المعادلة وجذورها: التعاريف والأمثلة. ما هي المعادلة التي ليس لها جذور؟ أمثلة على المعادلات هل للمعادلة جذور وكم عددها؟

بعد أن درسنا مفهوم المساواة، أي أحد أنواعها - المساواة العددية، يمكننا الانتقال إلى نوع آخر مهم - المعادلات. في إطار هذه المادة، سنشرح ما هي المعادلة وجذرها، وصياغة تعريفات أساسية ونعطي أمثلة مختلفة للمعادلات وإيجاد جذورها.

Yandex.RTB RA-A-339285-1

مفهوم المعادلة

عادة، يتم تدريس مفهوم المعادلة في بداية دورة الجبر المدرسية. ثم يتم تعريفه على النحو التالي:

التعريف 1

معادلةتسمى المساواة مع عدد غير معروف الذي يحتاج إلى العثور عليه.

من المعتاد الإشارة إلى المجهولين بأحرف لاتينية صغيرة، على سبيل المثال، t، r، m، وما إلى ذلك، ولكن غالبًا ما يتم استخدام x، y، z. بمعنى آخر، يتم تحديد المعادلة بشكل تسجيلها، أي أن المساواة لن تكون معادلة إلا عندما يتم اختزالها إلى شكل معين - يجب أن تحتوي على حرف، القيمة التي يجب إيجادها.

دعونا نعطي بعض الأمثلة على أبسط المعادلات. يمكن أن تكون هذه المعادلات بالشكل x = 5، y = 6، وما إلى ذلك، بالإضافة إلى تلك التي تتضمن عمليات حسابية، على سبيل المثال، x + 7 = 38، z − 4 = 2، 8 t = 4، 6: x = 3.

بعد تعلم مفهوم الأقواس، يظهر مفهوم المعادلات ذات الأقواس. يتضمن ذلك 7 · (x − 1) = 19، x + 6 · (x + 6 · (x − 8)) = 3، إلخ. يمكن أن يظهر الحرف الذي يجب العثور عليه أكثر من مرة، ولكن عدة مرات، مثل على سبيل المثال في المعادلة x + 2 + 4 · x − 2 − x = 10 . أيضًا، يمكن تحديد موقع المجهول ليس فقط على اليسار، ولكن أيضًا على اليمين أو في كلا الجزأين في نفس الوقت، على سبيل المثال، x (8 + 1) − 7 = 8، 3 − 3 = z + 3 أو 8 x − 9 = 2 (س + 17) .

علاوة على ذلك، بعد أن يتعرف الطلاب على مفاهيم الأعداد الصحيحة والحقيقية والكسرية والأعداد الطبيعية، وكذلك اللوغاريتمات والجذور والقوى، تظهر معادلات جديدة تشمل كل هذه الأشياء. لقد خصصنا مقالًا منفصلاً لأمثلة هذه التعبيرات.

في منهج الصف السابع يظهر مفهوم المتغيرات لأول مرة. هذه هي الحروف التي يمكن أن تأخذ معاني مختلفة (لمزيد من التفاصيل، راجع المقالة حول التعبيرات الرقمية والحروفية والمتغيرة). وبناء على هذا المفهوم يمكننا إعادة تعريف المعادلة:

التعريف 2

المعادلةهي مساواة تتضمن متغيرًا يجب حساب قيمته.

أي، على سبيل المثال، التعبير x + 3 = 6 x + 7 هو معادلة بالمتغير x، و3 y − 1 + y = 0 معادلة بالمتغير y.

يمكن أن تحتوي المعادلة الواحدة على أكثر من متغير واحد، ولكن يمكن أن تحتوي على متغيرين أو أكثر. يطلق عليها، على التوالي، المعادلات ذات متغيرين أو ثلاثة متغيرات، وما إلى ذلك. دعنا نكتب التعريف:

التعريف 3

المعادلات ذات متغيرين (ثلاثة أو أربعة أو أكثر) هي معادلات تتضمن عددًا مناظرًا من المجهولات.

على سبيل المثال، المساواة بالشكل 3، 7 · x + 0، 6 = 1 هي معادلة ذات متغير واحد x، وx − z = 5 هي معادلة ذات متغيرين x وz. مثال على معادلة ذات ثلاثة متغيرات: x 2 + (y − 6) 2 + (z + 0, 6) 2 = 26.

جذر المعادلة

عندما نتحدث عن معادلة ما، تبرز الحاجة على الفور إلى تحديد مفهوم جذرها. دعونا نحاول شرح ما يعنيه ذلك.

مثال 1

لقد حصلنا على معادلة معينة تتضمن متغيرًا واحدًا. إذا قمنا باستبدال الحرف المجهول برقم، تصبح المعادلة مساواة عددية - صحيح أو خطأ. فإذا استبدلنا في المعادلة a + 1 = 5 الحرف بالرقم 2 تصبح المساواة خاطئة، وإذا كانت 4 فإن المساواة الصحيحة ستكون 4 + 1 = 5.

نحن مهتمون أكثر بالقيم التي سيتحول بها المتغير إلى مساواة حقيقية. يطلق عليهم الجذور أو الحلول. دعونا نكتب التعريف.

التعريف 4

جذر المعادلةيسمون قيمة المتغير الذي يحول معادلة معينة إلى مساواة حقيقية.

يمكن أيضًا تسمية الجذر بالحل، أو العكس - فكلا المفهومين يعنيان نفس الشيء.

مثال 2

لنأخذ مثالا لتوضيح هذا التعريف. أعلاه أعطينا المعادلة أ + 1 = 5. وبحسب التعريف فإن الجذر في هذه الحالة سيكون 4، لأنه عند استبداله بدلا من حرف فإنه يعطي المساواة العددية الصحيحة، ولن يكون اثنان حلا، لأنه يتوافق مع المساواة غير الصحيحة 2 + 1 = 5.

كم عدد الجذور التي يمكن أن تحتوي عليها المعادلة الواحدة؟ هل كل معادلة لها جذر؟ دعونا نجيب على هذه الأسئلة.

توجد أيضًا معادلات ليس لها جذر واحد. على سبيل المثال سيكون 0 × = 5. يمكننا استبدال عدد لا حصر له من الأرقام المختلفة به، لكن لن يتمكن أي منها من تحويله إلى مساواة حقيقية، لأن الضرب في 0 يعطي دائمًا 0.

هناك أيضًا معادلات لها عدة جذور. يمكن أن يكون لها عدد محدود أو لا حصر له من الجذور.

مثال 3

لذا، في المعادلة x − 2 = 4 يوجد جذر واحد فقط - ستة، في x 2 = 9 جذرين - ثلاثة وناقص ثلاثة، في x · (x − 1) · (x − 2) = 0 ثلاثة جذور - صفر وواحد واثنين، هناك عدد لا نهائي من الجذور في المعادلة x=x.

الآن دعونا نشرح كيفية كتابة جذور المعادلة بشكل صحيح. إذا لم يكن هناك أي شيء، فنكتب: "المعادلة ليس لها جذور". في هذه الحالة، يمكنك أيضًا الإشارة إلى علامة المجموعة الفارغة ∅. إذا كانت هناك جذور، فإننا نكتبها مفصولة بفواصل أو نشير إليها كعناصر مجموعة، ونضعها بين قوسين متعرجين. لذا، إذا كانت أي معادلة لها ثلاثة جذور - 2، 1، 5، فإننا نكتب - 2، 1، 5 أو (- 2، 1، 5).

يُسمح بكتابة الجذور على شكل مساواة بسيطة. لذا، إذا كان المجهول في المعادلة يُشار إليه بالحرف y، والجذور هي 2 و 7، فإننا نكتب y = 2 و y = 7. في بعض الأحيان تتم إضافة اشتراكات إلى الحروف، على سبيل المثال، x 1 = 3، x 2 = 5. وبهذه الطريقة نشير إلى أعداد الجذور. إذا كانت المعادلة لها عدد لا حصر له من الحلول، فإننا نكتب الإجابة على شكل فاصل رقمي أو نستخدم التدوين المقبول عمومًا: يُشار إلى مجموعة الأعداد الطبيعية بـ N، والأعداد الصحيحة - Z، والأعداد الحقيقية - R. لنفترض أنه إذا أردنا أن نكتب أن حل المعادلة سيكون أي عدد صحيح، فإننا نكتب ذلك x ∈ Z، وإذا كان هناك أي عدد حقيقي من واحد إلى تسعة، فإن y ∈ 1، 9.

عندما تحتوي المعادلة على جذرين أو ثلاثة جذور أو أكثر، كقاعدة عامة، لا نتحدث عن الجذور، بل عن حلول المعادلة. دعونا نقوم بصياغة تعريف حل المعادلة ذات المتغيرات المتعددة.

التعريف 5

حل المعادلة ذات متغيرين أو ثلاثة أو أكثر هو قيمتان أو ثلاث أو أكثر من المتغيرات التي تحول المعادلة المعطاة إلى مساواة عددية صحيحة.

دعونا نشرح التعريف بالأمثلة.

مثال 4

لنفترض أن لدينا التعبير x + y = 7، وهي معادلة ذات متغيرين. دعونا نستبدل واحد بدلا من الأول، واثنين بدلا من الثاني. سوف نحصل على مساواة غير صحيحة، مما يعني أن هذا الزوج من القيم لن يكون حلاً لهذه المعادلة. إذا أخذنا الزوج 3 و 4، تصبح المساواة صحيحة، مما يعني أننا وجدنا الحل.

قد لا تحتوي هذه المعادلات أيضًا على جذور أو تحتوي على عدد لا نهائي منها. إذا أردنا كتابة قيمتين أو ثلاث أو أربع قيم أو أكثر، فسنكتبها مفصولة بفواصل بين قوسين. أي أنه في المثال أعلاه ستكون الإجابة بالشكل (3، 4).

من الناحية العملية، يتعين عليك في أغلب الأحيان التعامل مع المعادلات التي تحتوي على متغير واحد. سننظر في خوارزمية حلها بالتفصيل في المقالة المخصصة لحل المعادلات.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

حل المعادلات في الرياضيات يحتل مكانا خاصا. تسبق هذه العملية ساعات عديدة من الدراسة النظرية، يتعلم خلالها الطالب كيفية حل المعادلات وتحديد نوعها، ويكتسب المهارة لإكمال الأتمتة. ومع ذلك، فإن البحث عن الجذور ليس له معنى دائمًا، لأنه قد لا يكون موجودًا ببساطة. هناك تقنيات خاصة للعثور على الجذور. في هذه المقالة سوف نقوم بتحليل الوظائف الرئيسية، ومجالات تعريفها، وكذلك الحالات التي تكون فيها جذورها مفقودة.

ما هي المعادلة التي ليس لها جذور؟

المعادلة ليس لها جذور إذا لم تكن هناك وسيطات حقيقية x والتي تكون المعادلة صحيحة بشكل مماثل. بالنسبة لغير المتخصص، تبدو هذه الصيغة، مثل معظم النظريات والصيغ الرياضية، غامضة ومجردة للغاية، ولكن هذا من الناحية النظرية. في الممارسة العملية، كل شيء يصبح بسيطا للغاية. على سبيل المثال: المعادلة 0 * x = -53 ليس لها حل، إذ لا يوجد رقم x الذي حاصل ضربه بصفر يعطي شيئاً آخر غير الصفر.

الآن سوف ننظر إلى الأنواع الأساسية من المعادلات.

1. المعادلة الخطية

تسمى المعادلة خطية إذا تم تمثيل طرفيها الأيمن والأيسر كدوال خطية: ax + b = cx + d أو في الصورة المعممة kx + b = 0. حيث a، b، c، d أرقام معروفة، وx عبارة عن كمية غير معروفة. ما هي المعادلة التي ليس لها جذور؟ يتم عرض أمثلة للمعادلات الخطية في الرسم التوضيحي أدناه.

في الأساس، يتم حل المعادلات الخطية ببساطة عن طريق نقل الجزء الرقمي إلى جزء واحد ومحتويات x إلى جزء آخر. والنتيجة هي معادلة من الشكل mx = n، حيث m و n أرقام، وx مجهول. للعثور على x، ما عليك سوى قسمة الطرفين على m. ثم س = ن / م. معظم المعادلات الخطية لها جذر واحد فقط، ولكن هناك حالات عندما يكون هناك عدد لا نهائي من الجذور أو لا توجد جذور على الإطلاق. عندما يكون m = 0 و n = 0، تأخذ المعادلة الشكل 0 * x = 0. وسيكون حل هذه المعادلة هو أي رقم على الإطلاق.

لكن ما هي المعادلة التي ليس لها جذور؟

بالنسبة لـ m = 0 و n = 0، ليس للمعادلة جذور في مجموعة الأعداد الحقيقية. 0 * س = -1؛ 0 * س = 200 - هذه المعادلات ليس لها جذور.

2. المعادلة التربيعية

المعادلة التربيعية هي معادلة على الصورة ax 2 + bx + c = 0 لـ a = 0. الحل الأكثر شيوعًا هو من خلال المميز. صيغة إيجاد مميز المعادلة التربيعية هي: D = b 2 - 4 * a * c. بعد ذلك هناك جذرين x 1.2 = (-b ± √D) / 2 * a.

بالنسبة إلى D > 0، يكون للمعادلة جذرين، وبالنسبة إلى D = 0، يكون لها جذر واحد. لكن ما هي المعادلة التربيعية التي ليس لها جذور؟ أسهل طريقة لمراقبة عدد جذور المعادلة التربيعية هي رسم الدالة التي هي عبارة عن قطع مكافئ. لـ > 0 يتم توجيه الفروع لأعلى، لـ a< 0 ветви опущены вниз. Если дискриминант отрицателен, такое квадратное уравнение не имеет корней на множестве действительных чисел.

يمكنك أيضًا تحديد عدد الجذور بشكل مرئي دون حساب المميز. للقيام بذلك، تحتاج إلى العثور على قمة القطع المكافئ وتحديد الاتجاه الذي يتم توجيه الفروع إليه. يمكن تحديد إحداثيات x للقمة باستخدام الصيغة: x 0 = -b / 2a. في هذه الحالة، يتم العثور على إحداثي y للقمة ببساطة عن طريق استبدال قيمة x 0 في المعادلة الأصلية.

المعادلة التربيعية x 2 - 8x + 72 = 0 ليس لها جذور، حيث أن لها مميزها السلبي D = (-8) 2 - 4 * 1 * 72 = -224. وهذا يعني أن القطع المكافئ لا يمس المحور x وأن الدالة لا تأخذ القيمة 0 أبدًا، وبالتالي فإن المعادلة ليس لها جذور حقيقية.

3. المعادلات المثلثية

يتم اعتبار الدوال المثلثية في دائرة مثلثية، ولكن يمكن أيضًا تمثيلها في نظام الإحداثيات الديكارتية. في هذه المقالة سوف نلقي نظرة على دالتين مثلثيتين أساسيتين ومعادلاتهما: sinx وcosx. وبما أن هذه الدوال تشكل دائرة مثلثية نصف قطرها 1، |sinx| و |كوسكس| لا يمكن أن تكون أكبر من 1. إذن، ما هي معادلة sinx التي ليس لها جذور؟ خذ بعين الاعتبار الرسم البياني لدالة sinx الموضحة في الصورة أدناه.

نرى أن الدالة متماثلة ولها فترة تكرار قدرها 2pi. وبناءً على ذلك، يمكننا القول أن القيمة القصوى لهذه الدالة يمكن أن تكون 1، والحد الأدنى -1. على سبيل المثال، التعبير cosx = 5 لن يكون له جذور، لأن قيمته المطلقة أكبر من الواحد.

هذا هو أبسط مثال على المعادلات المثلثية. في الواقع، يمكن أن يستغرق حلها عدة صفحات، وفي النهاية ستدرك أنك استخدمت صيغة خاطئة وتحتاج إلى البدء من جديد. في بعض الأحيان، حتى إذا وجدت الجذور بشكل صحيح، فقد تنسى أن تأخذ في الاعتبار القيود المفروضة على التطوير التنظيمي، ولهذا السبب يظهر جذر إضافي أو فاصل زمني في الإجابة، وتتحول الإجابة بأكملها إلى خطأ. لذلك، اتبع بدقة جميع القيود، لأنه ليست كل الجذور تناسب نطاق المهمة.

4. أنظمة المعادلات

نظام المعادلات عبارة عن مجموعة من المعادلات المرتبطة بأقواس معقوفة أو مربعة. تشير الأقواس المعقوفة إلى أن جميع المعادلات يتم تشغيلها معًا. أي أنه إذا كانت إحدى المعادلات على الأقل ليس لها جذور أو تتعارض مع أخرى، فلن يكون للنظام بأكمله حل. تشير الأقواس المربعة إلى الكلمة "أو". هذا يعني أنه إذا كان لواحدة على الأقل من معادلات النظام حل، فإن النظام بأكمله لديه حل.

إجابة النظام ج هي مجموعة جميع جذور المعادلات الفردية. والأنظمة ذات الأقواس المتعرجة لها جذور مشتركة فقط. يمكن أن تتضمن أنظمة المعادلات وظائف مختلفة تمامًا، لذا فإن هذا التعقيد لا يسمح لنا أن نقول على الفور أي معادلة ليس لها جذور.

توجد في كتب المسائل والكتب المدرسية أنواع مختلفة من المعادلات: تلك التي لها جذور وتلك التي ليس لها جذور. أولًا، إذا لم تتمكن من العثور على الجذور، فلا تعتقد أنها غير موجودة على الإطلاق. ربما ارتكبت خطأ في مكان ما، فأنت بحاجة فقط إلى التحقق بعناية من قرارك.

نظرنا إلى المعادلات الأساسية وأنواعها. الآن يمكنك معرفة المعادلة التي ليس لها جذور. في معظم الحالات، ليس من الصعب القيام بذلك. إن تحقيق النجاح في حل المعادلات لا يتطلب سوى الاهتمام والتركيز. تدرب أكثر، سيساعدك ذلك على التنقل بين المواد بشكل أفضل وأسرع.

إذن المعادلة ليس لها جذور إذا:

• في المعادلة الخطية mx = n القيمة هي m = 0 و n = 0؛
• في المعادلة التربيعية، إذا كان المميز أقل من الصفر؛
• في معادلة مثلثية على الصورة cosx = m / sinx = n، إذا |m| > 0، |ن| > 0؛
• في نظام المعادلات ذات الأقواس المعقوفة، إذا كانت معادلة واحدة على الأقل ليس لها جذور، ومع الأقواس المربعة، إذا كانت جميع المعادلات ليس لها جذور.

النظر في المعادلة التربيعية:
(1) .
جذور المعادلة التربيعية(1) يتم تحديدها بواسطة الصيغ:
; .
يمكن دمج هذه الصيغ على النحو التالي:
.
عندما تكون جذور المعادلة التربيعية معروفة، فيمكن تمثيل كثيرة الحدود من الدرجة الثانية كحاصل ضرب العوامل (العوامل):
.

بعد ذلك نفترض أن هذه أرقام حقيقية.
دعونا نفكر مميز المعادلة التربيعية:
.
إذا كان المميز موجبًا، فإن المعادلة التربيعية (1) لها جذرين حقيقيين مختلفين:
; .
ثم تحليل ثلاثية الحدود التربيعية له الشكل:
.
إذا كان المميز يساوي صفرًا، فإن المعادلة التربيعية (1) لها جذرين حقيقيين متعددين (متساويين):
.
التخصيم:
.
إذا كان المميز سالبًا، فإن المعادلة التربيعية (1) لها جذرين مترافقين معقدين:
;
.
هنا الوحدة التخيلية ;
وهي الأجزاء الحقيقية والخيالية من الجذور:
; .
ثم

.

التفسير الرسومي

إذا قمت برسم الوظيفة
,
وهو قطع مكافئ، فإن نقاط تقاطع الرسم البياني مع المحور ستكون جذور المعادلة
.
عند ، يتقاطع الرسم البياني مع المحور السيني عند نقطتين.
عندما يلامس الرسم البياني المحور السيني عند نقطة واحدة.
عندما لا يتقاطع الرسم البياني مع المحور السيني.

فيما يلي أمثلة على هذه الرسوم البيانية.

الصيغ المفيدة المتعلقة بالمعادلة التربيعية

(ص.١) ;
(ص.٢) ;
(ص.٣) .

اشتقاق صيغة جذور المعادلة التربيعية

نقوم بإجراء التحويلات وتطبيق الصيغ (ص.١) و (ص.٣):




,
أين
; .

لذلك، حصلنا على صيغة كثيرة الحدود من الدرجة الثانية في النموذج:
.
وهذا يدل على أن المعادلة

يؤدي في
و .
وهذا هو، وهي جذور المعادلة التربيعية
.

أمثلة على تحديد جذور المعادلة التربيعية

مثال 1

(1.1) .

.
وبالمقارنة مع معادلتنا (1.1) نجد قيم المعاملات:
.
نجد التمييز:
.
بما أن المميز موجب، فإن المعادلة لها جذرين حقيقيين:
;
;
.

من هنا نحصل على تحليل ثلاثية الحدود التربيعية:

.

رسم بياني للدالة y = 2 × 2 + 7 × + 3يتقاطع مع المحور x في نقطتين.

دعونا نرسم الوظيفة
.
الرسم البياني لهذه الوظيفة هو القطع المكافئ. يعبر محور الإحداثي السيني (المحور) عند نقطتين:
و .
هذه النقاط هي جذور المعادلة الأصلية (1.1).

;
;
.

مثال 2

أوجد جذور المعادلة التربيعية:
(2.1) .

لنكتب المعادلة التربيعية بالصورة العامة:
.
وبالمقارنة مع المعادلة الأصلية (2.1) نجد قيم المعاملات:
.
نجد التمييز:
.
بما أن المميز هو صفر، فإن المعادلة لها جذرين متعددين (متساويين):
;
.

ثم تحليل ثلاثي الحدود له الشكل:
.

رسم بياني للدالة y = x 2 - 4 س + 4يمس المحور السيني عند نقطة واحدة.

دعونا نرسم الوظيفة
.
الرسم البياني لهذه الوظيفة هو القطع المكافئ. يمس المحور السيني (المحور) عند نقطة واحدة:
.
هذه النقطة هي جذر المعادلة الأصلية (2.1). بما أن هذا الجذر يتم تحليله مرتين:
,
ثم يسمى هذا الجذر عادةً مضاعفًا. أي أنهم يعتقدون أن هناك جذرين متساويين:
.

;
.

مثال 3

أوجد جذور المعادلة التربيعية:
(3.1) .

لنكتب المعادلة التربيعية بالصورة العامة:
(1) .
لنعيد كتابة المعادلة الأصلية (3.1):
.
وبالمقارنة مع (1) نجد قيم المعاملات:
.
نجد التمييز:
.
التمييز سلبي، . وبالتالي لا توجد جذور حقيقية.

يمكنك العثور على جذور معقدة:
;
;

دعونا نرسم الوظيفة
.
الرسم البياني لهذه الوظيفة هو القطع المكافئ. لا يتقاطع مع المحور السيني (المحور). وبالتالي لا توجد جذور حقيقية.

لا توجد جذور حقيقية. الجذور المعقدة:
;
;
.