Распределение вероятностей непрерывной случайной величины X , принимающей все значения из отрезка , называется равномерным , если её плотность вероятности на этом отрезке постоянна, а вне его равна нулю. Таким образом, плотность вероятности непрерывной случайной величины X , распределённой равномерно на отрезке , имеет вид:
Определим математическое ожидание , дисперсию и для случайной величины с равномерным распределением.
, 
, 
.
Пример. Все значения равномерно распределённой случайной величины лежат на отрезке . Найти вероятность попадания случайной величины в промежуток (3;5) .
a=2, b=8, 
.
Биномиальное распределение
Пусть производится n испытаний, причём вероятность появления события A в каждом испытании равна p и не зависит от исхода других испытаний (независимые испытания). Так как вероятность наступления события A в одном испытании равна p , то вероятность его ненаступления равна q=1-p .
Пусть событие A наступило в n испытаниях m раз. Это сложное событие можно записать в виде произведения:
.
Тогда вероятность того, что при n испытаниях событие A наступит m раз , вычисляется по формуле:
или 
(1)
Формула (1) называется формулой Бернулли .
Пусть X – случайная величина, равная числу появлений события A в n испытаниях, которая принимает значения с вероятностями:
Полученный закон распределения случайной величины называется законом биномиального распределения .
| X | m | n | ||||
| P |
Математическое ожидание , дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайных величин, распределённых по биномиальному закону, определяются по формулам:
, , .
Пример. По мишени производятся три выстрела, причём вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,8. Рассматривается случайная величина X – число попаданий в мишень. Найти её закон распределения, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
p=0,8
, q=0,2
, n=3
, 
, , 
.
- вероятность 0 попаданий;
Вероятность одного попадания;
Вероятность двух попаданий;
- вероятность трёх попаданий.
Получаем закон распределения:
| X | ||||
| P | 0,008 | 0,096 | 0,384 | 0,512 |
Задачи
1. Монету бросают 7 раз. Найти вероятность того, что 4 раза она упадёт гербом вверх.
2. Монету бросают 8 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет не более трёх раз.
3. Вероятность попадания в цель при стрельбе из орудия p=0,6. Найти математическое ожидание общего числа попаданий, если будет произведено 10 выстрелов.
4. Найти математическое ожидание числа лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено 20 билетов, причём вероятность выигрыша по одному билету равна 0,3.
Равномерным распределением непрерывной случайной величины называется распределение, в котором значения случайной величины с двух сторон ограничены и в границах интервала имеют одинаковую вероятность. Это означает, что в в данном интервале плотность вероятности постоянна.
Таким образом, при равномерном распределении плотность вероятности имеет вид
Значения f (x ) в крайних точках a и b участка (a , b ) не указываются, так как вероятность попадания в любую из этих точек для непрерывной случайной величины равна нулю.
Кривая равномерного распределения имеет вид прямоугольника, опирающегося на участок (a , b ) (рисунок ниже), в связи с чем равномерное распределение иногда называют "прямоугольным".
Как найти вероятность попадания случайной величины X , равномерно распределённой на участке (a , b ) на любую часть (α , β ) участка (a , b ) ?
Эта вероятность находится по формуле
и геометрически представляет собой площадь, дважды заштрихованную на рисунке ниже и опирающуюся на часть (α , β ) участка (a , b ) :
Функция распределения F (x ) непрерывной случайной величины при равномерном распределении имеет вид
Характеристики равномерного распределения
Характеристики равномерного распределения:
Решение примеров на равномерное распределение
Пример 1. Наблюдения показали, что вес ящика, предназначенного для транспортировки овощей, является равномерно распределённой случайной величиной в интервале от 985 г. до 1025 г. Случайно выбран один ящик. Найти характеристики равномерно распределённой случаной величины при условиях, которые будут указаны в решении.
Решение. Найдём вероятность того, что вес данного ящика будет в интервале от 995 г. до 1005 г. :
Найдём среднее значение непрерывной случайной величины:
.
Найдём стандартное отклонение:
.
Определим, у скольки процентов ящиков вес находится на удалении одного стандартного отклонения от среднего значения (т. е. в интервале ):
.
Пример 2. Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 (мин.). Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени, никак не связанный с расписанием поездов. Случайная величина T - время, в течение которого ему придётся ждать поезда, имеет равномерное распределение. Найти плотность распределения f (x ) случайной величины T , её математическое ожидание, дисперсию и стандартное отклонение. Найти вероятность того, что ждать придётся не больше полминуты.
Решение. Найдём плотность распределения f (x ) :
f (x ) = 1/2 (0 < x < 2) .
Найдём математическое ожидание случайной величины:
μ = (2 + 0)/2 = 1 .
Найдём дисперсию:
σ ² = 2²/12 = 1/3 .
Стандартное отклонение:
σ = (√3)/3 .
Найдём вероятность того, что пассажиру придётся ждать поезда не больше полминуты:
P {T < 1/2} = 1/4 .
Пример 3. Случайная величина X распределена равномерно на участке (a , b ) . Найти вероятность того, что в результате опыта она отклонится от своего математического ожидания больше, чем на 3σ .
Рассмотрим равномерное непрерывное распределение. Вычислим математическое ожидание и дисперсию. Сгенерируем случайные значения с помощью функции MS EXCEL СЛЧИС() и надстройки Пакет Анализа, произведем оценку среднего значения и стандартного отклонения.
Равномерно распределенная на отрезке случайная величина имеет :
Сгенерируем массив из 50 чисел из диапазона \ \
Таким образом, функция плотности равномерного распределения имеет вид:
Рисунок 2.
График имеет следующий вид (рис. 1):
Рисунок 3. Плотность равномерного распределения вероятности
Функция равномерного распределения вероятностей
Найдем теперь функцию распределения при равномерном распределении.
Для этого будем использовать следующую формулу: $F\left(x\right)=\int\limits^x_{-\infty }{\varphi (x)dx}$
- При $x ≤ a$, по формуле, получим:
- При $a
- При $x> 2$, по формуле, получим:
Таким образом, функция распределения имеет вид:
Рисунок 4.
График имеет следующий вид (рис. 2):
Рисунок 5. Функция равномерного распределения вероятности.
Вероятность попадания случайной величины в интервал $({\mathbf \alpha },{\mathbf \beta })$ при равномерном распределении вероятностей
Для нахождения вероятности попадания случайной величины в интервал $(\alpha ,\beta)$ при равномерном распределении вероятностей будем пользоваться следующей формулой:
Математическое ожидание:
Среднее квадратическое отклонение:
Примеры решения задачи на равномерное распределение вероятностей
Пример 1
Интервал движения между троллейбусами составляет 9 минут.
Составить функцию распределения и плотность распределения случайной величины $X$ ожидания пассажирами троллейбуса.
Найти вероятность того, что пассажир дождется троллейбус меньше чем через три минуты.
Найти вероятность того, что пассажир дождется троллейбус не менее чем через 4 минуты.
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение
- Так как непрерывная случайная величина ожидания троллейбуса $X$ равномерно распределена, то $a=0,\ b=9$.
Таким образом, плотность распределения, по формуле функции плотности равномерного распределения вероятности, имеет вид:
Рисунок 6.
По формуле функции равномерного распределения вероятности, нашем случае функция распределения имеет вид:
Рисунок 7.
- Данный вопрос можно переформулировать следующим образом: найдем вероятность попадания случайной величины равномерного распределения в интервал $\left(6,9\right).$
Получаем:
\}
