушение обусловлено процессами накопления в материале детали локальных повреждений и развитием трещин. Именно такие процессы, возникающие при эксплуатации различных машин, транспортных средств, станков и других установок, подверженных вибрационным и другим видам переменных во времени нагрузок, будут рассмотрены далее.

Рассмотрим цилиндрический образец, закрепленный в шпинделе одним концом, на другом, свободном, конце которого через подшипник приложена сила F (рис. 16.1).

Рис. 16.1.

Эпюра изгибающего момента образца меняется по линейному закону, и его максимальная величина равна FI. В точках поперечного сечения образца А и В возникают максимальные но абсолютной величине напряжения. Величина нормального напряжения в точке Л составит

В случае вращения образца с угловой скоростью со точки поперечного сечения изменяют свое положение относительно плоскости действия изгибающего момента. За время t характерная точка А повернется на угол ф = со/ и окажется в новом положении А" (рис. 16.2, а).

Рис. 16.2.

Напряжение в новом положении этой же материальной точки будет равно

Аналогично можно рассмотреть другие точки и прийти к выводу о том, что при вращении образца за счет изменения положения точек нормальные напряжения изменяются по закону косинуса (рис. 16.2, б).

Для объяснения процесса усталостного разрушения придется отказаться от основополагающих гипотез о материале, а именно от гипотезы сплошности и гипотезы однородности. Реальные материалы не являются идеальными. Как правило, в материале изначально присутствуют дефекты в виде несовершенств кристаллической решетки, пор, микротрещин, посторонних включений, являющихся причиной структурной неоднородности материала. В условиях циклического нагружения структурная неоднородность приводит к неоднородности поля напряжений. В наиболее слабых местах детали зарождаются микротрещины, которые под действием переменных во времени напряжений начинают расти, сливаться, превращаясь в магистральную трещину. Попадая в зону растяжения, трещина раскрывается, а в зоне сжатия, наоборот, закрывается.

Малой величины локальная область, в которой возникает первая трещина и откуда начинается ее развитие, называется фокусом усталостного разрушения. Такая область, как правило, находится у поверхности деталей, но не исключено ее появление в глубине материала, если там окажется какое-либо повреждение. Не исключено и одновременное существование нескольких таких областей, и поэтому разрушение детали может начаться из нескольких центров, которые конкурируют между собой. В результате развития трещин сечение ослабляется до тех нор, пока не произойдет разрушение. После разрушения зону развития усталостной трещины сравнительно легко распознать. В сечении детали, разрушенной от усталости, имеются две резко различающиеся области (рис. 16.3).

Рис. 16.3.

1 - область роста трещины; 2 - область хрупкого разрушения

Область 1 характеризуется блестящей гладкой поверхностью и соответствует началу процесса разрушения, который протекает в материале с относительно малой скоростью. На заключительном этапе процесса, когда сечение достаточно сильно ослабнет, происходит быстрое лавинообразное разрушение детали. Этому заключительному этану на рис. 16.3 соответствует область 2, которая характеризуется шероховатой грубой поверхностью из-за быстрого окончательного разрушения детали.

Следует отметить, что теоретическое изучение усталостной прочности металлов связано со значительными трудностями в силу сложности и многофакторности данного явления. По этой причине важнейшим инструментом становится феноменологический подход. В своем большинстве формулы для расчета деталей на усталость получены на основе экспериментальных результатов.

Переменные напряжения в деталях машин различаются по виду циклов и характеру изменения цикла во времени. Циклом напряжений называют совокупность последовательных значений напряжений за один период их изменения при регулярном нагружении. На рис.4.2 показаны различные виды циклов переменных напряжений, характеризуемые следующими параметрами:

среднее напряжение цикла, выражающее постоянную (положительную или отрицательную) составляющую цикла напряжения:

амплитуда напряжений цикла, выражающая наибольшее положительное значение переменной составляющей цикла напряжений:

где σ m ах и σ min - максимальное и минимальное напряжения цикла, соответствующие наибольшему и наименьшему напряжениям цикла.

Отношение минимального напряжения цикла к максимальному называют коэффициентом асимметрии цикла напряжений:

Симметричным называется цикл, когда максимальное и минимальное напряжения равны по абсолютному значению и противоположны по знаку. Симметричный цикл является знакопеременным и имеет следующие параметры: σ а = σ m ах = σ min ; σ т = 0; R = - 1. Наиболее распространенный пример симметричного цикла напряжений - изгиб вращающегося вала (изгиб при вращении). Пределы выносливости, соответствующие симметричному циклу, имеют индекс «-1» (σ -1 ; τ -1).

Асимметричным называется цикл, у которого максимальное и минимальное напряжения имеют разные абсолютные значения. Для асимметричного цикла напряжений σ max = σ m + σ a ; σ min = σ m - σ a ; R ≠ - 1 Асимметричные циклы напряжений относятся к знакопеременным, если напряжения изменяются по значению и по знаку. Цикл напряжений, изменяющихся только по абсолютному значению, называется знакопостоянным. Пределы выносливости, соответствующие асимметричному циклу, обозначаются индексом «R» (σ R ; τ R).

Характерным асимметричным циклом является отнулевой цикл напряжений, к которому относятся знакопостоянные циклы напряжений, изменяющиеся при растяжении от нуля до максимума (σ min = 0) или при сжатии - от нуля до минимума (σ max = 0). При растяжении отнулевой цикл напряжений характеризуется следующими параметрами: σ m =σ a = σ max /2; R = 0. Предел выносливости отнулевого цикла обозначается индексом «0» (σ 0 ; τ 0). Отнулевые циклы напряжений возникают в зубьях шестерен и цепных звездочек, которые в процессе работы нагружаются при входе в зацепление и полностью разгружаются при выходе из него.

Сопротивление усталости зависит не только от вида действующих циклов напряжений, но и от характера изменения напряжений во времени. При стационарном нагружении значения амплитуды и среднего напряжения цикла остаются неизменными во времени. Буровые машины и оборудование, как уже отмечалось, преимущественно работают при нестационарном нагружении.

Амплитуда и среднее напряжение циклов могут иметь ступенчатый либо непрерывный характер изменения (рис. 4.3).

Количественные характеристики сопротивляемости материала действию переменных напряжений определяют путем испытания на усталость 15-20 одинаковых образцов диаметром 7-10 мм, имеющих полированную поверхность. Испытания проводят при разных уровнях напряжений. По полученным результатам строят график кривой усталости (рис. 4.4,а). По оси ординат графика откладывают максимальное напряжение или амплитуду напряжений цикла, при которых испытывался данный образец, а по оси абсцисс - число циклов N перемен напряжений, которое образец выдержал до разрушения. Полученная кривая характеризует зависимость между напряжениями и циклической долговечностью одинаковых образцов при постоянных среднем напряжении цикла либо коэффициенте асимметрии цикла.

Для большинства сталей при испытаниях на воздухе кривая усталости, начиная с числа циклов N = 10 6 ÷10 7 , становится горизонтальной и образцы, выдержавшие указанное число циклов, не разрушаются при дальнейшем практически неограниченном увеличении числа циклов нагружения. Поэтому испытания сталей прекращают при достижении 10 млн. циклов, составляющих базу испытаний N б. Максимальное по абсолютному значению напряжение цикла, при котором еще не происходит усталостное разрушение до базы испытаний, называют пределом выносливости . Для надежной оценки предела выносливости число неразрушившихся образцов при данном уровне переменных напряжений должно быть не менее шести.

Наиболее простыми и поэтому более распространенными являются испытания на усталость при симметричном цикле напряжений (круговой изгиб).

Испытания на усталость при асимметричном цикле напряжений проводят на специальных испытательных машинах. Кривые усталости, построенные в логарифмических координатах

(рис. 4.4,б), представляют собой наклонную и горизонтальную прямые. Для расчетов на прочность левую наклонную часть кривой усталости представляют в виде

где σ - действующее напряжение; т - показатель наклона кривой усталости; N - число циклов напряжений, выдержанных до усталостного разрушения (циклическая долговечность); σ -1 - предел выносливости; N 0 - число циклов, соответствующее точке перелома кривой усталости, представляемой двумя прямыми линиями.

Величина N 0 в большинстве случаев колеблется в пределах 10 6 -3∙10 6 циклов. В расчетах на прочность при переменных напряжениях, когда отсутствуют данные усталостных испытаний, можно принять в среднем N=2∙10 6 циклов .

Показатель наклона кривой усталости

для деталей изменяется от 3 до 20, причем с ростом эффективного коэффициента концентрации напряжений замечена тенденция к снижению т . Приближенно можно принять

где с =12 - для сварных соединений; с = 12÷20- для деталей из углеродистых сталей; с = 20÷30 - для деталей из легированных сталей.

Таблица 4.4

Из уравнения кривой усталости определяется циклическая долговечность N при действии напряжений σ, превышающих предел усталости σ -1

Значения пределов выносливости, полученные в результате испытаний на усталость, даются в справочниках по машиностроительным материалам. Соотношения между пределами прочности и выносливости, установленные на основе статистических данных приведены в табл. 4.5.

Таблица 4.5

Вид нагружения	Стальные прокат и поковка	Стальное литье
	σ -1 = 0,47σ в	σ -1 = 0,38 σ в
Растяжение-сжатие	σ -1 p = 0,35σ в	σ -1 = 0,28 σ в
Кручение	τ -1 = 0,27 σ в	τ -1 = 0,22σ в

Предел выносливости деталей ниже предела выносливости стандартных лабораторных образцов, используемых при испытании машиностроительных материалов на усталость. Снижение предела выносливости обусловлено влиянием концентрации напряжений, а также абсолютных размеров поперечного сечения и состояния поверхности деталей. Значения предела выносливости деталей определяются путем натурных испытаний либо по справочным расчетно-экспериментальным данным, устанавливающим влияние указанных факторов на сопротивление деталей усталости.

Натурными испытаниями обычно пользуются для определения пределов выносливости широко распространенных стандартных изделий и отдельных наиболее ответственных узлов и деталей. Так, на основе натурных испытаний установлены пределы выносливости бурильных труб, втулочно-роликовых цепей буровых установок, талевых канатов, подшипников и некоторых других стандартных изделий, применяемых в буровых машинах и оборудовании. В связи со сложностью натурных испытаний на усталость в практических расчетах на прочность преимущественно пользуются расчетно-экспериментальными данными, на основе которых предел выносливости детали определяется из выражения

где σ -1д - предел выносливости детали; σ -1 - предел выносливости стандартных лабораторных образцов из материала детали; К - коэффициент снижения предела выносливости:

Здесь К σ - эффективный коэффициент концентрации напряжений; К F - коэффициент влияния шероховатости поверхности; К d - коэффициент влияния абсолютных размеров поперечного сечения: K υ - коэффициент влияния поверхностного упрочнения.

Значения эффективных коэффициентов концентрации напряжений и коэффициентов влияния поверхностного упрочнения, полученные по расчетно-экспериментальным данным, приведены в табл. 4.1 и 4.2.

Коэффициент влияния абсолютных размеров поперечного сечения определяется отношением предела выносливости гладких образцов диаметром d к пределу выносливости гладких лабораторных образцов диаметром 7-10 мм:

где σ -1 d - предел выносливости гладкого образца (детали) диаметром d; σ -1 - предел выносливости материала, определяемый на стандартных гладких образцах диаметром 7-10 мм.

Опытные данные показывают, что с увеличением поперечных размеров предел выносливости детали снижается. Это объясняется статистической теорией усталостных разрушений, согласно которой при увеличении размеров возрастает вероятность наличия в деталях внутренних дефектов в зонах повышенных напряжений - масштабный эффект. Проявлению масштабного эффекта способствуют ухудшение однородности материала, а также трудность контроля и обеспечения стабильности процессов изготовления деталей больших размеров. Масштабный эффект зависит главным образом от поперечных размеров и в меньшей мере от длины детали.

Влитых деталях и материалах, имеющих неметаллические включения, поры и другие внутренние и внешние дефекты, масштабный эффект проявляется больше. Легированные стали более чувствительны к внутренним и внешним дефектам, и поэтому для них влияние абсолютных размеров проявляется значительнее, чем для углеродистых сталей. В расчетах на прочность значения коэффициентов влияния абсолютных размеров поперечного сечения выбираются по графику (рис.4.5).

Шероховатость поверхности, окалины и коррозия существенно влияют на сопротивление усталости. На рис. 4.6 показан экспериментальный график, характеризующий изменение предела выносливости деталей при различном качестве обработки и состоянии поверхности. Коэффициент влияния шероховатости определяется отношением предела выносливости гладких образцов с поверхностью не грубее R a = 0,32 по ГОСТ 2789-73 к пределу выносливости образцов с данной шероховатостью поверхности:

где σ -1 - предел выносливости тщательно полированных образцов; σ -1п - предел выносливости образцов с данной шероховатостью поверхности.

Например, установлено, что при грубом шлифовании предел выносливости детали из стали с пределом прочности 1500 МПа оказывается таким же, как у стали с пределом прочности 750 МПа. Влияние состояния поверхности детали на сопротивление усталости обусловлено высоким уровнем напряжений от изгиба и кручения в наружных зонах детали и ослаблением поверхностного слоя вследствие его шероховатости и разрушения кристаллических зерен при резании.

По аналогичным формулам определяются пределы выносливости деталей при действии касательных напряжений.

Условия прочности при симметричном цикле переменных напряжений имеют вид:

при действии нормальных напряжений

при действии касательных напряжений

где п σ , п τ - коэффициенты запаса прочности по нормальным и касательным напряжениям; σ -1д, τ -1д - пределы выносливости детали; σ а, τ а - амплитуды переменных напряжений; [п σ ], [п τ ] - минимально допустимое значение запаса прочности по нормальным и касательным напряжениям.

При двухосном напряженном состоянии, возникающем в случае одновременного изгиба и кручения или растяжения-сжатия и кручения, запас прочности в расчетном сечении определяется из выражения

Минимально допустимое значение запаса прочности зависит от точности выбора расчетных нагрузок и полноты учета конструктивных, технологических и эксплуатационных факторов, влияющих на предел выносливости детали. В расчетах буровых машин и оборудования на выносливость минимально допустимые значения запасов прочности регламентируются отраслевыми нормами, указанными в табл. 2П приложения.При отсутствии отраслевых норм принимают допустимые запасы прочности [п]= 1,3÷1,5.

При действии асимметричных циклов детали рассчитывают на прочность на основе диаграммы предельных напряжений цикла (рис. 4.7), характеризующей зависимость между предельными напряжениями и средними напряжениями цикла для заданной долговечности. Диаграмма строится по экспериментальным значениям пределов выносливости, полученным для различных средних напряжений цикла. Это требует длительных испытаний по специальной программе. В практических расчетах используются более простые схематизированные диаграммы предельных напряжении, которые строят по экспериментальным значениям предела выносливости симметричного и отнулевого циклов и пределу текучести выбранного материала.

На диаграмме предельных напряжений точка А (0, σ -1) соответствует пределу выносливости симметричного цикла, точка В (σ 0 /2; σ 0) - пределу выносливости отнулевого цикла напряжений. Прямая, проходящая через эти точки, определяет максимальные предельные напряжения, циклов в зависимости от среднего напряжения. Напряжения ниже уровня ABC не вызывают разрушения при числе циклов N 0 , соответствующем базе испытаний. Точки, лежащие выше прямой ABC, характеризуют циклы напряжений, при которых разрушение происходит при числе циклов N

Прямая ABC, ограниченная в верхней части пределом текучести σ т, т. е. сопротивлением пластическим деформациям, называется линией предельных напряжений. Она выражается уравнением прямой, проходящей через две точки А и В с координатами (0, σ -1) и (σ 0 /2; σ 0):

Обозначив получим

При действии касательных напряжений формула (25) примет вид

Коэффициенты φ σ и φ τ характеризуют чувствительность материала к асимметрии цикла напряжений соответственно при действии нормальных и касательных напряжений (принимаются из технической литературы). Если на диаграмме провести из начала координат прямую под углом 45° (биссектрису координатного угла), то отрезок ОВ" == ВВ"-ВВ" будет соответствовать среднему напряжению, а отрезок ВВ" - предельной амплитуде цикла

где σ а - предельная амплитуда цикла, т. е. амплитуда напряжения, соответствующая пределу выносливости при заданном среднем напряжении цикла.

При увеличении среднего напряжения цикла σ т предел выносливости σ т ах возрастает, а предельная амплитуда цикла σ а уменьшается. Степень ее уменьшения зависит от чувствительности материала к асимметрии цикла, характеризуемой коэффициентом φ σ .

Таблица 4.6

Вид деформации	Предел прочности σ b , МП а
Изгиб и растяжение (φ σ)
Кручение (φ τ)

Циклы, имеющие одинаковые коэффициенты асимметрии, называются подобными и обозначаются на диаграмме предельных напряжений точками, лежащими на одном луче, проведенном под соответствующим углом β. Это видно из формулы

Экспериментально установлено, что отношение предельных амплитуд гладких образцов и образцов с концентрацией напряжений не зависит от среднего напряжения цикла. Согласно этому, коэффициенты концентрации напряжений принимаются одинаковыми для симметричных и асимметричных циклов, а продольная амплитуда напряжений для детали определяется по формуле

Максимальное предельное напряжение асимметричных циклов

Диаграмма предельных напряжений детали, показанная на рис. 4.8, используется для определения запасов прочности. Пусть напряжения (σ max , σ a , σ m ) действуют на деталь в точке М. Если ожидаемые перегрузки соответствуют условию простого нагружения, т е. происходят при постоянной степени асимметрии (R = const), то предельное напряжение для рассматриваемого цикла будет в точке N и запас прочности

В результате совместного решения уравнений линий предельных напряжений АС и ON определяются ордината точки N и запас прочности при действии нормальных напряжений

(29)

Аналогично при действии касательных напряжений

Если при перегрузках среднее напряжение не изменяется (σ m = const), а амплитуда растет, т. е. рабочие напряжения возрастают по прямой М" Р, то запас прочности

Детали буровых машин обычно работают в условиях простого нагружения, и запас прочности следует рассчитывать по формулам (29) и (30). При совместном действии нормальных и касательных напряжений запас прочности определяется по формуле (24).

Расчеты на выносливость при нестационарном нагружении базируются на следующих предположениях. Пусть нагрузки Р 1 , P 2 ,..., P i (или напряжения σ 1 , σ 2 , ….σ i ) действуют соответственно в течение N 1 ….N 3 ....N i циклов нагружения (рис. 9). Отношение фактического числа циклов N i действия некоторого напряжения σ i - к числу циклов N j при котором образец разрушается под действием того же напряжения σ i называют цикловым отношением.

Согласно гипотезе о суммировании усталостных повреждений, действие каждой группы нагрузок не зависит от порядка их чередования и одинаковые цикловые отношения различных по величине перегрузок вызывают одинаковую степень

усталостного повреждения.

В предположении линейного накопления усталостных повреждений

где а - экспериментально устанавливаемый коэффициент, принимаемый (в запас) равным единице.

При принятых обозначениях уравнение кривой выносливости 1 (рис. 9) имеет вид:

где σ R - предел выносливости при базовом числе циклов N 0 .

На основе принятых предположений нестационарное нагружение заменяют некоторым эквивалентным стационарным нагружением, действие которого эквивалентно фактическому нестационарному нагружению. В практике применяются различные варианты приведения нестационарного нагружения к эквивалентным стационарным нагружениям.

Любую из действующих нагрузок P i (чаще P max) или вызываемое ею напряжение σ i (σ max) принимают постоянной, действующей в течение соответствующего уровню нагружения так называемого эквивалентного числа циклов N 3 . Тогда, принимая, например, напряжение равным σ max , на основании формул (32) и (33) получим (а = 1)

(35)

где - коэффициент режима нагрузки.

Из формулы (35) следует, что при эквивалентном числе циклов N э

В другом варианте приведения нестационарное нагружение заменяют режимом с постоянным эквивалентным уровнем нагружения Р э (σ э), который действует в течение заданного срока службы, определяемого суммарным числом циклов ΣN i или числом N 0 , соответствующим точке перегиба кривой выносливости. Согласно этому

откуда выводится формула в следующем удобном для расчетов виде:

(37)

где - коэффициент эквивалентности.

Для расчета коэффициента эквивалентности используются статистические данные о величине нагрузок, возникающих в детали в процессе эксплуатации, и количестве циклов их повторения в продолжение одного блока нагружения, соответствующего бурению одной типовой скважины. Практически значения коэффициентов эквивалентности изменяются в пределах 0,5 ≤ К 0э ≤ 1.

При расчете по касательным напряжениям значение коэффициента эквивалентности К 0э определяются по формуле (36), в которой нормальные напряжения заменяются касательными, вызванными, передаваемыми крутящими моментами.

Запасы прочности при нестационарном нагружении определяются по формулам:

для симметричных циклов переменных напряжений

для асимметричных циклов переменных напряжений

Следует отметить, что величины коэффициентов эквивалентности зависят от проходки на долото, механической скорости бурения и других показателей, определяющих загрузку и оборачиваемость буровых машин и оборудования. При увеличении проходки на долото уменьшается загрузка подъемного механизма. На буровые насосы и ротор аналогично влияет повышение скоростей бурения. Это указывает на необходимость уточнения коэффициентов эквивалентности при существенных изменениях показателей бурения.

Определение исходных данных для расчетов на выносливость элементов трансмиссий . При расчетах на выносливость используется закон линейного накопления повреждений при многократном воздействии на элементы трансмиссий амплитуд разных уровней.

Определение исходных расчетных данных сводится к расчету эквивалентных нагрузок в виде произведения принимаемой в расчет основной нагрузки на коэффициент долговечности.

Эквивалентная нагрузка - это такая нагрузка, действие которой по эффекту накопления повреждений эквивалентно действию реальной нагрузки.

Методики для определения эквивалентных нагрузок элементов трансмиссий, базируются на следующих основных положениях.

1. Эксплуатационная нагруженность трансмиссий определяется средним значением
и коэффициентом вариации v крутящего момента, статистическое распределение амплитуд которого можно считать усеченным нормальным.

2. В качестве средней нагрузки
принимается крутящий момент в силовой цепи к органу, соответствующий реализации устойчивого момента M y двигателей.

3. Допустимой считается динамичность нагрузок для трансмиссии наиболее нагруженного органа, оцениваемая коэффициентом вариации v ≤ 0,6. При значениях v ≥ 0,6 следует принимать меры по его снижению, например, применять демпфирующие устройства и др.

Численные значения коэффициентов вариации v можно определять по расчетным зависимостям, либо по результатам вычислительного эксперимента, либо по данным экспериментальных исследований машин-аналогов.

Здесь - максимальный длительно действующий момент; - максимальная длительно действующая амплитуда крутящего момента;Р дл - максимальная длительно действующая нагрузка на подшипники, определяемая по М дл.

Значения коэффициентов долговечности определяются по зависимостям.

1. Для расчета зубьев колес на выносливость:

контактную

изгибную для деталей с твердостью поверхности НВ > 350

изгибную для деталей с твердостью поверхности НВ < 350

2. Для расчета валов:

на изгибную выносливость

на усталостную прочность при кручении

3. Для расчета долговечности шарико - и роликоподшипников:

Здесь - расчетное число циклов нагружений элементов трансмиссии;п - частота вращения детали, об/мин; Т р - расчетное время работы детали, ч (обычно принимают 5000 ч); N о - базовое число циклов нагружения, принимаемое в соответствии с рекомендациями (см. выше)

Соответствующие коэффициенты эквивалентности, принимаемые в зависимости от v .

При расчетах на выносливость зубьев колес по ГОСТ 21354-87, при определении расчетных напряжений в качестве нагрузки принимают M дл, а при определении:

Переменные напряжения приводят к внезапному разрушению деталей, хотя величина этих напряжений существенно ниже предела текучести. Это явление называется усталостью .

Усталостное разрушение начинается с накопления повреждений и образования на поверхности микротрещины. Развитие трещины происходит обычно в направлении, перпендикулярном линии действия наибольших нормальных напряжений. Когда прочность оставшегося сечения становится недостаточной, происходит внезапное разрушение.

Поверхность излома имеет две характерные зоны: зону развития трещины с гладкой поверхностью и зону внезапного разрушения с крупнозернистой поверхностью хрупкого излома.

Способность материала воспринимать многократное действие переменных напряжений без разрушения называется выносливостью или циклической прочностью .

Предел выносливости - σ -1 – наибольшее переменное напряжение которое может выдержать образец бесконечное число циклов без разрушения.

σ -1 – определяется при базовом числе циклов. Для сталей N 0 = 10 7 циклов. Для цветных металлов и закаленных сталей N 0 = 10 8 .

Ориентировочно величину предела выносливости для стали можно определить по эмпирической зависимости:

σ -1 = 0,43·σ в

Расчет на выносливость выполняют после статического расчета, определения размеров и конструктивного оформления детали. Цель расчета – определение фактического коэффициента запаса прочности и сравнение его с допускаемым.

Условие прочности на выносливость:

При сложном напряженном состоянии коэффициент запаса прочности (суммарный) вычисляют по формуле:

где, коэффициент запаса прочности по нормальным напряжениям:

коэффициент запаса прочности по касательным напряжениям:

где ψ σ , ψ τ – коэффициенты чувствительности к асимметрии цикла, дается в справочниках в зависимости от предела прочности материала.

При расчете валов [S] = 1,5 (2,5) для обеспечения прочности (жесткости).

Пример разрушения вала электродвигателя Ø150мм.

в

В подавляющем большинстве случаев расчеты на прочность деталей, работающих при переменных напряжениях, выполняют как проверочные. Это связано в первую очередь с тем, что общий коэффициент снижения предела выносливости или в процессе конструирования детали можно выбрать лишь ориентировочно, так как у расчетчика (конструктора) на этой стадии работы имеются лишь весьма приближенные представления о размерах и форме детали. Проектный расчет детали, служащий для определения ее основных размеров, обычно выполняется приближенно без учета переменности напряжений, но по пониженным допускаемым напряжениям.

После выполнения рабочего чертежа детали производится ее уточненный проверочный расчет с учетом переменности напряжений, а также конструктивных и технологических факторов, влияющих на усталостную прочность детали. При этом определяют расчетные коэффициенты запаса прочности для одного или нескольких предположительно опасных сечений детали. Эти коэффициенты запаса сопоставляют с теми, которые назначают или рекомендуют для деталей, аналогичных проектируемой при заданных условиях ее эксплуатации. При таком проверочном расчете условие прочности имеет вид

Величина требуемого коэффициента запаса прочности зависит от целого ряда обстоятельств, основными из которых являются: назначение детали (степень ее ответственности), условия работы; точность определения действующих на нее нагрузок, надежность сведений о механических свойствах ее материала, значениях коэффициентов концентрации напряжений и т. п. Обычно

В случае, если расчетный коэффициент запаса прочности ниже требуемого (т. е. прочность детали недостаточна) или значительно выше требуемого (т. е. деталь неэкономична), приходится вносить те или иные изменения в размеры и конструкцию детали, а в отдельных случаях даже изменять ее материал.

Рассмотрим определение коэффициентов запаса прочности при одноосном напряженном состоянии и при чистом сдвиге. Первый из этих видов напряженного состояния, как известно, возникает при растяжении (сжатии), прямом или косом изгибе и совместном изгибе и растяжении (или сжатии) бруса. Напомним, что касательные напряжения при изгибе (прямом и косом) и сочетании изгиба с осевым нагружением в опасной точке бруса, как правило, невелики и при расчете на прочность ими пренебрегают, т. е. считают, что в опасной точке возникает одноосное напряженное состояние.

Чистый сдвиг возникает в точках работающего на кручение бруса круглого поперечного сечения.

В большинстве случаев коэффициент запаса прочности определяют в предположении, что рабочий цикл напряжений, возникающих в рассчитываемой детали при ее эксплуатации, подобен предельному циклу, т. е. коэффициенты асимметрии R и характеристики рабочего и предельного циклов одинаковы.

Наиболее просто коэффициент запаса прочности можно определить в случае симметричного цикла изменения напряжений, так как пределы выносливости материала при таких циклах обычно известны, а пределы выносливости рассчитываемых деталей можно вычислить по взятым из справочников значениям коэффициентов снижения пределов выносливости Коэффициент запаса прочности представляет собой отношение предела выносливости, определенного для детали, к номинальному значению максимального напряжения, возникающего в опасной точке детали. Номинальным является значение напряжения, определенное по основным формулам сопротивления материалов, т. е. без учета факторов, влияющих на величину предела выносливости (концентрации напряжений и т. п.).

Таким образом, для определения коэффициента запаса прочности при симметричных циклах получаем следующие зависимости:

при изгибе

при растяжении-сжатии

при кручении

При определении коэффициента запаса прочности в случае асимметричного цикла возникают затруднения, связанные с отсутствием экспериментальных данных, необходимых для построения участка линии предельных напряжений (см. рис. 7.15). Заметим, что практически нет надобности в построении всей диаграммы предельных амплитуд, так как для циклов с пределами выносливости, большими предела текучести, коэффициент запаса должен определяться по текучести (для пластичных материалов), т. е. расчет должен выполняться, как в случае статического действия нагрузки.

При наличии экспериментально полученного участка AD предельной кривой коэффициент запаса можно бы определить графоаналитическим способом. Как правило, эти экспериментальные данные отсутствуют и кривую AD приближенно заменяют прямой, построенной по каким-либо двум точкам, координаты которых определены экспериментально. В результате получают так называемую схематизированную диаграмму предельных амплитуд, которой и пользуются при практических расчетах на прочность.

Рассмотрим основные способы схематизации безопасной зоны диаграммы предельных амплитуд.

В современной расчетной практике наиболее часто применяется диаграмма Серенсена-Кинасошвили, при построении которой участок AD заменяют прямой линией, проведенной через точки А и С, соответствующие предельным симметричному и отнулевому циклам (рис. 9.15, а). Достоинством этого способа является его относительно высокая точность (аппроксимирующая прямая АС, близка к кривой недостаток его заключается в том, что необходимо кроме величины предела выносливости при симметричном цикле иметь опытные данные о величине предела выносливости ) также и при отнулевом цикле.

При пользовании этой диаграммой коэффициент запаса определяется по выносливости (усталостному разрушению), если луч циклов, подобных заданному, пересекает прямую и по текучести, - если указанный луч пересекает линию

Несколько меньшую, но во многих случаях достаточную для практических расчетов точность дает метод, основанный на проксимации участка AD предельной кривой отрезком прямой линии (рис. 9.15,б), проведенной через точки А (соответствующую симметричному циклу) и В (соответствующую предельным постоянным напряжениям).

Достоинством рассматриваемого способа является меньшее по сравнению с предыдущим количество требуемых экспериментальных данных (не нужны данные о величине предела выносливости при отнулевом цикле). Какой из коэффициентов запаса, по усталостному разрушению или по текучести, меньше, определяют так же, как и в предыдущем случае.

В третьем типе схематизированных диаграмм (рис. 9.15, в) аппроксимирующую прямую проводят через точку А и некоторую точку Р, абсцисса которой определяется в результате обработки имеющихся экспериментально полученных диаграмм предельных напряжений. Для стали с достаточной точностью можно принимать, что отрезок OP - s равен Точность таких диаграмм почти не отличается от точности диаграмм, построенных по методу Серенсена - Кинасошвили.

Особенно проста схематизированная диаграмма, в которой безопасная зона ограничена прямой AL (рис. 9.15, г). Легко видеть, что расчет по такой диаграмме весьма неэкономичен, так как на схематизированной диаграмме линия предельных напряжений расположена значительно ниже действительной линии предельных напряжений.

Кроме того, такой расчет не имеет определенного физического смысла, так как неизвестно, какой коэффициент запаса, по усталости или по текучести, будет определен. Несмотря на указанные серьезные недостатки, диаграмма по рис. 9.15, а иногда используется в зарубежной практике; в отечественной практике в последние годы такая диаграмма не применяется.

Выведем аналитическое выражение для определения коэффициента запаса прочности по усталостному разрушению на основании рассмотренных схематизированных диаграмм предельных амплитуд. На первом этапе вывода не будем учитывать влияние факторов, снижающих предел выносливости, т. е. сначала получим формулу, пригодную для нормальных лабораторных образцов.

Допустим, что точка N, изображающая рабочий цикл напряжений, находится в области (рис. 10.15) и, следовательно, при возрастании напряжений до величины, определяемой точкой наступит усталостное разрушение (как уже указывалось, предполагается, что рабочий и предельный циклы подобны). Коэффициент запаса по усталостному разрушению для цикла, изображенного точкой N, определяется как отношение

Проведем через точку N прямую , параллельную прямой и горизонтальную прямую NE.

Из подобия треугольников следует, что

Как следует из рис. 10.15,

Подставим полученные значения величин ОА и в равенство (а):

Аналогично в случае переменных касательных напряжений

Значения зависят от принятого для расчета типа схематизированной диаграммы предельных напряжений и от материала детали.

Так, если принять диаграмму Серенсена - Кинасошвили (см. рис. 9.15, а), то

аналогично,

По схематизированной диаграмме, изображенной на рис. 9.15, б,

(20.15)

аналогично,

(21.15)

Значения и при расчете по методу Серенсена - Кинасошвили можно принимать по приведенным данным (табл. 1.15).

Таблица 1.15

Значения коэффициентов для стали

При определении коэффициента запаса прочности для конкретной детали надо учесть влияние коэффициента снижения предела выносливости Опыты показывают, что концентрация напряжений, масштабный эффект и состояние поверхности отражаются только на величинах предельных амплитуд и практически не влияют на величины предельных средних напряжений. Поэтому в расчетной практике принято коэффициент снижения предела выносливости относить только к амплитудному напряжению цикла. Тогда окончательные формулы для определения коэффициентов запаса прочности по усталостному разрушению будут иметь вид: при изгибе

(22.15)

при кручении

(23.15)

При растяжении-сжатии следует пользоваться формулой (22.15), но вместо подставлять в нее предел выносливости при симметричном цикле растяжения-сжатия.

Формулы (22.15), (23.15) действительны при всех указанных способах схематизации диаграмм предельных напряжений; изменяются лишь величины коэффициентов

Формула (22.15) получена для циклов с положительными средними напряжениями для циклов с отрицательными (сжимающими) средними напряжениями следует полагать т. е. исходить из предположения о том, что в зоне сжатия линия предельных напряжений параллельна оси абсцисс.